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物理
第讲　专题：功能关系　能量守恒定律
考点一　常见的功能关系
1．对功与能的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．力学中常见的功能关系
力做功 能的变化 定性和定量关系
重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少； (2)重力做负功，重力势能增加； (3)WG＝－ΔEpG＝EpG1－EpG2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少； (2)弹力做负功，弹性势能增加； (3)W弹＝－ΔEp弹＝Ep弹1－Ep弹2
合力做功 动能变化 (1)合力做正功，动能增加； (2)合力做负功，动能减少； (3)W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk
除重力和系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能变化 (1)其他力做正功，机械能增加； (2)其他力做负功，机械能减少； (3)W其他＝ΔE机
3．功能关系在图像中的应用
根据功能关系可知：
(1)重力势能与高度的EpG h关系图像的斜率的绝对值为G。
(2)弹簧弹性势能与形变量的Ep弹 x关系图像的斜率的绝对值为F弹。
(3)动能与位移的Ek x关系图像的斜率为F合。
(4)机械能与位移的E机 x关系图像的斜率为F其他。
例1　(2025·河南省安阳市林州市一中高三上10月月考)升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)(　　)
A．升降机对物体做功5800 J B．合外力对物体做功5800 J
C．物体的重力势能增加500 J D．物体的机械能增加800 J
例2　(2022·江苏高考)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
考点二　摩擦力的功能关系
两种摩擦力的做功情况比较
　　类别 比较 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 能量的转化方面 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量 (1)相对运动的物体通过滑动摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体； (2)部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能损失的能量
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积且为负功，即WFf＝－Ff·l相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转变成内能
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体都可以做正功、负功，还可以不做功
例3　如图所示，质量M＝2 kg、长L＝0．6 m的木板静止放置于光滑水平地面上，一质量为m＝1 kg的物块(可看成质点)以速度v0＝3 m/s从左端冲上木板，物块与木板间的滑动摩擦力大小为f＝5 N。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度。求：
(1)共同速度v的大小；
(2)摩擦力对物块做的功W；
(3)由于物块与木板的摩擦产生的热量Q。
滑块—木板模型功能问题求解的关键 如图所示，求解滑块—木板模型的功能问题时，关键是要区分三个位移： (1)求摩擦力对滑块做的功时，用滑块相对地面的位移x滑。 (2)求摩擦力对木板做的功时，用木板相对地面的位移x板。 (3)求摩擦生热时用相对位移Δx。
例4　(多选)如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持1 m/s的速度顺时针运行。现把一质量为5 kg的工件(可视为质点)轻放在传送带的底端，经过一段时间工件与传送带达到共同速度后继续传送到4 m高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小为10 m/s2，则在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．工件加速过程的时间为0．8 s
B．传送带对工件做的功为202．5 J
C．工件与传送带间摩擦产生的热量为7．5 J
D．电动机因传送工件多做的功为120 J
传送带模型功能问题求解的关键 (1)传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传。 (2)系统产生的内能：Q＝Ffs相对，s相对表示相对路程。 (3)电动机因传送带传送物体而多做的功：W电＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被传送物体动能的增量，ΔEp表示被传送物体重力势能的增量，Q表示因摩擦而产生的热量。
考点三　能量守恒定律
1．能量守恒定律的内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．能量守恒定律的适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。
3．对能量守恒定律的理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
4．应用能量守恒定律解题的思路
(1)分清有多少形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
例5　(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中(　　)
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
能量问题的解题依据 (1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 (2)在涉及弹簧弹力做功的能量问题中，两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒，应用机械能守恒定律；如果有其他外力做功，一般选用能量守恒定律或动能定理求解。
例6　(2024·江西高考)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为(　　)
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W
考点一　常见的功能关系（解析版）
1．对功与能的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．力学中常见的功能关系
力做功 能的变化 定性和定量关系
重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少； (2)重力做负功，重力势能增加； (3)WG＝－ΔEpG＝EpG1－EpG2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少； (2)弹力做负功，弹性势能增加； (3)W弹＝－ΔEp弹＝Ep弹1－Ep弹2
合力做功 动能变化 (1)合力做正功，动能增加； (2)合力做负功，动能减少； (3)W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk
除重力和系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能变化 (1)其他力做正功，机械能增加； (2)其他力做负功，机械能减少； (3)W其他＝ΔE机
3．功能关系在图像中的应用
根据功能关系可知：
(1)重力势能与高度的EpG h关系图像的斜率的绝对值为G。
(2)弹簧弹性势能与形变量的Ep弹 x关系图像的斜率的绝对值为F弹。
(3)动能与位移的Ek x关系图像的斜率为F合。
(4)机械能与位移的E机 x关系图像的斜率为F其他。
例1　(2025·河南省安阳市林州市一中高三上10月月考)升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)(　　)
A．升降机对物体做功5800 J B．合外力对物体做功5800 J
C．物体的重力势能增加500 J D．物体的机械能增加800 J
[答案]　A
[解析]　根据动能定理得W升＋WG＝mv2－0，其中重力做功WG＝－mgh，解得升降机对物体做功W升＝5800 J，合外力对物体做功W合＝mv2－0＝×100×42 J＝800 J，故A正确，B错误；物体重力势能增加ΔEp＝－WG＝5000 J，故C错误；除重力之外仅有升降机对物体做功，故物体机械能增加ΔE＝W升＝5800 J，故D错误。
例2　(2022·江苏高考)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
[答案]　A
[解析]　设运动员的水平位移为x时，运动员所在位置处滑道与水平方向的夹角为θ，不计摩擦力及空气阻力，根据动能定理可知，运动员下滑过程有ΔEk＝mgΔxtanθ，即＝mgtanθ，θ先不变后逐渐减小到0，则Ek x图线的斜率mgtanθ先不变后逐渐减小到0；运动员滑过圆弧滑道最低点后向上滑动的过程有ΔEk＝－mgΔxtanθ，即＝－mgtanθ，θ逐渐增大，则Ek x图线的斜率－mgtanθ的绝对值逐渐增大。故选A。
考点二　摩擦力的功能关系
两种摩擦力的做功情况比较
　　类别 比较 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 能量的转化方面 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量 (1)相对运动的物体通过滑动摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体； (2)部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能损失的能量
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积且为负功，即WFf＝－Ff·l相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转变成内能
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体都可以做正功、负功，还可以不做功
例3　如图所示，质量M＝2 kg、长L＝0．6 m的木板静止放置于光滑水平地面上，一质量为m＝1 kg的物块(可看成质点)以速度v0＝3 m/s从左端冲上木板，物块与木板间的滑动摩擦力大小为f＝5 N。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度。求：
(1)共同速度v的大小；
(2)摩擦力对物块做的功W；
(3)由于物块与木板的摩擦产生的热量Q。
[答案]　(1)1 m/s　(2)－4 J　(3)3 J
[解析]　(1)设物块和木板的加速度大小分别为a1和a2，共速前物块在木板上滑行的时间为t
根据牛顿第二定律有f＝ma1，f＝Ma2
解得a1＝5 m/s2，a2＝2．5 m/s2
两者达到共同速度时有v＝v0－a1t，v＝a2t
解得v＝1 m/s。
(2)解法一：物块从木板左端滑至右端的过程中，木板的位移x＝a2t2
物块的位移s＝x＋L
摩擦力对物块做的功W＝－fs
联立解得W＝－4 J。
解法二：对物块进行分析，根据动能定理有
W＝mv2－mv
解得W＝－4 J。
(3)解法一：根据功能关系，由于物块与木板的摩擦产生的热量Q＝fL
解得Q＝3 J。
解法二：根据能量守恒定律有
Q＝mv－(m＋M)v2
解得Q＝3 J。
滑块—木板模型功能问题求解的关键 如图所示，求解滑块—木板模型的功能问题时，关键是要区分三个位移： (1)求摩擦力对滑块做的功时，用滑块相对地面的位移x滑。 (2)求摩擦力对木板做的功时，用木板相对地面的位移x板。 (3)求摩擦生热时用相对位移Δx。
例4　(多选)如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持1 m/s的速度顺时针运行。现把一质量为5 kg的工件(可视为质点)轻放在传送带的底端，经过一段时间工件与传送带达到共同速度后继续传送到4 m高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小为10 m/s2，则在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．工件加速过程的时间为0．8 s
B．传送带对工件做的功为202．5 J
C．工件与传送带间摩擦产生的热量为7．5 J
D．电动机因传送工件多做的功为120 J
[答案]　BC
[解析]　工件加速过程由牛顿第二定律得μmgcosθ－mgsinθ＝ma，解得加速度a＝μgcosθ－gsinθ＝2．5 m/s2，则加速时间t＝＝0．4 s，故A错误；由动能定理有－mgh＋W传＝mv2－0，解得传送带对工件做的功W传＝mv2＋mgh＝202．5 J，故B正确；加速过程工件与传送带相对运动的位移大小Δx＝x传－x1＝vt－t＝t＝0．2 m，工件与传送带间摩擦产生的热量Q＝μmgcosθ·Δx＝7．5 J，故C正确；电动机多做的功等于系统摩擦产生的热量和工件机械能的增加量之和，则有W电＝Q＋mv2＋mgh＝210 J，故D错误。
传送带模型功能问题求解的关键 (1)传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传。 (2)系统产生的内能：Q＝Ffs相对，s相对表示相对路程。 (3)电动机因传送带传送物体而多做的功：W电＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被传送物体动能的增量，ΔEp表示被传送物体重力势能的增量，Q表示因摩擦而产生的热量。
考点三　能量守恒定律
1．能量守恒定律的内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．能量守恒定律的适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。
3．对能量守恒定律的理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
4．应用能量守恒定律解题的思路
(1)分清有多少形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
例5　(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中(　　)
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
[答案]　BC
[解析]　物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，弹簧弹力最大，物块具有向右的加速度，弹簧弹力大于摩擦力，即Fm>μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；从物块将弹簧压缩到最短至物块运动到A点静止的过程中，根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C正确；根据能量守恒定律，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误。
能量问题的解题依据 (1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 (2)在涉及弹簧弹力做功的能量问题中，两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒，应用机械能守恒定律；如果有其他外力做功，一般选用能量守恒定律或动能定理求解。
例6　(2024·江西高考)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为(　　)
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W
[答案]　B
[解析]　设瀑布水流量为Q，水位落差为h，发电效率为η，水的密度为ρ，则t时间内流过某横截面的水的体积V＝Qt，从瀑布顶端落到底部，重力对这部分水所做的功W＝ρVgh，发电功率P＝η，联立解得P＝ηρQgh≈107 W，故选B。
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第六章　机械能及其守恒定律
第4讲　专题：功能关系　能量守恒定律
目录
1
2
考点一　常见的功能关系
考点二　摩擦力的功能关系
考点三 能量守恒定律
3
考点一　常见的功能关系
1．对功与能的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．力学中常见的功能关系
力做功 能的变化 定性和定量关系
重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少；
(2)重力做负功，重力势能增加；
(3)WG＝－ΔEpG＝EpG1－EpG2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少；
(2)弹力做负功，弹性势能增加；
(3)W弹＝－ΔEp弹＝Ep弹1－Ep弹2
合力做功 动能变化 (1)合力做正功，动能增加；
(2)合力做负功，动能减少；
(3)W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk
除重力和系统内弹力之外的其他力做功　　　 机械能变化 (1)其他力做正功，机械能增加；
(2)其他力做负功，机械能减少；
(3)W其他＝ΔE机
3．功能关系在图像中的应用
根据功能关系可知：
(1)重力势能与高度的EpG h关系图像的斜率的绝对值为G。
(2)弹簧弹性势能与形变量的Ep弹 x关系图像的斜率的绝对值为F弹。
(3)动能与位移的Ek x关系图像的斜率为F合。
(4)机械能与位移的E机 x关系图像的斜率为F其他。
例1　(2025·河南省安阳市林州市一中高三上10月月考)升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)(　　)
A．升降机对物体做功5800 J
B．合外力对物体做功5800 J
C．物体的重力势能增加500 J
D．物体的机械能增加800 J
例2　(2022·江苏高考)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
考点二　摩擦力的功能关系
两种摩擦力的做功情况比较
　　类别 比较 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 能量的 转化方面 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量 (1)相对运动的物体通过滑动摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个
物体；
(2)部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能损失的能量
不同点 一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积且为负功，即WFf＝－Ff·l相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转变成内能
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体都可以做正功、负功，还可以不做功 例3　如图所示，质量M＝2 kg、长L＝0．6 m的木板静止放置于光滑水平地面上，一质量为m＝1 kg的物块(可看成质点)以速度v0＝3 m/s从左端冲上木板，物块与木板间的滑动摩擦力大小为f＝5 N。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度。求：
(1)共同速度v的大小；
(2)摩擦力对物块做的功W；
(3)由于物块与木板的摩擦产生的热量Q。
答案　(1)1 m/s　(2)－4 J　(3)3 J
滑块—木板模型功能问题求解的关键
如图所示，求解滑块—木板模型的功能问题时，关键是要区分三个位移：
(1)求摩擦力对滑块做的功时，用滑块相对地面的位移x滑。
(2)求摩擦力对木板做的功时，用木板相对地面的位移x板。
(3)求摩擦生热时用相对位移Δx。
传送带模型功能问题求解的关键
(1)传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传。
(2)系统产生的内能：Q＝Ffs相对，s相对表示相对路程。
(3)电动机因传送带传送物体而多做的功：W电＝ΔEk＋ΔEp＋Q。其中ΔEk表示被传送物体动能的增量，ΔEp表示被传送物体重力势能的增量，Q表示因摩擦而产生的热量。
考点三　能量守恒定律
1．能量守恒定律的内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．能量守恒定律的适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。
3．对能量守恒定律的理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
4．应用能量守恒定律解题的思路
(1)分清有多少形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
能量问题的解题依据
(1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
(2)在涉及弹簧弹力做功的能量问题中，两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒，应用机械能守恒定律；如果有其他外力做功，一般选用能量守恒定律或动能定理求解。
例6　(2024·江西高考)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为(　　)
A．109 W B．107 W
C．105 W D．103 W

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