资源简介

2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元圆锥篇其二·进阶性问题【二十一大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元圆锥篇其二·进阶性问题
专题内容 本专题包括圆锥的旋转构成法，圆锥的切面积问题，圆柱与圆锥的关系问题，等积变形问题，排水法求不规则物体的体积，不规则及组合立体图形的体积等多种典型问题。
总体评价
讲解建议 建议根据学生实际水平和总体掌握情况，选择部分考点考题进行讲解。
考点数量 二十一个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】圆锥的旋转构成法其一：求圆锥体积 4
【考点二】圆锥的旋转构成法其二：最大体积问题 7
【考点三】圆锥的旋转构成法其三：混合型图形 9
【考点四】圆锥的旋转构成法其四：圆台 14
【考点五】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题） 18
【考点六】比在圆锥体积中的三种应用 22
【考点七】圆锥体积的扩倍与缩倍问题 22
【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其一：基础应用 24
【考点九】圆柱与圆锥的关系问题其二：比例关系 27
【考点十】圆柱与圆锥的关系问题其三：已知体积和 30
【考点十一】圆柱与圆锥的关系问题其四：已知体积差 32
【考点十二】等积变形问题其一：圆柱与圆锥之间的等积变形 34
【考点十三】等积变形问题其二：正方体与圆锥之间的等积变形 37
【考点十四】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形 39
【考点十五】排水法求不规则物体的体积其一：求圆锥的高 42
【考点十六】排水法求不规则物体的体积其二：求水高 45
【考点十七】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 48
【考点十八】正方体中的最大圆锥 50
【考点十九】长方体中的最大圆锥 52
【考点二十】组合立体图形的体积 54
【考点二十一】圆锥中的倒水问题 57
【第三篇】典型例题篇
【考点一】圆锥的旋转构成法其一：求圆锥体积。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
我们常说“点动成线，线动成面，面动成体”。一条线段绕一个端点旋转一周，所形成的平面图形是( )。一个直角三角形（如图）绕直角边所在直线旋转一周后得到的几何体是( )，它的体积是( )cm3或( )cm3。
【答案】 圆 圆锥 50.24 37.68
【分析】一条线段绕一个端点旋转一周，所形成的平面图形是一个圆；一个直角三角形绕直角边所在直线旋转一周后得到的几何体是一个圆锥；本题中，得到的圆锥的高有两种情况，如果以3cm的直角边旋转一周得到的圆锥的高是3cm，底面半径是4cm；如果以4cm的直角边旋转一周得到的圆锥的高是4cm，底面半径是3cm；根据圆锥的体积＝×底面积×高，分别代入相应数值计算。
【详解】高是3cm的圆锥的体积为：
（cm3）
高是4cm的圆锥的体积为：
（cm3）
因此一条线段绕一个端点旋转一周，所形成的平面图形是圆；一个直角三角形绕直角边所在直线旋转一周后得到的几何体是圆锥，它的体积是50.24cm3或37.68cm3。
【对应练习1】
一个等腰直角三角形的腰长是3dm，它的面积是( )dm2；以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，形成的立体图形的体积是( )dm3。
【答案】 4.5 28.26
【分析】等腰直角三角形的腰就是它的直角边，根据三角形面积＝底×高÷2求出它的面积；
以等腰直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到的图形是圆锥，圆锥的底面半径和高均为3dm。根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出它的体积。
【详解】3×3÷2＝4.5（dm2）
3.14×32×3÷3
＝3.14×9×3÷3
＝28.26（dm3）
所以，这个等腰直角三角形的面积是4.5dm2，以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，形成的立体图形的体积是28.26dm3。
【对应练习2】
一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和2厘米，以较长直角边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形是( )括号内填“圆柱”或“圆锥”，所形成的立体图形的体积是( )立方厘米。（π取3.14）
【答案】 圆锥 25.12
【分析】根据题意可知，以直角三角形的较长直角边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形是圆锥，这个圆锥的底面半径的2厘米，高是6厘米，根据圆锥的体积公式：V ＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详解】（1）一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和2厘米，以较长直角边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形是圆锥。
（2）×3.14×22×6
＝×3.14×4×6
＝25.12（立方厘米）
所形成的立体图形的体积是25.12立方厘米。
【对应练习3】
3D电脑动画成像技术展示活动中，技术人员用一个直角三角形（如图），绕着一条直角边旋转成一个( )，它的体积是( )cm3。
【答案】 圆锥 226.08
【分析】观察图形可知，三角形是直角三角形，一个底角是45°，所以三角形是等腰直角三角形，两条腰相等，都是6cm。用一个直角三角形，绕一条直角边旋转成圆锥；圆锥的底面半径是6cm，高是6cm，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】一个直角三角形绕着一条直角边旋转成一个圆锥。
3.14×62×6×
＝3.14×36×6×
＝113.04×6×
＝678.24×
＝226.08（cm3）
3D电脑动画成像技术展示活动中，技术人员用一个直角三角形（如图），绕着一条直角边旋转成一个圆锥，它的体积是226.08cm3。
【考点二】圆锥的旋转构成法其二：最大体积问题。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
以下面直角三角形的直角边为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（单位cm）
【答案】圆锥体；50.24立方厘米
【分析】把这个直角三角形沿直角边旋转一周，得到的是一个底面半径是4厘米、高3厘米或底面半径3厘米、高4厘米的圆锥体，
【详解】体积是：3.14××3×＝50.24（立方厘米）
或3.14××4×＝37.68（立方厘米）
答：旋转后得到的是圆锥体，体积最大是50.24立方厘米。
【对应练习1】
以三角形（如图）的其中一条直角边为轴，旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的最大体积是多少立方厘米？
【答案】18.84立方厘米
【分析】如果以三角形3厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是2厘米，高是3厘米；如果以三角形的2厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是3厘米，高是2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详解】×3.14×22×3
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
×3.14×32×2
＝3.14×6
＝18.84（立方厘米）
18.84＞12.56
答：这个立体图形的最大体积是18.84立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【对应练习2】
将一个直角边分别为8厘米、6厘米的直角三角形，以一条直角边为轴旋转，怎样旋转得到的圆锥的体积最大？ （得数保留两位小数）
【答案】以6厘米直角边为轴旋转，得到的圆锥体积最大，最大体积是401.92立方厘米
【分析】以一条直角边为轴旋转，得到的圆锥有两种情况，以8厘米为轴，那么高是8厘米，底面半径是6厘米；以6厘米为轴，那么高是6厘米，底面半径是8厘米；分别计算两种情况下的体积，然后进行比较。
【详解】情况一：以8厘米为轴，高是8厘米，底面半径是6厘米；
（立方厘米）
情况二：以6厘米为轴，高是6厘米，底面半径是8厘米；
（立方厘米）
401.92立方厘米＞301.44立方厘米；
答：以6厘米直角边为轴旋转，得到的圆锥体积最大，最大体积是401.92立方厘米。
【点睛】直角三角形以直角边为轴进行旋转，得到的几何体是圆锥，其中底面半径越大，体积也就越大。
【对应练习3】
一个直角三角形两直角边分别是4cm和6cm,现在分别以两直角边为轴，旋转一周，得到两个圆锥体，体积最大的是哪个？是多少？
【答案】体积最大是以直角边4厘米为轴旋转得到的圆锥；是113.04立方厘米．
【详解】×3.14×62×4
＝3.14×36×4
＝113.04（立方厘米）；
3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）；
113.04立方厘米＞100.48立方厘米，
答：体积最大是以直角边4厘米为轴旋转得到的圆锥，是113.04立方厘米。
【考点三】圆锥的旋转构成法其三：混合型图形。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？
【答案】301.44立方厘米
【分析】观察图形可知，旋转体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；其中圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米；圆锥的底面半径是4厘米，高是（10－4）厘米；
根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱的体积、圆锥的体积，再相加即可。
【详解】圆柱的体积：
3.14×42×4
＝3.14×16×4
＝200.96（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×42×（10－4）
＝×3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）
旋转体的体积：
200.96＋100.48＝301.44（立方厘米）
答：它的体积是301.44立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积公式的运用，结合图形，分析出这个旋转体是是由哪些立体图形相加或相减得到，再根据图形的体积公式列式计算。
【对应练习1】
如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米）
【答案】141.3立方厘米
【分析】以CD边所在的直线为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形可以看成是高为6厘米、底面半径为3厘米的圆柱里面挖去一个高为（6－3）厘米、底面半径为3厘米的圆锥；根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，分别计算出圆柱和圆锥的体积，然后相减，即可求出这个立体图形的体积。
【详解】圆柱的体积：
3.14×32×6
＝3.14×9×6
＝169.56（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×32×（6－3）
＝×3.14×9×3
＝3.14×9
＝28.26（立方厘米）
立体图形的体积：
169.56－28.26＝141.3（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，关键是明白直角梯形绕CD边旋转一周，得到图形的体积是圆柱的体积减圆锥的体积。
【对应练习2】
下图是一个直角梯形，如果以AB边为轴旋转一周，会得到一个立体图形。
（1）这个立体图形的底面积是多少平方厘米？
（2）这个立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）12.56平方厘米；
（2）37.68立方厘米
【分析】（1）以AB边为轴旋转一周，得到一个上面以2厘米为底面半径，（5－2）厘米为高的圆锥，下面以2厘米为底面半径，2厘米为高的圆柱的组合体，利用“”求出立体图形的底面积；
（2）已知圆锥和圆柱的底面积和高，利用“”“”表示出圆锥和圆柱的体积，最后求出它们的和，据此解答。
【详解】（1）3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
答：这个立体图形的底面积是12.56平方厘米。
（2）×12.56×（5－2）＋12.56×2
＝×12.56×3＋12.56×2
＝12.56＋25.12
＝37.68（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是37.68立方厘米。
【点睛】掌握圆锥和圆柱的特征，并熟记圆锥和圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。
【对应练习3】
在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点o。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）见详解
（2）565.2立方厘米
【分析】（1）左边梯形可以看成三角形和长方形，下边长方形旋转一周是圆柱，上边三角形绕直角边旋转一周是圆锥，即圆柱上边摞一个圆锥；右边提醒是绕上底旋转，相当于圆柱上边挖去一个倒着的圆锥，据此作图。
（2）这个立体图形可以看成两个圆锥削掉上半部分然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。
【详解】（1）；
（2）设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，则
V＝×6 ×10×π－2××3 ×5×π
＝120π－30π
＝90π（立方厘米）
2V＝180π＝565.2（立方厘米）
答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米。
【点睛】关键是熟悉圆柱和圆锥的特点，圆锥体积＝底面积×高×。
【考点四】圆锥的旋转构成法其四：圆台。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？
【答案】197.82立方厘米
【分析】如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。
因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。
【详解】由分析可得：
分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，
在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米；
大圆锥体积：×3.14×62×6
＝×3.14×36×6
＝（×36）×3.14×6
＝12×3.14×6
＝37.68×6
＝226.08（立方厘米）
6－3＝3（厘米）
×3.14×32×3
＝×3.14×9×3
＝（×9）×3.14×3
＝3×3.14×3
＝9.42×3
＝28.26（立方厘米）
226.08－28.26＝197.82（立方厘米）
答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。
【点睛】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。
【对应练习】
资料卡：
图形“变”起来
下图是一个圆台，上底半径3cm，下底半径5cm。
根据资料中的信息自主选择问题并解答。
(1)圆台是由图形（ ）旋转而成的。
A． B． C． D．
(2)如果把圆台上底增加至( )厘米，或者下底半径缩短至( )厘米，它可以变成一个圆柱体。
(3)把底面半径为3厘米的圆柱形木料，沿着底面直径平均分成两部分（如下图），表面积增加了18平方厘米，请你计算出这个圆柱体的表面积？
(4)如果把圆台上底向圆心方向不断缩、缩至为一个( )，它可以变成一个圆锥，请把这个圆锥在图中画出来。
(5)画出的圆锥与底面半径为5厘米的圆柱形是( )的，它们的体积比是( )，圆锥的体积比圆柱体积少( )。
(6)如果圆台的高为15厘米，请你计算出圆锥体的体积是多少立方分米？
【答案】(1)C
(2) 5 3
(3)84.78平方厘米
(4)点；图见详解
(5) 等底等高 1∶3
(6)392.5立方分米
【分析】（1）根据圆台的特征可知，圆台是通过直角梯形旋转得到的，据此解答；
（2）由于圆台是由直角梯形旋转得到的，如果上底与下底相等，就会变成一个圆柱，据此解答；
（3）增加部分的面积是长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高的两个长方形面积，根据长方形公式：面积＝长×宽，长＝面积÷宽，代入数据，求出长，也就是圆柱的高，再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答；
（4）根据圆锥的特征可知，把圆台上底向圆心方向不断缩、缩至为一个点，就是圆锥，据此画出圆锥的图形；
（5）画出的圆锥与底面半径为5厘米的圆柱形是等底等高的，根据等底等高的圆柱与圆锥的关系可知，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，据此求出圆锥与圆柱的体积比，以及圆锥的体积比圆柱体积少几分之几；
（6）根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可求出圆锥的体积。
【详解】（1）
根据分析可知，圆台是由图形旋转而成的。
故答案为：C
（2）如果把圆台上底增加至5厘米，或者下底半径缩短至3厘米，它可以变成一个圆柱体。
（3）18÷2÷（3×2）
＝9÷6
＝1.5（厘米）
3.14×32×2＋3.14×3×2×1.5
＝3.14×9×2＋9.42×2×1.5
＝28.26×2＋18.84×1.5
＝56.52＋28.26
＝84.78（平方厘米）
答：这个圆柱的表面积是84.78平方厘米。
（4）如果把圆台上底向圆心方向不断缩、缩至为一个点，它可以变成一个圆锥。
如图：
（5）画出的圆锥与底面半径为5厘米的圆柱形是等底等高的；
设圆锥的体积是1，则等底等高的圆柱的体积是1×3＝3
圆锥的体积∶圆柱的体积＝1∶3
（3－1）÷3
＝2÷3
＝
画出的圆锥与底面半径为5厘米的圆柱形是等底等高的，它们的体积比是1∶3，圆锥的体积比圆柱体积少.
（6）3.14×52×15×
＝3.14×25×15×
＝78.5×15×
＝1177.5×
＝392.5（立方厘米）
答：圆锥体的体积是392.5立方厘米。
【考点五】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题）。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面直径是6cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是( )cm3。
【答案】75.36
【分析】由题意可知，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来增加了两个三角形的面积，该三角形的底相当于圆锥的直径，三角形的高相当于圆锥的高，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】48÷2×2÷6
＝24×2÷6
＝48÷6
＝8（cm）
×3.14×（6÷2）2×8
＝×3.14×9×8
＝×9×3.14×8
＝3×3.14×8
＝9.42×8
＝75.36（cm3）
则这个圆锥的体积是75.36cm3。
【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的高是解题的关键。
【对应练习1】
把一个底面半径是5厘米的圆锥体木块，从顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，这时表面积增加120平方厘米，求这个圆锥体木块的体积是( )立方厘米。
【答案】314
【分析】根据题意，从圆锥的顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形；先用增加的表面积除以2，求出一个切面（三角形）的面积，然后根据三角形的高＝面积×2÷底，即可求出圆锥的高；最后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个圆锥体木块的体积。
【详解】120÷2＝60（平方厘米）
60×2÷（5×2）
＝120÷10
＝12（厘米）
×3.14×52×12
＝×3.14×25×12
＝3.14×100
＝314（立方厘米）
【点睛】本题考查三角形面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是求出圆锥的高。
【对应练习2】
一个底面直径是6cm的圆锥，沿着高方向切成2个半圆锥，表面积增加了48cm ，圆锥的高是( )cm，圆锥的体积为( )。
【答案】 8 75.36
【分析】由题干可知，把圆锥沿高切开，切面是三角形，三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，则h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式进而求出圆锥的体积。
【详解】48÷2＝24（平方厘米）
24×2÷6
＝48÷6
＝8（厘米）
3.14×（6÷2） ×8÷3
＝226.08÷3
＝75.36（立方厘米）
【点睛】此题考查的是三角形面积的计算，圆锥的体积公式的应用，熟记公式是解题关键。
【对应练习3】
把一个高5厘米的圆锥沿高切开，得到两个如图所示的物体，表面积一共增加60平方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
【答案】188.4
【分析】根据题意可知，增加的面积是2个三角形面积，三角形的底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，由三角形的面积公式可知，三角形的底长＝面积×2÷高，也就是圆锥的底面直径，进而求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式：，即可算出圆锥的体积。
【详解】底面直径：60÷2×2÷5
＝60÷5
＝12（厘米）
圆锥体积：
（立方厘米）
即圆锥的体积是188.4立方厘米。
【考点六】比在圆锥体积中的三种应用。
【方法点拨】
1. 圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2. 圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比( )。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少
解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12
【对应练习1】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
解析：8:27
【对应练习2】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
解析：1:2
【对应练习3】
甲乙两个圆柱，底半径比是2:3，高的比是4:5，它们的体积比是多少？
【答案】16:45
【详解】圆柱体积之比就是要比较底面积与高的乘积的比．
答：它们的体积比是16:45。
【考点七】圆锥体积的扩倍与缩倍问题。
【方法点拨】
圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即：
1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）；
2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。
【典型例题】
一个圆锥的高扩大3倍，底面积不变，则体积( )。
【答案】扩大三倍
【详解】略
【对应练习1】
一个圆锥的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，圆锥的体积扩大到原来的( )倍。
【答案】8
【分析】根据圆锥的体积公式，结合底面半径和高的变化情况，分析并求出体积的变化情况即可。
【详解】因为圆锥体积＝3.14×半径2×高÷3，所以当底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，22×2＝8，那么圆锥的体积扩大到原来的8倍。
【点睛】本题考查了圆锥的体积，熟记圆锥体积公式是解题的关键。
【对应练习2】
一个圆锥体的底面直径和高都扩大3倍，体积就扩大( )倍。
【答案】27
【分析】根据圆面积公式可知，圆面积扩大的倍数是直径扩大倍数的平方倍，根据圆锥的体积公式可知，圆锥体积扩大的倍数是底面积扩大的倍数乘高扩大的倍数。
【详解】3×3＝9
圆锥的底面直径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍，高扩大到原来的3倍；
则体积扩大到原来的9×3＝27倍。
【点睛】熟练掌握圆锥的体积计算公式是解决本题的关键。
【对应练习3】
一个圆锥的高扩大4倍，半径缩小为原来的，体积( )。
【答案】不变
【分析】根据圆锥体积＝πrh，将h×4，r×，带入公式，化简后与原体积公式比较即可。
【详解】圆锥体积＝πrh，π（r）（h×4）＝πrh，体积不变。
【点睛】本题考查了圆锥体积，根据积的变化规律来思考，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其一：基础应用。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
1．「应用一」一个圆柱形木墩如图。把这个木墩削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？
【答案】25.12立方分米
【分析】已知圆柱的底面直径是4分米，高为6分米，若把它削成一个最大的圆锥体，则削成的圆锥和圆柱的底面直径以及高都相等，根据等底等高的圆锥体的体积是圆柱体积的三分之一，因此，求出圆柱的体积除以3即可。
【详解】3.14×（4÷2）2×6÷3
＝3.14×24÷3
＝3.14×8
＝25.12（立方分米）
答：圆锥的体积是25.12立方分米。
【点睛】此题的知识点是：圆锥和圆柱的关系，根据圆柱的底面直径和高，依次求圆柱的底面面积和体积。
2．「应用二」一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，圆柱的底面积是多少？
【答案】9.42平方厘米
【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下：
等底等高时：V圆柱＝3V圆锥
等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱
等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱
【详解】28.26÷3＝9.42（平方厘米）
答：圆柱的底面积是9.42平方厘米。
3．「应用三」把一根底面周长是24厘米，长是18厘米的圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，圆锥的高是多少？
【答案】54厘米
【分析】根据题意可知，把一个圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，由圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍，据此解答。
【详解】18×3＝54（厘米）
答：圆锥的高是54厘米。
【点睛】掌握等体积等底的圆柱和圆锥的高之间的关系是解题的关键。
【对应练习1】
一根圆柱体的木材，底面半径是3分米，高是5分米。
（1）给这根木材侧面涂上油漆，需要涂多少平方分米？
（2）把这根圆柱体木材削成等底等高的圆锥体，圆锥体积是多少立方分米？
【答案】（1）94.2平方分米
（2）47.1立方分米
【分析】（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此求出需要涂出的面积；
（2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，先求出圆柱的体积，再求出圆锥的体积即可。
【详解】（1）
（平方分米）
答：需要涂94.2平方分米。
（2）
（立方分米）
答：圆锥体积是47.1立方分米。
【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积、圆锥的体积，解答本题的关键是熟记侧面积和体积计算公式。
【对应练习2】
一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是28.26平方厘米，圆锥的底面积是多少？
【答案】84.78平方厘米
【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下：
等底等高时：V圆柱＝3V圆锥；
等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱；
等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱；
结合条件，用28.26乘3即可求出圆锥的底面积。
【详解】28.26×3＝84.78（平方厘米）
答：圆锥的底面积是84.78平方厘米。
【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的关系，关键熟记它们之间的变化规律。
【对应练习3】
一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？
【答案】45厘米
【分析】根据“圆锥体的体积等于等底等高的圆柱体体积的”可知：一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此解答。
【详解】15×3＝45（厘米）
答：圆锥的高是45厘米。
【点睛】解答本题需熟练掌握等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系。
【考点九】圆柱与圆锥的关系问题其二：比例关系。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
1．「底面积之比」体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是( )。
【答案】1∶3
【分析】圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；底面积＝体积÷高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；底面积＝体积÷高÷；体积相等，高相等；设体积为v，高为h；圆柱的底面积＝v÷h；圆锥的底面积＝v÷h÷；再根据比的意义，求出它们的底面积之比，据此解答。
【详解】设体积为v，高为h。
（v÷h）∶（v÷h÷）
＝∶
＝1∶3
体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是1∶3。
2．「高之比」一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱的半径与圆锥的半径比是1∶2，则圆柱的高与圆锥的高的比为( )。
【答案】4∶3
【分析】已知圆柱和圆锥的体积相等，它们底面半径的比是1∶2，假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为2，体积都为1，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥的体积计算公式“V＝πr2h”，代入数据求解圆柱和圆锥的高，再写出它们的比，然后化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。
【详解】假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为2，体积都为1
圆柱的高：1÷（π×12）
＝1÷（π×1）
＝1÷π
＝
圆锥的高：3×1÷（π×22）
＝3×1÷（π×4）
＝3×1÷4π
＝
∶
＝（×4π）∶（×4π）
＝4∶3
圆柱的高与圆锥的高的比为4∶3。
3．「体积之比」一个圆柱和一个圆锥，底面积的比是，高之比是，那么这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。
【答案】5∶4
【分析】根据题意，假设圆柱的底面积为2S，圆锥的底面积为3S，圆柱的高为5h，圆锥的高为8h，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出二者的体积，再根据比的意义求出二者之比并化简。
【详解】假设圆柱的底面积为2S，圆锥的底面积为3S，圆柱的高为5h，圆锥的高为8h。
（2S×5h）∶（3S×8h÷3）
＝10Sh∶8Sh
＝（10Sh÷2Sh）∶（8Sh÷2Sh）
＝5∶4
所以，这个圆柱和圆锥的体积之比是5∶4。
【对应练习1】
一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积的比是3∶1，高的比是( )。
【答案】1∶1
【分析】由题意可知，设圆锥的体积为V，则圆柱的体积为3V，它们的底面积为S，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，据此求出它们的高的比。据此解答即可。
【详解】设圆锥的体积为V，则圆柱的体积为3V，它们的底面积为S
（3V÷S）∶（3V÷S）＝1∶1
则高的比是1∶1。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
【对应练习2】
一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍，圆锥与圆柱的体积比值是( )。
【答案】
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，因“圆柱的底面积是圆锥底面积的”是以圆锥底面积为单位“1”，所以设圆锥的底面积为S，则圆柱的底面积为，又因“圆锥的高是圆柱高的2倍”是以圆柱的高为标准量，所以设圆柱的高为h，则圆锥的高为2h，把数据代入公式解答即可。
【详解】假设圆锥的底面积为S，则圆柱的底面积为，圆柱的高为h，则圆锥的高为2h，圆锥与圆柱体积的比值是：
圆锥与圆柱的体积比值是。
【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用；本题还要注意题目中的倍数关系是以哪个量为标准量，最后求比值也要看清楚哪个量是比的前项，哪个量是比的后项。
【对应练习3】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
解析：5:2
【考点十】圆柱与圆锥的关系问题其三：已知体积和。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是78立方分米，那么圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积( )立方分米。
【答案】 19.5 58.5
【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据和倍问题解题方法，体积和÷（倍数＋1）＝圆锥体积，体积和－圆锥体积＝圆柱体积，据此列式计算。
【详解】78÷（3＋1）
＝78÷4
＝19.5（立方分米）
78－19.5＝58.5（立方分米）
圆锥的体积是19.5立方分米，圆柱的体积58.5立方分米。
【对应练习1】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和68dm3，圆柱体积是( )dm3。
【答案】51
【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积和÷（3＋1）＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。
【详解】68÷（3＋1）×3
＝68÷4×3
＝51（dm3）
圆柱体积是51dm3。
【点睛】关键是理解圆柱和圆锥体之间的关系，掌握和倍问题的解题方法。
【对应练习2】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是36立方分米，它们的体积相差( )立方分米。
【答案】18
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，可知它们的体积之和是圆锥体积的（3＋1）倍，已知体积之和是36立方分米，用除法即可求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积，再相减即可。
【详解】36÷（3＋1）
＝36÷4
＝9（立方分米）
36－9＝27（立方分米）
27－9＝18（立方分米）
即它们的体积相差18立方分米。
【对应练习3】
一个圆柱体的体积与它等底等高的圆锥体的体积之和是144m3，它们的体积之差是( )。
【答案】72m3
【分析】根据等底等高的圆柱体的体积等于圆锥体的体积的3倍，据此解答即可。
【详解】据题意可知：
V圆柱＝3V圆锥
V圆柱＋V圆锥＝144
V圆锥＝144÷（3＋1）
＝144÷4
＝36（m3）
V圆柱＝36×3＝108（m3）
所以，它们的体积之差是：108－36＝72（m3）
【点睛】本题考查圆柱体的体积和圆锥体的体积之间的关系，关键要抓住等底等高这个条件。
【考点十一】圆柱与圆锥的关系问题其四：已知体积差。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是( )cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是( )cm。
【答案】 24 8
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的（3－1）倍，即用圆柱比圆锥体积大的部分除以（3－1）即可求出圆锥体积；
根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，代入公式求出圆锥的高即可。
【详解】由分析可得：
等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，
48÷（3－1）
＝48÷2
＝24（cm3）
24÷÷9
＝24×3÷9
＝72÷9
＝8（cm）
综上所述：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是24cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是8cm。
【对应练习1】
一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差30立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。
【答案】15
【分析】圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，将圆锥的体积看成1份，那么等底等高的圆柱的体积就是3份，它们的体积相差3－1＝2份，用30÷2求出相差1份的体积是多少，也就是圆锥的体积。
【详解】30÷（3－1）
＝30÷2
＝15（立方厘米）
圆锥体的体积是15立方厘米。
【点睛】熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系是解题的关键。
【对应练习2】
一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。
【答案】 30 90
【分析】圆锥与圆柱等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，所以圆柱的体积比圆锥的体积多，知道了它们的体积差是60立方厘米，所以圆柱的体积就是，用求出的圆柱体积乘，就是圆锥的体积。
【详解】
＝
＝
＝（立方厘米）
（立方厘米）
所以圆锥的体积是30立方厘米，圆柱的体积是90立方厘米。
【点睛】考查等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，重点是知道它们之间存在着的数量关系。
【对应练习3】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差12.56cm3，它们的体积之和是( )cm3。
【答案】25.12
【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，所以等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍，等底等高圆柱和圆锥的体积差是圆锥体积的2倍。将体积差除以2，求出圆锥体积，再将圆锥体积乘3，求出圆柱体积。将圆柱和圆锥体积相加，求出体积之和。
【详解】12.56÷2＝6.28（cm3）
6.28×3＝18.84（cm3）
6.28＋18.84＝25.12（cm3）
所以，它们的体积之和是25.12cm3。
【考点十二】等积变形问题其一：圆柱与圆锥之间的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？
【答案】45厘米
【分析】根据“圆锥体的体积等于等底等高的圆柱体体积的”可知：一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此解答。
【详解】15×3＝45（厘米）
答：圆锥的高是45厘米。
【点睛】解答本题需熟练掌握等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系。
【对应练习1】
把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
【答案】6厘米
【分析】根据题意，把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥形铁块，形状变了，铁块的体积不变。
先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积；
已知圆锥形铁块的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；
根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。
【详解】铁块的体积：
3.14×（10÷2）2×8
＝3.14×25×8
＝628（立方厘米）
圆锥的底面半径：
62.8÷3.14÷2＝10（厘米）
圆锥的底面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圆锥的高：
628×3÷314
＝1884÷314
＝6（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高是6厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。
【对应练习2】
把一堆底面半径为3米，高为1.8米的圆锥形小麦堆放进底面半径为2米的圆柱形粮囤中，正好装满，请问粮囤的高是多少米？
【答案】1.35米
【分析】根据题意，把圆锥形小麦堆放进圆柱形粮囤中，形状变了，小麦的体积不变。根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆小麦的体积。
将这些小麦放进底面半径为2米的圆柱形粮囤中，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形粮囤的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，代入数据计算，求出粮囤的高。
【详解】圆锥的体积：
×3.14×32×1.8
＝×3.14×9×1.8
＝16.956（立方米）
圆柱的底面积：
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
圆柱的高：
16.956÷12.56＝1.35（米）
答：粮囤的高是1.35米。
【点睛】本题考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，抓住小麦的体积不变是解题的关键。
【对应练习3】
把一个底面周长是31.4分米，高9分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥体，圆锥的高是多少分米？
【答案】18.75分米
【分析】先利用圆的周长公式求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积V＝求出这个圆柱体铁块的体积，又因圆柱体铁块熔铸成圆锥体时体积是不变的，也就等于知道了圆锥的体积，从而利用圆锥的体积V＝，就能求出这个圆锥体的高。
【详解】31.4÷2÷3.14＝5（分米）
3.14×52×9
＝3.14×25×9
＝706.5（立方分米）
706.5÷÷（3.14×62）
＝706.5×3÷（3.14×36）
＝2119.5÷113.04
＝18.75（分米）
答：圆锥的高是18.75分米。
【点睛】此题主要是灵活利用圆柱与圆锥的体积公式解决问题，关键是明白：圆柱体铁块熔铸成圆锥体时体积是不变的。
【考点十三】等积变形问题其二：正方体与圆锥之间的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米）
【答案】5厘米
【分析】首先要理解把正方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变了，但体积不变。因此根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可求出高。由此列式解答。
【详解】（5×5×5）÷（×3.14×52）
＝（5×5×5）÷（×3.14×25）
≈125÷26.17
≈5（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高约是5厘米。
【点睛】此题主要考查正方体和圆锥的体积计算方法，理解体积没有发生变化是解答本题的关键。
【对应练习1】
一个棱长是5分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是25平方分米的圆锥形容器里，好装满，这个圆锥的高是多少？
【答案】15分米
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出水的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。
【详解】5×5×5×3÷25
＝375÷25
＝15（分米）
答：这个圆锥的高是15分米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体和圆锥体积公式。
【对应练习2】
把一块棱长为10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径为20厘米锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约多少厘米？（π取3）
【答案】10厘米
【分析】先求出正方体的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，因为将正方体铁块熔铸成圆锥形铁块，所以体积相等；圆锥的体积＝×底面积×高，则圆锥的高＝圆锥的体积÷底面积÷，圆锥的底面是一个圆，圆的面积＝πr2，代入公式计算即可。
【详解】10×10×10＝1000（立方厘米）
3×（20÷2）2
＝3×100
＝300（平方厘米）
1000÷300÷
＝1000÷300×3
＝10（厘米）
答：圆锥形铁块的高约是10厘米。
【点睛】此题考查正方体以及圆锥体的体积公式，明确熔铸前后体积相等是解题的关键。
【对应练习3】
把一块棱长为16厘米的正方体铁块熔成一个底面半径是10厘米的圆锥形铁块。这个圆锥的高大约是多少厘米？（结果保留整数）
【答案】39厘米
【分析】由题意可知，正方体铁块的体积相当于圆锥铁块的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，圆锥的体积公式：V＝Sh，据此解答即可。
【详解】16×16×16×3÷（3.14×102）
＝256×16×3÷314
＝12288÷314
≈39（厘米）
答：这个圆锥的高大约是39厘米。
【点睛】本题考查正方体和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
【考点十四】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高5厘米的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
【答案】36平方厘米
【分析】先依据求出水的体积，再据水的体积不变，利用即可求出圆锥形容器后的底面积。
【详解】5×4×3＝60（立方厘米）
60×3÷5
＝180÷5
＝36（平方厘米）
答：这个圆锥形容器的底面积是36平方厘米。
【对应练习1】
学校修缮运动场买来一些河沙，堆成了一个底面半径1.5米，高1.2米的近似圆锥形。将这些沙均匀的铺在长4米，宽1.57米的长方体沙坑里，可以铺多厚？
【答案】0.45米
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；由于体积不变，圆锥形沙堆的体积＝长方体沙堆的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。
【详解】3.14×1.52×1.2×÷（4×1.57）
＝3.14×2.25×1.2×÷6.28
＝7.065×1.2×÷6.28
＝8.478×÷6.28
＝2.826÷6.28
＝0.45（米）
答：可以铺0.45米厚。
【对应练习2】
把一块长方体钢坯铸造成一个直径为12分米的圆锥形零件，求圆锥形零件的高。
【答案】8分米
【分析】根据体积的意义，把长方体钢坯铸造成圆锥体后体积不变，根据长方体体积公式：V＝abh，圆锥体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，同时底面积公式为：S＝r2，用直径的长度除以2可得半径的长度，由此将数据代入可求出圆锥的高。
【详解】由分析可得：
12.56×4×6÷÷[3.14×（12÷2）2]
＝12.56×4×6÷÷[3.14×62]
＝12.56×4×6÷÷[3.14×36]
＝12.56×4×6÷÷113.04
＝50.24×6×3÷113.04
＝301.44×3÷113.04
＝904.32÷113.04
＝8（分米）
答：圆锥的高是8分米。
【点睛】本题考查了长方体体积公式，圆锥体积公式，底面积公式的灵活运用，解题的关键是牢记公式。
【对应练习3】
工人师傅要把一个棱长5厘米的正方体铁块和一个长6厘米、宽5厘米。高4厘米的长方体铁块；熔铸成一个底面半径3厘米的圆锥形零件。这个圆锥形零件的高是多少厘米？
【答案】（5×5×5＋6×5×4）×3÷（3.14×32）
【分析】由题意可知，长方体的体积与正方体的体积之和等于圆锥的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，据此求出圆锥形零件的体积，再根据圆的面积公式：S＝πr2，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此求出这个圆锥形零件的高是多少厘米。
【详解】（5×5×5＋6×5×4）×3÷（3.14×32）
＝（125＋120）×3÷（3.14×9）
＝245×3÷28.26
＝735÷28.26
≈26（厘米）
答：这个圆锥形零件的高大约是26厘米。
【考点十五】排水法求不规则物体的体积其一：求圆锥的高。
【方法点拨】
1. 转化法求不规则物体的体积。
在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算，
2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下：
（1）在容器中注入适量的水，记下水位。
（2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。
（3）用尺子测量容器里现在水面的高度。
（4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积
3. 排水法求不规则物体的体积公式。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。
【典型例题】
在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。
（1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？
（2）圆锥形铁块的高是多少厘米？
【答案】（1）94.2立方厘米
（2）10厘米
【分析】（1）从题意可知：上升的水的体积就是这个圆锥的体积，即求底面直径20厘米，高0.3厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆锥的体积。
（2）先求出圆锥的底面积，再根据圆锥的高＝体积÷÷底面积，代入数据计算即可求出圆锥的高。
【详解】（1）（20÷2）2×3.14×0.3
＝102×3.14×0.3
＝100×3.14×0.3
＝94.2（立方厘米）
答：圆锥形铁块的体积是94.2立方厘米。
（2）94.2÷÷（32×3.14）
＝94.2×3÷（9×3.14）
＝282.6÷28.26
＝10（厘米）
答：圆锥形铁块的高是10厘米。
【对应练习1】
一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
【答案】6厘米
【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此求出铅锤的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即h＝3V÷πr2，据此进行计算即可。
【详解】3.14×62×0.5
＝3.14×36×0.5
＝113.04×0.5
＝56.52（立方厘米）
56.52×3÷（3.14×32）
＝56.52×3÷（3.14×9）
＝56.52×3÷28.26
＝169.56÷28.26
＝6（厘米）
答：这个铅锤的高是6厘米。
【对应练习2】
如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是8厘米。把一个底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了0.628厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
【答案】6厘米
【分析】将一个圆锥形的铅锤完全侵入水中，水面上升的体积就是圆锥形铅锤的体积，水面上升的体积是一个长为16厘米，宽为10厘米，高为0.628厘米的长方体的体积。长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。再根据，得出求出这个圆锥的高。
【详解】16×10×0.628＝100.48（立方厘米）
100.48×3÷（3.14×）
＝301.44÷（3.14×16）
＝301.44÷50.24
＝6（厘米）
答：这个铅锤的高是6厘米。
【对应练习3】
一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？
解析：
37.68÷3.14÷2＝6（厘米）
3.14×92×2÷÷（3.14×62）
＝
＝13.5（厘米）
答：圆锥形铅锤的高是13.5厘米。
【考点十六】排水法求不规则物体的体积其二：求水高。
【方法点拨】
排水法求不规则物体的体积公式。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
我会思考与计算。
步骤：准备一个底面积是的圆柱形空水杯水平放置。
步骤：放入一块底面积是、高是的圆锥形铅锤，铅锤的底面与水杯的内壁底面贴合在一起。
步骤：向水杯里倒水，水面与铅锤顶端（点）刚好平行。
步骤：取出铅锤，水面下降。
你能算出水面下降了多少厘米吗？
【答案】厘米
【分析】观察图可知，将圆锥从杯子里取出来后，水面会下降，下降部分水的体积等于圆锥的体积，先根据圆锥的体积公式：，求出圆锥的体积；根据圆柱的体积：，然后用圆锥的体积除以圆柱形水杯的底面积，即可求出下降水的高度，据此列式解答。
【详解】下降高度：
（厘米）
答：水面下降了1.5厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握下降部分水的体积等于圆锥的体积。
【对应练习1】
一个圆柱形容器，从里面量，底面半径10厘米，高15厘米，容器中的水面高10厘米。当放入一个底面半径为5厘米、高为9厘米的圆锥形铁锤，使其沉入水中时，容器中的水面会增高多少厘米？
【答案】0.75厘米
【分析】水面上升部分体积等于圆锥形铁锤的体积；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形铁锤的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，用圆锥形铁锤的体积除以圆柱形容器的底面积，求出水面上升的高度，据此解答。
【详解】3.14×52×9×÷（3.14×102）
＝3.14×25×9×÷（3.14×100）
＝78.5×9×÷314
＝706.5×÷314
＝235.5÷314
＝0.75（厘米）
答：容器中的水面会增高0.75厘米。
【对应练习2】
一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？
【答案】1.2厘米
【分析】杯里的水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥体积＝底面积×高，求出杯里的水面下降部分的体积，再用杯里的水面下降部分的体积除以圆柱的底面积，求出杯里的水面下降多少厘米即可。
【详解】下降水的体积：×3.14×（12÷2）2×10
＝×3.14×36×10
＝×36×3.14×10
＝12×3.14×10
＝12×31.4
＝376.8（立方厘米）
下降高度：376.8÷（3.14×102）
＝376.8÷（3.14×100）
＝376.8÷314
＝1.2（厘米）
答：杯里的水面下降1.2厘米。
【对应练习3】
将一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，完全浸没在底面半径是5厘米，高是25厘米的圆柱形容器中（水未溢出）。容器中水面会升高多少厘米？（容器厚度忽略不计）
【答案】1.2厘米
【分析】根据题意，把一个圆锥形铁块完全浸没在装有水的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积；
根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积，也就是水上升部分的体积；
水上升部分是一个底面半径为5厘米的圆柱，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积；再根据圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面上升的高度。
【详解】圆锥的体积（水上升部分的体积）：
×3.14×（6÷2）2×10
＝×3.14×32×10
＝×3.14×9×10
＝94.2（立方厘米）
圆柱形容器的底面积：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
水面上升：
94.2÷78.5＝1.2（厘米）
答：容器中水面会升高1.2厘米。
【考点十七】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题。
【方法点拨】
排水法求不规则物体的体积公式。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？
解析：
（立方厘米）
157立方厘米＝157毫升
答：会溢出157毫升的水。
【对应练习1】
把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？
解析：
×3.14×42×6
＝×3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）
答：将有100.48立方厘米的水溢出。
【对应练习2】
有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）
解析：
圆锥形铁块的体积：×3.14×6 ×10＝376.8（cm ）
水的体积：3.14×8 ×6＝1205.76（cm ）
45 mL＝45 cm
376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm ）
玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8 ）≈8（cm）
答：这个玻璃容器的高约8cm。
【对应练习3】
一个盛满水的圆柱形玻璃容器，底面半径是20厘米。先将一个圆柱形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，溢出一些水，然后将铁块取出，水面下降了3厘米；接着再将一个圆锥形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，也溢出一些水，发现这两次溢出的水一样多。若这个圆锥形铁块的底面半径是12厘米，则它的高是多少厘米？
【答案】50厘米
【分析】第一次水溢出的体积就是圆柱铁块的体积，圆柱的体积＝容器的底面积×液面变化高度；圆锥铁块放进去，又流出同样多的水，圆锥的体积是圆柱的2倍。圆锥的高＝圆锥的体积×3÷圆锥的底面积。
【详解】圆柱铁块的体积：（立方厘米）
圆锥的体积＝（立方厘米）
圆锥的高＝（厘米）
答：圆锥的高是50厘米。
【点睛】解决问题的关键在于意识到溢出的水就是放进去物体的体积。
【考点十八】正方体中的最大圆锥。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
一个棱长是4分米的正方体木块，加工成一个最大的圆锥体，圆锥的体积是多少？
【答案】16.7立方分米
【分析】正方体内最大的圆锥的特点是：圆锥的底面直径和高都等于这个正方体的棱长4分米，由此利用圆锥的体积公式即可计算出它的体积。
【详解】×3.14×（4÷2）2×4
＝×3.14×4×4
≈16.7（立方分米）
答：圆锥的体积是16.7立方分米。
【点睛】本题考查了圆锥的体积，关键是理解正方体和加工成的最大圆锥之间的关系。
【对应练习1】
棱长为6分米的正方体削成一个最大的圆锥，求圆锥体积？（π取3.14）
【答案】56.52立方分米
【分析】把正方体切削成一个最大的圆锥，正方体的棱长等于圆锥的底面直径和高，据此根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×6÷3
＝3.14×32×6÷3
＝3.14×9×6÷3
＝28.26×6÷3
＝169.56÷3
＝56.52（立方分米）
答：圆锥体积为56.52立方分米。
【对应练习2】
将一块棱长10厘米的正方体木块削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【答案】
262立方厘米
【分析】将一个棱长为10厘米的正方体木块削成最大的圆锥，则这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，再根据圆锥体积公式：V＝，将数据代入即可求解。
【详解】
≈262（立方厘米）
答：这个圆锥的体积约是262立方厘米。
【对应练习3】
一个棱长是12分米的正方体木块，加工成一个最大的圆锥体，圆锥的体积是多少立方分米？
【答案】452.16立方分米
【分析】要把一个正方体木块加工成一个最大的圆锥，那么圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高也等于正方体的棱长，再利用圆锥的体积公式：即可解答。
【详解】根据分析得：r＝12÷2＝6（分米），h＝12（分米）。
×3.14×62×12
＝×12×3.14×36
＝4×3.14×36
＝452.16（立方分米）
答：圆锥的体积是452.16立方分米。
【点睛】此题考查了圆锥的体积计算及应用此方法解决实际问题，关键是找到圆锥与正方体之间的关系。
【考点十九】长方体中的最大圆锥。
【方法点拨】
长方体中的最大圆锥。
在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆锥，求这个圆锥的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆锥底面圆的直径，长方体的高作为圆锥的高，再来计算圆锥的体积。
【典型例题】
把一块长12厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体木块加工成一个最大的圆锥，求这个圆锥的体积。
【答案】127.17立方厘米
【分析】根据长方体内最大的圆锥的特点，这个长方体内最大的圆锥的底面直径是9厘米，高是6厘米，由此利用“圆锥的体积公式：；”即可解答。
【详解】×3.14×（9÷2）2×6
＝×3.14×4.52×6
＝×3.14×20.25×6
＝3.14×20.25×6×
＝63.585×6×
＝381.51×
＝127.17（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是127.17立方厘米。
【点睛】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，抓住长方体内最大的圆锥的特点是解决此类问题的关键。
【对应练习1】
一个长方形的木块，高12厘米，长和宽都是10厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【答案】314立方厘米
【分析】根据长方体内最大的圆锥的特点，这个长方体内最大的圆锥的底面直径是10厘米，高是12厘米；由此利用圆锥的体积公式即可解答．此题考查了圆锥的体积公式的计算应用，关键是抓住长方体内最大的圆锥的特点进行解答．
【详解】×3.14×（10÷2）2×12，
=×3.14×25×12，
=314（立方厘米）；
答：这个圆锥的体积是314立方厘米。
【对应练习2】
把一个横截面为正方形的长方体，削成一个最大的圆锥体，已知圆锥体的底面周长6.28厘米，高5厘米，长方体的体积是多少？
【答案】20立方厘米
【分析】根据圆的底面周长求出圆的直径，再同5厘米进行比较，求出这个长方体的底面正方形的边长，再根据长方体的计算方法进行计算。
【详解】6.28÷3.14=2（厘米），
2＜5，所以这个长方体的底面正方形的边长是2厘米．
长方体的体积是：
2×2×5，
=4×5，
=20（立方厘米）．
答：这个长方体的体积是20立方厘米。
【对应练习3】
把一块长、宽、高分别为6分米、5分米和3分米的长方体木料削成一个底面直径是4分米的最大的圆锥，削去部分的体积是多少？
【答案】77.44立方分米
【分析】根据题意，长方体的上下面、前后面、左右面分别是“6×5”、“6×3”、“5×3”，要把这块长方体木料削成一个底面直径4分米的最大的圆锥，因为4＞3，所以是以长方体的底面作为圆锥的底面，长方体的高作为圆锥的高；根据长方体的体积公式V＝abh，圆锥的体积公式V ＝πr2h，代入数据计算，再用长方体的体积减去圆锥的体积就是削去部分的体积。
【详解】长方体的体积：
6×5×3
＝30×3
＝90（立方分米）
圆锥的体积：
×3.14×（4÷2）2×3
＝×3.14×4×3
＝3.14×4
＝12.56（立方分米）
削去部分的体积：
90－12.56＝77.44（立方分米）
答：削去部分的体积是77.44立方分米。
【点睛】本题考查长方体、圆锥的体积计算公式的灵活运用，找出最大的圆锥的底面和高与长方体的关系是解题的关键。
【考点二十】组合立体图形的体积。
【方法点拨】
求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。
【典型例题】
计算如图图形的体积。
【答案】15.7cm3
【详解】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h和圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入公式计算。
【解答】3.14×（2÷2）2×4＋×3.14×（2÷2）2×3
＝3.14×12×4＋×3.14×12×3
＝3.14×1×4＋×3.14×1×3
＝12.56＋3.14
＝15.7（cm3）
图形的体积是15.7cm3。
【对应练习1】
求下面图形的体积。（单位：厘米，π取值为3.14）
【答案】87.92立方厘米
【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
【详解】3.14×（4÷2）2×5＋×3.14×（4÷2）2×6
＝3.14×22×5＋×3.14×22×6
＝3.14×4×5＋×3.14×4×6
＝62.8＋25.12
＝87.92（立方厘米）
图形的体积是87.92立方厘米。
【对应练习2】
求组合图形的体积。（单位：cm）
【答案】43.96cm3
【分析】观察图形可知，该组合图形的体积＝中间圆柱的体积＋两边的两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。
【详解】3.14×（2÷2）2×（18－3×2）＋×3.14×（2÷2）2×3×2
＝3.14×12×（18－6）＋×3.14×12×3×2
＝3.14×12×12＋×3.14×12×3×2
＝3.14×1×12＋×3.14×1×3×2
＝37.68＋6.28
＝43.96（cm3）
【对应练习3】
蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居。如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
【答案】67.824立方米
【分析】这个蒙古包上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱。已知圆柱的底面半径是（6÷2）米，高是2米，圆锥的底面半径也是（6÷2）米，高是1.2米，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。
【详解】6÷2＝3（米）
3.14×32×2＋×3.14×32×1.2
＝3.14×9×2＋×9×3.14×1.2
＝28.26×2＋3×3.14×1.2
＝56.52＋11.304
＝67.824（立方米）
答：这个蒙古包所占的空间是67.824立方米。
【考点二十一】圆锥中的倒水问题。
【方法点拨】
圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2：n2，此时体积之比就是m3：n3。
【典型例题】
如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
解析：
水与圆锥高之比为1:2，所以，体积之比为1:8。
40×8=320（升）
【对应练习1】
如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
解析：400升。
【对应练习2】
圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能装水多少升
解析：42升。
【对应练习3】
如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水
解析：35升。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级数学下册精尖特训「人教版」
第三单元圆锥篇其二·进阶性问题【二十一大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元圆锥篇其二·进阶性问题
专题内容 本专题包括圆锥的旋转构成法，圆锥的切面积问题，圆柱与圆锥的关系问题，等积变形问题，排水法求不规则物体的体积，不规则及组合立体图形的体积等多种典型问题。
总体评价
讲解建议 建议根据学生实际水平和总体掌握情况，选择部分考点考题进行讲解。
考点数量 二十一个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】圆锥的旋转构成法其一：求圆锥体积 4
【考点二】圆锥的旋转构成法其二：最大体积问题 5
【考点三】圆锥的旋转构成法其三：混合型图形 6
【考点四】圆锥的旋转构成法其四：圆台 8
【考点五】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题） 9
【考点六】比在圆锥体积中的三种应用 10
【考点七】圆锥体积的扩倍与缩倍问题 11
【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其一：基础应用 12
【考点九】圆柱与圆锥的关系问题其二：比例关系 13
【考点十】圆柱与圆锥的关系问题其三：已知体积和 14
【考点十一】圆柱与圆锥的关系问题其四：已知体积差 15
【考点十二】等积变形问题其一：圆柱与圆锥之间的等积变形 15
【考点十三】等积变形问题其二：正方体与圆锥之间的等积变形 16
【考点十四】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形 17
【考点十五】排水法求不规则物体的体积其一：求圆锥的高 19
【考点十六】排水法求不规则物体的体积其二：求水高 20
【考点十七】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题 22
【考点十八】正方体中的最大圆锥 23
【考点十九】长方体中的最大圆锥 24
【考点二十】组合立体图形的体积 25
【考点二十一】圆锥中的倒水问题 26
【第三篇】典型例题篇
【考点一】圆锥的旋转构成法其一：求圆锥体积。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
我们常说“点动成线，线动成面，面动成体”。一条线段绕一个端点旋转一周，所形成的平面图形是( )。一个直角三角形（如图）绕直角边所在直线旋转一周后得到的几何体是( )，它的体积是( )cm3或( )cm3。
【对应练习1】
一个等腰直角三角形的腰长是3dm，它的面积是( )dm2；以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，形成的立体图形的体积是( )dm3。
【对应练习2】
一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和2厘米，以较长直角边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形是( )括号内填“圆柱”或“圆锥”，所形成的立体图形的体积是( )立方厘米。（π取3.14）
【对应练习3】
3D电脑动画成像技术展示活动中，技术人员用一个直角三角形（如图），绕着一条直角边旋转成一个( )，它的体积是( )cm3。
【考点二】圆锥的旋转构成法其二：最大体积问题。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
以下面直角三角形的直角边为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（单位cm）
【对应练习1】
以三角形（如图）的其中一条直角边为轴，旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的最大体积是多少立方厘米？
【对应练习2】
将一个直角边分别为8厘米、6厘米的直角三角形，以一条直角边为轴旋转，怎样旋转得到的圆锥的体积最大？ （得数保留两位小数）
【对应练习3】
一个直角三角形两直角边分别是4cm和6cm,现在分别以两直角边为轴，旋转一周，得到两个圆锥体，体积最大的是哪个？是多少？
【考点三】圆锥的旋转构成法其三：混合型图形。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米）
【对应练习2】
下图是一个直角梯形，如果以AB边为轴旋转一周，会得到一个立体图形。
（1）这个立体图形的底面积是多少平方厘米？
（2）这个立体图形的体积是多少立方厘米？
【对应练习3】
在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点o。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
【考点四】圆锥的旋转构成法其四：圆台。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？
【对应练习】
资料卡：
图形“变”起来
下图是一个圆台，上底半径3cm，下底半径5cm。
根据资料中的信息自主选择问题并解答。
(1)圆台是由图形( )旋转而成的。
A． B． C． D．
(2)如果把圆台上底增加至( )厘米，或者下底半径缩短至( )厘米，它可以变成一个圆柱体。
(3)把底面半径为3厘米的圆柱形木料，沿着底面直径平均分成两部分（如下图），表面积增加了18平方厘米，请你计算出这个圆柱体的表面积？
(4)如果把圆台上底向圆心方向不断缩、缩至为一个( )，它可以变成一个圆锥，请把这个圆锥在图中画出来。
(5)画出的圆锥与底面半径为5厘米的圆柱形是( )的，它们的体积比是( )，圆锥的体积比圆柱体积少( )。
(6)如果圆台的高为15厘米，请你计算出圆锥体的体积是多少立方分米？
【考点五】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题）。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面直径是6cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是( )cm3。
【对应练习1】
把一个底面半径是5厘米的圆锥体木块，从顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，这时表面积增加120平方厘米，求这个圆锥体木块的体积是( )立方厘米。
【对应练习2】
一个底面直径是6cm的圆锥，沿着高方向切成2个半圆锥，表面积增加了48cm ，圆锥的高是( )cm，圆锥的体积为( )。
【对应练习3】
把一个高5厘米的圆锥沿高切开，得到两个如图所示的物体，表面积一共增加60平方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
【考点六】比在圆锥体积中的三种应用。
【方法点拨】
1. 圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2. 圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比( )。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是( )。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少
【对应练习1】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
【对应练习2】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
【对应练习3】
甲乙两个圆柱，底半径比是2:3，高的比是4:5，它们的体积比是多少？
【考点七】圆锥体积的扩倍与缩倍问题。
【方法点拨】
圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即：
1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）；
2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。
【典型例题】
一个圆锥的高扩大3倍，底面积不变，则体积( )。
【对应练习1】
一个圆锥的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，圆锥的体积扩大到原来的( )倍。
【对应练习2】
一个圆锥体的底面直径和高都扩大3倍，体积就扩大( )倍。
【对应练习3】
一个圆锥的高扩大4倍，半径缩小为原来的，体积( )。
【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其一：基础应用。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
1．「应用一」一个圆柱形木墩如图。把这个木墩削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？
2．「应用二」一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，圆柱的底面积是多少？
3．「应用三」把一根底面周长是24厘米，长是18厘米的圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，圆锥的高是多少？
【对应练习1】
一根圆柱体的木材，底面半径是3分米，高是5分米。
（1）给这根木材侧面涂上油漆，需要涂多少平方分米？
（2）把这根圆柱体木材削成等底等高的圆锥体，圆锥体积是多少立方分米？
【对应练习2】
一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是28.26平方厘米，圆锥的底面积是多少？
【对应练习3】
一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？
【考点九】圆柱与圆锥的关系问题其二：比例关系。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
1．「底面积之比」体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是( )。
2．「高之比」一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱的半径与圆锥的半径比是1∶2，则圆柱的高与圆锥的高的比为( )。
3．「体积之比」一个圆柱和一个圆锥，底面积的比是，高之比是，那么这个圆柱和圆锥的体积之比是( )。
【对应练习1】
一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积的比是3∶1，高的比是( )。
【对应练习2】
一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍，圆锥与圆柱的体积比值是( )。
【对应练习3】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
【考点十】圆柱与圆锥的关系问题其三：已知体积和。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是78立方分米，那么圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积( )立方分米。
【对应练习1】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和68dm3，圆柱体积是( )dm3。
【对应练习2】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是36立方分米，它们的体积相差( )立方分米。
【对应练习3】
一个圆柱体的体积与它等底等高的圆锥体的体积之和是144m3，它们的体积之差是( )。
【考点十一】圆柱与圆锥的关系问题其四：已知体积差。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是( )cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是( )cm。
【对应练习1】
一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差30立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。
【对应练习2】
一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。
【对应练习3】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差12.56cm3，它们的体积之和是( )cm3。
【考点十二】等积变形问题其一：圆柱与圆锥之间的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？
【对应练习1】
把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
【对应练习2】
把一堆底面半径为3米，高为1.8米的圆锥形小麦堆放进底面半径为2米的圆柱形粮囤中，正好装满，请问粮囤的高是多少米？
【对应练习3】
把一个底面周长是31.4分米，高9分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥体，圆锥的高是多少分米？
【考点十三】等积变形问题其二：正方体与圆锥之间的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米）
【对应练习1】
一个棱长是5分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是25平方分米的圆锥形容器里，好装满，这个圆锥的高是多少？
【对应练习2】
把一块棱长为10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径为20厘米锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约多少厘米？（π取3）
【对应练习3】
把一块棱长为16厘米的正方体铁块熔成一个底面半径是10厘米的圆锥形铁块。这个圆锥的高大约是多少厘米？（结果保留整数）
【考点十四】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高5厘米的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
【对应练习1】
学校修缮运动场买来一些河沙，堆成了一个底面半径1.5米，高1.2米的近似圆锥形。将这些沙均匀的铺在长4米，宽1.57米的长方体沙坑里，可以铺多厚？
【对应练习2】
把一块长方体钢坯铸造成一个直径为12分米的圆锥形零件，求圆锥形零件的高。
【对应练习3】
工人师傅要把一个棱长5厘米的正方体铁块和一个长6厘米、宽5厘米。高4厘米的长方体铁块；熔铸成一个底面半径3厘米的圆锥形零件。这个圆锥形零件的高是多少厘米？
【考点十五】排水法求不规则物体的体积其一：求圆锥的高。
【方法点拨】
1. 转化法求不规则物体的体积。
在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算，
2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下：
（1）在容器中注入适量的水，记下水位。
（2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。
（3）用尺子测量容器里现在水面的高度。
（4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积
3. 排水法求不规则物体的体积公式。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。
【典型例题】
在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。
（1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？
（2）圆锥形铁块的高是多少厘米？
【对应练习1】
一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
【对应练习2】
如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是8厘米。把一个底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了0.628厘米，这个铅锤的高是多少厘米？
【对应练习3】
一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？
【考点十六】排水法求不规则物体的体积其二：求水高。
【方法点拨】
排水法求不规则物体的体积公式。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
我会思考与计算。
步骤：准备一个底面积是的圆柱形空水杯水平放置。
步骤：放入一块底面积是、高是的圆锥形铅锤，铅锤的底面与水杯的内壁底面贴合在一起。
步骤：向水杯里倒水，水面与铅锤顶端（点）刚好平行。
步骤：取出铅锤，水面下降。
你能算出水面下降了多少厘米吗？
【对应练习1】
一个圆柱形容器，从里面量，底面半径10厘米，高15厘米，容器中的水面高10厘米。当放入一个底面半径为5厘米、高为9厘米的圆锥形铁锤，使其沉入水中时，容器中的水面会增高多少厘米？
【对应练习2】
一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？
【对应练习3】
将一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，完全浸没在底面半径是5厘米，高是25厘米的圆柱形容器中（水未溢出）。容器中水面会升高多少厘米？（容器厚度忽略不计）
【考点十七】排水法求不规则物体的体积其三：溢水问题。
【方法点拨】
排水法求不规则物体的体积公式。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？
【对应练习1】
把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？
【对应练习2】
有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）
【对应练习3】
一个盛满水的圆柱形玻璃容器，底面半径是20厘米。先将一个圆柱形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，溢出一些水，然后将铁块取出，水面下降了3厘米；接着再将一个圆锥形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，也溢出一些水，发现这两次溢出的水一样多。若这个圆锥形铁块的底面半径是12厘米，则它的高是多少厘米？
【考点十八】正方体中的最大圆锥。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
一个棱长是4分米的正方体木块，加工成一个最大的圆锥体，圆锥的体积是多少？
【对应练习1】
棱长为6分米的正方体削成一个最大的圆锥，求圆锥体积？（π取3.14）
【对应练习2】
将一块棱长10厘米的正方体木块削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【对应练习3】
一个棱长是12分米的正方体木块，加工成一个最大的圆锥体，圆锥的体积是多少立方分米？
【考点十九】长方体中的最大圆锥。
【方法点拨】
长方体中的最大圆锥。
在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆锥，求这个圆锥的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆锥底面圆的直径，长方体的高作为圆锥的高，再来计算圆锥的体积。
【典型例题】
把一块长12厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体木块加工成一个最大的圆锥，求这个圆锥的体积。
【对应练习1】
一个长方形的木块，高12厘米，长和宽都是10厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【对应练习2】
把一个横截面为正方形的长方体，削成一个最大的圆锥体，已知圆锥体的底面周长6.28厘米，高5厘米，长方体的体积是多少？
【对应练习3】
把一块长、宽、高分别为6分米、5分米和3分米的长方体木料削成一个底面直径是4分米的最大的圆锥，削去部分的体积是多少？
【考点二十】组合立体图形的体积。
【方法点拨】
求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。
【典型例题】
计算如图图形的体积。
【对应练习1】
求下面图形的体积。（单位：厘米，π取值为3.14）
【对应练习2】
求组合图形的体积。（单位：cm）
【对应练习3】
蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居。如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
【考点二十一】圆锥中的倒水问题。
【方法点拨】
圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2：n2，此时体积之比就是m3：n3。
【典型例题】
如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
【对应练习1】
如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
【对应练习2】
圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能装水多少升
【对应练习3】
如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水
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