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8.3 简单几何体的表面积与体积 同步作业
一、选择题
1．某艺术吊灯如图1所示,图2是其几何结构图.底座是边长为的正方形,垂直于底座且长度为6的四根吊挂线,,,一头连着底座端点,另一头都连在球O的表面上（底座厚度忽略不计）,若该艺术吊灯总高度为14,则球O的体积为( )
A. B. C. D.
2．在三棱锥中,已知平面,,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
3．已知圆台上下底面积分别为,,母线长为,则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4．圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
5．已知球O与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球O与圆台的体积之比为，则球O与圆台的表面积之比为( )
A. B. C. D.
6．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，，高为），则四羊方尊的容积约为( )
A. B. C. D.
7．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8．如图,在三棱台中,底面,,与底面所成的角为,,,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
9．已知一个圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为,则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
10．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,且圆锥的底面积为,则此圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
11．如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是( )
A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍
B.存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等
C.正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大
D.当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，，，，则下列结论正确的有( )
A.四面体是鳖臑
B.阳马的体积为
C.阳马的外接球表面积为
D.D到平面PAC的距离为
13．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是( )
A.弧长度为 B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为 D.三棱锥的体积为5
14．香囊，又名香袋 花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.直线CD与直线EF所成的角为
C.该六面体的体积为
D.该六面体内切球的表面积是
三、填空题
15．轴截面是等边三角形的圆锥称为等边圆锥.若某等边圆锥的母线长为4，过圆锥高的中点作平行于底面的平面，该平面将圆锥分割成一个小圆锥和一个圆台，则该圆台的体积为________.
16．在棱长为4的正方体中,,若一动点G满足,则三棱锥体积的最大值为________.
17．边长为4的正三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为__________.
18．已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为________.
四、解答题
19．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，求该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）.
20．如图所示，在仓库一角有一堆谷，呈四分之一圆锥形.量得底面弧长为，母线长为.这堆谷重约多少千克？（谷的密度取为.）
21．一个正方体，如果它的每条棱都增加，则它的体积扩大为原来的8倍，求这个正方体的棱长.
22．已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的全面积.
23．正方体的棱长扩大到原来的2倍，其表面积扩大到原来的几倍？
参考答案
1．答案：C
解析：如图,作出该艺术吊灯的主视图,由已知得四边形为正方形,则,
设正方形的外接圆圆心为,连接交球面于点E,如图所示,则,
所以,
因为该艺术吊灯总高度为14,,所以,
设球半径为,则,
在中,,解得,
所以球的体积为,
故选:C.
2．答案：C
解析：因为平面,,,,所以,即.
把三棱锥补成长方体,长方体的体对角线就是外接球的直径.
根据长方体体对角线公式
,则,
球的体积.
故选:C.
3．答案：C
解析：因为圆台的上 下底面积分别为,,
所以该圆台的上 下底面的半径分别1,2,
如图所示:
即,,,所以,所以,
故圆台的高为2,则圆台的体积,
故选:C.
4．答案：A
解析：若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，
因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为，
故圆锥的侧面积，故选A.
5．答案：D
解析：
由题意，作出圆台的轴截面，
设圆台的上、下底面半径分别为，，球的半径，
则，，过A作于点H，
由，得，
化简得，
由球的体积公式，
圆台的体积公式，
已知球O与圆台的体积之比为，则，
化简得，
则，得，
又球的表面积，圆台的表面积，
所以，
故选：D.
6．答案：A
解析：由题意可得：四羊方尊的容积约为
.
故选：A.
7．答案：A
解析：由题意，圆台的上底面半径为1，
下底面半径为2，则高为，如下图所示：
则圆台的体积为.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为底面,平面,所以平面底面.
所以即为与底面所成的角,为.
因为,所以.
根据棱台的概念,可知:,且,所以.
因为,所以为直角三角形,所以.
所以.
故选:D
9．答案：B
解析：由题意可作图如下:
则,,,已知,则,
可得,解得,即,
小圆锥的侧面积为,
大圆锥的侧面积为,
所以圆台的侧面积为.
故选:B.
10．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,
由题意可得:,解得,
所以圆锥的体积为.
故选:B.
11．答案：AC
解析：对于A，正方体外接球的半径为，
内切球的半径为，
可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的倍，故A正确；
对于B，由点和点B到平面的距离相等，
若点和点C到平面的距离相等，
必有平面，又由，
可得平面，与平面矛盾，故B错误；
对于C，如图，
在上取一点F，使得，
连接，设，
由，
可得平面为过A，，E三点的截面，
在梯形中，，，
，，
梯形的高为，
梯形的面积为
，
令，
有
可得函数单调递增，
可得正方体被平面所截得的截面面积随着的增大而增大，
故C正确；
对于D选项，，，
被平面所截得的上部分的几何体的体积为，
整理为，
解得，故D错误.
故选：AC
12．答案：BD
解析：设，，，
由侧棱底面ABCD，，，，
可得，
解得
即，，.
对于A，由，，
可得不是直角三角形，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，将阳马补形为长为2，宽为1，高为1的长方体，
可知其外接球直径为，
故阳马的外接球半径，
表面积，故C错误；
对于D，设D到平面的距离为h，
由，，
可得的面积为，
由等体积法，
可得，
解得，故D正确.
故选：BD.
13．答案：ACD
解析：设弧所在圆的半径为R，弧所在圆的半径为r，
因为弧的长度是弧长度的3倍，
，即，
，，，
所以弧的长度为，故A正确；
曲池的体积为，故B错误；
曲池的表面积为
，故C正确；
三棱锥的体积为，故D正确.
故选：ACD.
14．答案：AD
解析：由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，
将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，
其中A，C，F，H四点重合.
对于A：取的中点M，连接，，
则.
又
平面
又平面
，故A正确.
对于B：由图可知，与分别为正三角形的边，
其所成的角为，故B错误.
对于C：连接，过点G作平面，
则垂足O在上，且，
该六面体的体积
故C错误.
对于D：该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面上
又为正三角形
点O即为该六面体内切球的球心，且该球与相切
过点O作，则就是内切球的半径.
在中，
该内切球的表面积为
故D正确
故选：AD.
15．答案：
解析：在圆锥中，过的中点M作与底面平行的截面，如下图所示：
由题意可知，，则，
所以，圆台上底面半径为，下底面半径为，
圆台的高为，
因此，该圆台的体积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,
则有,.
又,
所以,.
设,则,.
因为,
代入可得,
整理可得,
即G在以点A为球心,为半径的球上.
又的面积为,
平面到平面的距离为4,
所以G到平面的最大距离为.
体积最大值为.
故答案为:.
17．答案：
解析：将该三角形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径,以2为高的两个圆锥组合体,
所以表面积为.\
故答案为:
18．答案：
解析：由圆柱的体积公式可得.
故答案为：.
19．答案：3寸
解析：如图所示，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.
因为积水深9寸，所以水面半径为（寸）.
盆中水的体积为（立方寸）.
所以平地降雨量为（寸）.
20．答案：792千克
解析：设底面圆的半径为，
则，
，
，
.
每立方米谷为720千克，
这堆谷重约（千克）.
21．答案：
解析：设它的棱长为，由题意得，
解得，即它的棱长为.
22．答案：
解析：.
23．答案：4部
解析：若正方体的棱长为a，其表面积为，将正方体的棱长扩大到原来的2倍，其棱长为2a，表面积为.
因此，正方体的棱长扩大到原来的2倍，其表面积扩大到原来的4倍.

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