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2025年陕西省宝鸡市凤翔区九年级下学期学业水平第二次模考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B．3 C．0 D．
2．某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线与交于点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点是边上一点，连接，，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．已知一次函数的图象与轴交于点，将该一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数的图象与轴交于点，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，正方形的周长是16，点是的中点，以为边在右侧作等边，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或7 D．或7
二、填空题
9．分解因式： ．
10．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿，每人8竿，少2竿．若设牧童有x人，根据题意，可列方程 ．
11．如图，四边形内接于，交于点，若，则的度数为 ．
12．已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点，则的值为 ．
13．如图，在矩形中，，，点是边上一点（点不与端点重合），连接，点关于的对称点在矩形内，连接、，若是直角三角形，则的面积为 ．
三、解答题
14．解不等式：．
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在和中，，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，另一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法）
(1)你选的补充条件为______、______，结论为______；（填序号即可）
(2)根据第（1）问的选择，证明你的结论．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转得到（点、、的对应点分别为点、、）．
(1)在图中画出；
(2)求点与点之间的距离．
20．十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上．
(1)事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”）
(2)小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率．
21．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中假山的高度
测量工具 皮尺、测角仪等
活动过程 模型抽象 某公园内的水池中有一座假山，测量其高度示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①甲同学在水池外的点处，使用测角仪测得假山山顶的仰角为，； ②甲同学沿方向移动至点，在点处用测角仪测得假山山顶的仰角，； ③乙同学用皮尺测得的长为，且，，． （参考数据：，，，，，）
根据以上信息求出水池中假山的高度．
22．凤翔草编是历史悠久的传统手工艺品，作为一种古老的传统民间工艺，据《凤翔县志》记载，凤翔草编工艺起源于北宋，距今已有一千多年历史，草编制品是凤翔农村世代相传的一种家庭副业．某商家想要购进一批草编手提包，草编手提包的总价（元）与购买数量（个）之间的关系存在如图所示的关系．
(1)当时，求与之间的函数表达式；
(2)若该商家计划用元购进草编手提包，再以元/个的价格售出，求该商家售完这批草编手提包获得的总利润．
23．植树造林是生态文明建设的重要一环，2025年4月3日，习近平总书记在参加首都义务植树活动时强调绿化祖国必须坚持“三绿”并举、“四库”联动，要更加注重“提质”“兴业”“利民”．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4~7棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图：
所抽取学生植树棵数条形统计图
所抽取学生植树棵数扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是____________棵，众数是______________棵；
(2)求所抽取的学生平均每人植树的棵数；
(3)若该校共有500名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数．
24．如图，以四边形的边为直径的交边于点，交对角线于点，，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径的长．
25．如图，抛物线（、为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．【问题提出】
（1）如图1，点是直线外一点，于点，点在直线上，，连接，，则点到直线的最短距离为______；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，点、、分别为、和的中点，连接、．求证：四边形是矩形；
【问题解决】
（3）如图3，和是某植物园的两块三角形花圃，且点、、在同一条直线上，，，．点是上的动点（不与端点重合），连接，现要沿搭建一道篱笆墙，并在区域种植另外一种植物，将的中点设为入口，再沿铺设一条观赏小路（宽度忽略不计），为节省铺设观赏小路的成本，要求的长尽可能的短．已知，当观赏小路的长度最短时，求的长．
《2025年陕西省宝鸡市凤翔区九年级下学期学业水平第二次模考数学试卷》参考答案
1．D
解：，
∴最大的数是，
故选：D ．
2．C
解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
3．C
解：，
，
，，
，
．
故选：C．
4．D
解：
．
故选：D．
5．A
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
6．C
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，
∴；
将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数为
∴当时，
∴；
∴．
故选：C．
7．C
解：如图，过点作，交于点，交于点，
正方形的周长是16，
，，，
点是的中点，
，
，，，
四边形是矩形，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
故选：C．
8．B
解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点，
①当时，抛物线随的增大而增大，
∴当，即，函数有最大值4，
∴，
解得，，
∵，
∴；
②当时，抛物线随的增大而减小，
∴当时，即函数有最大值4，
∴，
解得，，
∵，
∴；
综上，的值为或5，
故选：B．
9．
解：原式，
故答案为
10．
解：设有牧童人，由题意，得：；
故答案为：．
11．
解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．25
∵正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点，
∴和关于原点对称
∴
∴
∴将代入得，
∴；
∴将代入得，
∴；
∴．
故答案为：25．
13．6
解：如图，连接，
矩形，
，，，
由对称的性质得，，，，
点在矩形内，是直角三角形，
，
，，
、、三点共线，
设，
，，
在中，，
，
解得：，
，
的面积．
故答案为：6．
14．
解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
15．
解：原式
．
16．，
解：
，
代入，原式．
17．如图所示
如图所示，点D即为所求．
由作图得，
∴．
18．(1)①，②；③或①，③；②；
(2)见解析．
（1）解：解法一：选的条件是：①，②，结论是③；
解法二：选的条件是：①，③，结论是②；
（2）解法一：选的条件是：①，②，结论是③；
证明：在和中，，，，
，
；
解法二：选的条件是：①，③，结论是②；
证明：在和中，，，，
，
．
19．(1)见解析
(2)．
（1）如图所示；
（2）．
20．(1)随机；
(2)．
（1）事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是随机事件；
（2）画树状图如下：
由上图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的有2种结果，
∴抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率．
21．12.1米
解：延长交于点H，如图，
根据题意可得：四边形和是矩形，
∴米，米，
设的长为x米，则米，
在中，，
；
∵米，
∴米，
在中，，
∴，
解得，，
∴（米），
所以，水池中假山的高度为12.1米．
22．(1)；
(2)该商家售完这批草编手提包获得的总利润为元．
（1）解：当时，设与之间的函数表达式为（、为常数，且）．
将和代入，
得，
解得：，
当时，与之间的函数表达式为．
（2）当时，，
解得，
（元），
该商家售完这批草编手提包获得的总利润为290元．
23．(1)图见详解，5，5
(2)5.3
(3)2650棵
（1）解：植树5棵的有8人，占，
调查的总人数为：（人），
植树7棵的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
中位数是第10、11个的平均数，第10、11个数是5，中位数为，5出现的次数最多，众数是5，
故答案为：5，5；
（2）解：所抽取的学生平均每人植树的棵数：（棵），
答：所抽取的学生平均每人植树的棵数是5.3棵．
（3）解：（棵），
答：该校500名学生此次活动植树的总数是2650棵．
24．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：，
.
，
，
.
，
，
，
为的直径，
为的切线；
（2）解：如下图所示，连接，
为的直径，
，
.
，
，
.
在中，，，
，
在中，.
，
，
在中，，
．
25．(1)
(2)存在，或
（1）解：∵抛物线（、为常数，）与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：对于，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
若以，，为顶点的三角形与相似，则以，，为顶点的三角形也是等腰直角三角形，
①当时，则有，如图，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点，
∵
∴轴，
∴点的横坐标为，
∴
∵为第三象限抛物线上的动点，
∴，
∴，
∵轴，且，
∴，
，
解得，，（舍去），
∴，
当时，，
∴；
②当时，，
∴
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
解得，，（舍去），
∴，
当时，，
∴；
综上，点E的坐标为或．
26．（1）12；（2）见解析；（3）．
解：（1）于点，，，
∴，
∴点到直线的最短距离为12．
（2）证明：点、、分别为、和的中点，
和是的中位线，
，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（3）连接，分别取、的中点、，连接，过点作于点，交于点．
，
是等腰直角三角形，．
在中，点、分别是、的中点，
是的中位线，
，则．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，则，．
G、O、H三点共线，
当点在上运动时，点在上运动，
当时，最短，即点与点重合时，的长度最短．
连接并延长交于点，则的长度最短时，点与点重合，此时．
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
，．
在中，设，则，
．
在中，，
，
．
的长度最短时，．
当观赏小路的长最短时，的长为．

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