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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破九：反比例函数的实际应用（20道）
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）某服装厂承揽一项生产短袖T恤1600件的任务，原计划用天完成．
(1)按原计划，每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）有怎样的函数关系？
(2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议，决定比原计划提前4天交货，那么服装厂每天要比原计划多做多少件短袖T恤才能完成任务？
【答案】(1)，反比例函数(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，分式的减法等知识．
（1）根据实际意义可列出每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）的函数关系式；
（2）用现在每天做的短袖数量减去原计划每天做的短袖数量计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
∴；
（2）解：，
则服装厂每天要比原计划多做件短袖T恤才能完成任务．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）．
(1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式．
(2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？
(3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)(2)个月(3)个月
【分析】本题考查了反比例函数混合与一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．
（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第五个月的利润，然后根据每月的利润比前一个月增加万元，设出函数解析式，根据待定系数法即可求出函数解析式；
（2）把万元代入函数解析式求得的值，由此即可求出机器全部更新后所经过的月数，该厂月利润才能达到去年月的水平；
（3）求出机器更新换代期间和机器全部更新后利润为万元的月数，再求出两个月数的差，即可求出答案．
【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即，
当时，，当时，，
；
（2）当时，，
解得：，
，
机器全部完成更新个月后，利润达到万元；
（3）对于，当时，；
对于，当时，，
，
资金紧张的时间为个月．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足．
(1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围；
(2)请画出函数图象；
(3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？
【答案】(1) ；a的取值范围为；(2)见解析(3)
【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键．
（1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间求得a的取值范围；
（2）根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可；
（3）由（1）求得的函数关系式，代入，解得t的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
当时，，此时，
当时，，此时，
∵，
∴a的取值范围为；
（2）解：根据题意，列表如下：
a 2 3 4
t 10 5
画出函数图象，如下：
（3）解：当时，，
即排水时间需要．
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格；
(3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？
【答案】(1)(2)元/(3)天
【分析】本题考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据“第天以元/的价格销售了”，得出函数解析式即可；
（2）设第二天的销售价格是元/，根据“第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍”，列出分式方程，求解即可；
（3）把代入得出的值，进而求出答案即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入，得，
解得：，
与之间的函数表达式为；
（2）解：设第二天的销售价格是元/，则
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
答：第二天的销售价格为元/；
（3）解：草莓的销售价格定为元/，每天的销售量为：（千克），
（天），
答：余下的草莓预计还需天可以全部售完．
5．（24-25八年级下·全国·单元测试）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数．
(1)当时，求与之间的函数表达式；
(2)当时，求与之间的函数表达式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？
【答案】(1)(2)(3)本节课讲完这道题不能超过
【分析】主要考查了一次函数和反比例的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
（1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；
（2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；
（3）分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得的取值范围后相减即可得到答案．
【详解】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为，
将代入得，
解得，
当时，与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
设当时，与之间的函数表达式为，
将代入得，
当时，与之间的函数表达式为；
（3）解：当时，，
解得；
当时，，
解得，
，
答：本节课讲完这道题不能超过．
6．（2025八年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
(1)写出与之间的函数表达式．
(2)当气体的体积为时，压强是多少？
(3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，函数值、自变量值的计算方法是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入计算即可；
（3）根据题意把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，
∴设反比例函数解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，；
（3）解：与之间的函数表达式为，
∴当时，，
解得，，
∴结合函数图象可知，为了安全起见，气球的体积应大于．
7．（24-25八年级下·全国·课后作业）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g．
(1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
【答案】(1)小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为；
(2)把分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意并且正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，后根据题意代入求出和即可；
（2）由题意可知当时，求出此时小红和小敏所用的水量，进而进行比较即可．
【详解】（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，
将和分别代入两个关系式得：
解得：，
∴小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，
小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为；
（2）把分别代入两个函数得：
解得：，
（L），（L）．
答：小红共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡．
8．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
【答案】(1)(2)销售单价应为160元
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可．
（2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可．
【详解】（1）解：设函数式为，
∵当销售定价为120元时，每日可销售20件，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：设单价是x元，
∵，
∴，解得：，
检验：当时，利润为元，符合题意．
答：销售单价应为160元．
9．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）．
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式；
（2）设空瓶的质量为，加水后的质量均为，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：∵左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，砝码的质量是，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵点P可以在横梁段滑动，
∴．
即．
答：y关于x的函数表达式为：；
（2）解：设空矿泉水瓶的质量为．
根据题意，得，
解得．
这个空矿泉水瓶的质量为．
10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
(2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为
(2)血液中药物浓度不低于的持续时间为
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数在实际中的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键；
（1）分别设出以及时函数的解析式，然后根据待定系数法，结合图中给出数据求解即可；
（2）令上述所得两个函数解析式中的，求出对应的x的值，然后作差即可得到结果．
【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，设反比例函数的表达式为，
将代入得 解得：，
∴反比例函数的表达式是，
因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为．
（2）解：当时，由得，
当时，由得，
，
因此， 血液中药物浓度不低于的持续时间为．
11．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)计算当车速为时视野的度数：
(3)若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？
【答案】(1)(2)40度(3)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）根据题意，用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）代入进一步求解即可；
（3）根据题意得，求解即可．
【详解】（1）解：设f，v之间的关系式为，
∵时，度，
∴，
解得，
所以，
（2）当时，（度）．
（3）根据题意得：，
∴，
∴车速最多．
12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式．
(1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号）
(2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
【答案】(1)(2)这块薄木板的面积至少．
【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键．
（）根据函数解析式即可判断求解；
（）把，代入计算即可求解；
把，代入计算即可求解；
【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确；
当为定值时，，是的正比例函数，故错误；
当为定值时，是的正比例函数，故正确；
∴正确的有，
故答案为：；
（2）解：把，代入
得，，
∵，
∴小明不能安全地站在这块冰面上；
把，代入得，，
解得，
∴这块薄木板的面积至少．
13．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
(2)当时，求机器温度与时间的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度在以上持续时间．
【答案】(1)60、140(2)(3)12分钟
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，从图象获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）根据图象，列出算式进行计算即可；
（2）分和两种情况，待定系数法求出解析式即可；
（3）求出反比例函数的解析式，将为，依次代入及中，求出对应的的值，作差即可．
【详解】（1）解：，
；
故答案为：60、140；
（2）由图象可知：当时，；
当时，设函数解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴；
综上：；
（3）当时，设
将代入得：
当机器温度为，依次代入及中，分别解得、
；
答：三明治机工作温度在以上持续12分钟．
14．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求：
(1)段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)点到轴的距离长是多少？
(3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？
【答案】(1)(2)米(3)至少1米
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出点的坐标，得出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点坐标，代入关系式可求出，根据可求出的取值范围；
（2）把的长代入关系式即可；
（3）根据距水面的高度不高于米得出，即可得出的取值范围，进而可得出到的最小距离，可得答案．
【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为，
∵，
∴，
解得：，
∵出口点到的距离为米，
∴，
∴段所在的反比例函数关系式为；
（2）解：∵，
当时，，
∴点到轴的距离长为米；
（3）解：∵距水面的高度不高于米，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴到的距离至少米．
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)；(2)30分钟(3)有效，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可；
（3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为，
把点代入，
得
解得：，
设药物燃烧后y与x之间的解析式为，
把点代入，
得，
解得：，
故药物燃烧时y与x的函数关系式为；
药物燃烧时y与x的函数关系式为．
（2）解：把，代入，得；
∵，
∴随的增大而减小，
当时，，
即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室．
（3）解：把代入，
解得：，
把代入，
解得：，
∵，
∴这次消毒是有效的．
16．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
(2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
(3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？
【答案】(1)，首付款为3万元(2)每月应付万元
(3)他每月至少应付万元，可在期限内结清余款
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答；
（1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于的绝对值，由图可知，即可求出解析式．
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值．
（3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围．
【详解】（1）解：由图象可知与成反比例，设与的函数关系式为，
把代入关系式得，
，
，
（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）解：当时，（万元），
答：每月应付万元；
（3）解：当时，，
答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款．
17．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度 与退火时间 之间的函数关系，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
(1)已知加热过程中与成一次函数关系，求这个函数关系式；
(2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好．若工人师傅要想效果最好，应该在冷却开始后几分钟内完成操作？
【答案】(1)(2)3分钟
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确地求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先用待定系数法求出冷却过程中y与x的函数关系式，再把代入解析式求出x即可．
【详解】（1）解：设加热过程中y与x的函数解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
∴加热过程中y与x的函数解析式为；
（2）设在冷却过程中y与x的函数关系式为，
将点代入解析式，
解得．
∴在冷却过程中y与x函数关系式，
将代入，
解得，
，
答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作．
18．（18-19九年级上·全国·课后作业）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．
(1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围）
(2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？
【答案】(1)，
(2)血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时
【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识.
（1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分别求出时的两个x值，再求时间差即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，
由图象可知，y是x的正比例函数，令，代入
∴
∴
∴
当时，y与x成反比例，令，代入
∴
∴
∴
（2）解：当，则，
解得：，
当，则，
解得：，
（小时），
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时．
19．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图①是一盏亮度可调节的台灯，工作时电压不变，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度调节，电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，对应的函数图象如图②所示，已知点在函数图象上．
(1)求电流与电阻之间的关系式；
(2)当台灯电流在时，光照适合看书写字，求出此时电阻的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，弄清题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）分别把和代入（1）中解析式求出的值，再根据反比例函数的性质求出I的取值范围．
【详解】（1）解：设电流与电阻的关系式为，
将点代入得：，
解得，
故电流与电阻的关系式为：；
（2）解：当时，，
当时，，
因为随的增大而减小，
所以电阻的范围为：．
20．（24-25九年级上·陕西延安·期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．

(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，
则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∴．
综上，．
∴当时，．
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破九：反比例函数的实际应用（20道）
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）某服装厂承揽一项生产短袖T恤1600件的任务，原计划用天完成．
(1)按原计划，每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）有怎样的函数关系？
(2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议，决定比原计划提前4天交货，那么服装厂每天要比原计划多做多少件短袖T恤才能完成任务？
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）．
(1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式．
(2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？
(3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足．
(1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围；
(2)请画出函数图象；
(3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格；
(3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？
5．（24-25八年级下·全国·单元测试）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数．
(1)当时，求与之间的函数表达式；
(2)当时，求与之间的函数表达式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？
6．（2025八年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
(1)写出与之间的函数表达式．
(2)当气体的体积为时，压强是多少？
(3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？
7．（24-25八年级下·全国·课后作业）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g．
(1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
8．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
9．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）．
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
(2)若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？
11．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)计算当车速为时视野的度数：
(3)若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？
12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式．
(1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号）
(2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为．
①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？
②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？
13．（2025·广东广州·一模）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
(2)当时，求机器温度与时间的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度在以上持续时间．
14．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求：
(1)段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)点到轴的距离长是多少？
(3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
16．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
(2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
(3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？
17．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度 与退火时间 之间的函数关系，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
(1)已知加热过程中与成一次函数关系，求这个函数关系式；
(2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好．若工人师傅要想效果最好，应该在冷却开始后几分钟内完成操作？
18．（18-19九年级上·全国·课后作业）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．
(1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围）
(2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？
19．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图①是一盏亮度可调节的台灯，工作时电压不变，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度调节，电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，对应的函数图象如图②所示，已知点在函数图象上．
(1)求电流与电阻之间的关系式；
(2)当台灯电流在时，光照适合看书写字，求出此时电阻的取值范围．
20．（24-25九年级上·陕西延安·期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．

(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
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