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山东省临沂市兰陵县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9
3．若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是的中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中，的变化趋势为（ ）

A．下滑时，增大 B．上升时，减小
C．无论怎样滑动，不变 D．只要滑动，就变化
7．已知：如图，四边形是菱形，是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．

A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、乙、丙 D．甲、丙
8．如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，E为的中点，连接，则的面积为（ ）

A．6 B．8 C．12 D．24
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上任意一点，过点E作，，点F，G为垂足，若，，则FG的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为 ．
12．如图所示，点、、、是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则点表示的数是 ．
13．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ．
14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为 ．
15．如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2) ．
17．数学兴趣小组研究菱形的画法时给出了以下做法，请按要求完成任务：
任务一：已知：在中，．求作：菱形
作法：
①延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点；
②延长，以点为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点；
③连接，，．
所以四边形即为所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵_____，_____，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴平行四边形是菱形（_____）（填推理的依据）．
任务二：
（3）如图，先画两条等长的线段，，然后分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交点为，连接，．得到的四边形_____菱形（填“是”或“不是”），依据是_____．
18．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且．
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)若，，，求的面积．
19．如图，在菱形中，为的中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且．
(1)求证：；
(2)试判断四边形的形状，并证明你的结论．
20．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
21．武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
(3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
(1)如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
(2)如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；
(3)如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值．
《山东省临沂市兰陵县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题》参考答案
1．C
解；的倒数为．
故选C．
2．D
解：A、，故该选项是勾股数，不符合题意；
B、，故该选项是勾股数，不符合题意；
C、，故该选项是勾股数，不符合题意；
D、，故该选项不是勾股数，符合题意；
故选：D ．
3．A
解：，
∵，
∴，
∴，
∴表示实数的点会落在数轴的段①上，
故选：A．
4．D
解：∵，
∴，
∴，
故选：．
5．C
解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，，
∴一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
故选：C．
6．C
解：，点是的中点，
，
在滑动的过程中的长度不变．
故选：C．
7．A
解：甲：四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
，
，
同理：，，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
综上所述，甲对、乙对，
故选：．
8．A
解：过点A作于F，

在矩形中，，，
∴，
∵对角线相交于点O，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴
∴的面积为
故选：A．

9．D
解：如图，连接OE，
四边形是菱形，
，，，
在中,
,
，，，
，
四边形为矩形，
，
要使最小，即最小，当时，最小，
，
，
，
的最小值为．
故选：D ．
10．D
解：由折叠可知：，，，
，
在和中，
，
，
，
，故正确；
，
，
由折叠可得，，
，故正确；
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
五边形的周长是：，故正确；
故选：D．
11．
解：根据勾股定理，，，，
∵，
∴是直角三角形，
∵点D为的中点，
∴．
故答案为：．
12．/
解：∵正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F表示的数为．
故答案为：．
13．
解：∵正方形的面积为10，
，
，
，
，
，
则小正方形的边长为2，
∴，
故答案为：．
14．
解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15．
解：由题可得的周长为，
∵点、、分别是边、、的中点，
∴、、是的三条中位线，
∴的周长是，
同理，的周长是，
，
以此类推，的周长是，
∴第2025个三角形的周长是，
故答案为：．
16．(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）见解析；（2），对角线垂直的平行四边形是菱形；（3）是，四边都相等的四边形是菱形
解：（1）如图，菱形即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：，对角线垂直的平行四边形是菱形．
（3）由作图可知，，
∴四边形是菱形（四边都相等的四边形是菱形）．
故答案为；是，四边都相等的四边形是菱形．
18．(1)见解析
(2)120
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，
在中，
∵四边形是平行四边形，
∴,即
故的面积为120.
19．(1)证明见解析
(2)四边形是矩形，证明见解析
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵为的中点，
∴，
∴；
（2）解：四边形是矩形，证明如下：
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形的对角线互相平分且相等，
∴四边形是矩形．
20．(1)见解析
(2)2
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
21．(1)21.6米
(2)8米
(3)4.2米
（1）解：在中，由勾股定理得，
（米），
（米）；
风筝的垂直高度为21.6米．
（2）解：设他应该往回收线米，
根据勾股定理得，，
解得，
答：他应该往回收线8米．
（3）解：设收线的长度为米，如图，
则米，（米，米，
根据勾股定理得，，
解得，
答：收线的长度为4.2米．
22．(1)6.5秒
(2)四边形是矩形，理由见解析
(3)线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒
（1）解：如图，∵四边形为矩形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵动点的速度为每秒个单位长度，
∴（秒）．
（2）解：如图，四边形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（3）解：如图，点M在点N右侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如图，点M在点N左侧时，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒．
23．(1)见解析
(2)△EFG是等腰直角三角形，理由见解析
(3)AB最小值为2．
（1）证明：如图①，延长BE，DG交于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠EBD +∠ADB+∠ADG=90°，
即∠EBD+∠BDG=90°，
∴∠BHD=90°．
∴BE⊥DG．
又∵BE=DG，
∴四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）解：△EFG是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，
∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，
∴AB⊥CD，AB=CD，
∴∠HBC+∠HCB=90°，
∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，
∴EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC，
∴∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF．
∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠BFG=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°．
∴△EFG是等腰直角三角形；
（3）解：延长BA，CD交于点H，连接BD，分别取AD、BC、BD的中点E、F、G．连接HE，EF，HF，GE，GF，
则EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2，
由（2）可知△EFG是等腰直角三角形，
∴AB=2EG，2EG2=EF2，
∴EG=EF=，
∴AB=2EG≥2．
∴AB最小值为2．

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