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2025年湖南省株洲市中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列所示气温最低的是（ ）
A． B． C． D．
2．据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（ ）
A．4，4 B．4，9 C．5，9 D．9，9
6．如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（ ）
A． B． C． D．4
7．已知点是直线上一点，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
8．如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．过定点
C．有最小值 D．与轴一定有交点
10．定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（ ）
A．81是最小的雷公数
B．当是正整数时，一定是雷公数
C．若是雷公数，则
D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数
二、填空题
11．化简： ．
12．分解因式：x2-5x= ．
13．已知反比例函数的图象经过点，则k的值是 ．
14．已知点在轴上方，则的取值范围是 ．
15．如图，有四张质地材料和背面图案都相同的四张扑克牌，现将它们背面朝上放置在桌面上，从中任意抽取一张扑克牌，抽到数字为4的扑克牌的概率是 ．
16．如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则 °．
17．如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为 ．
18．“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．某校为调查学生对人工智能技术的了解程度，随机抽取部分学生进行问卷调査，并将结果整理成加下不完整的统计图．其中，为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“不了解”．请根据图表中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)补全条形统计图（类别对应人数要标出），并求出扇形统计图中“不了解”对应的圆心角度数；
(3)若全校共有1500名学生，请估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数．
22．某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表：
项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度
方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法”
方案示意图
测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，母指长．
测量数据 米；；米． 米；米； 米；米．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均在同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行；
请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米）
23．某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
(1)求智能手表和蓝牙耳机的单价；
(2)若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
24．如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接．
(1)求的值；
(2)若的半径为2，求弦的长．
25．【问题背景】如图1，正方形的边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接．
【初步感知】（1）求证：；
【研究感悟】（2）求线段长度的最小值；
【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长．
26．二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线．
(1)求此二次函数的解析式和点的坐标；
(2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
《2025年湖南省株洲市中考一模数学试题》参考答案
1．A
解：∵且，
∴，
故选：A．
2．D
解：，
故选：D．
3．B
解：的主视图是，
故选：B．
4．B
解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意，
故选：B．
5．D
解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为，
则这组数据的中位数为，
这组数据的众数为，
故答案为：D．
6．C
解：∵两个三角形是含角的三角板，
∴这两个三角形相似，
∵它们的斜边之比为，
∴它们的面积之比为，
故选：C．
7．A
解：把点代入直线，
可得，
解得，
故选：A．
8．C
解：是的切线，是切点，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．D
解：A.，
∴抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意；
B.当时，函数值，
∴抛物线过定点，该选项正确，不符合题意；
C.抛物线爱你开口向上，有最小值，该选项正确，不符合题意；
D.，当时，，抛物线与轴无交点，该选项错误，符合题意；
故选：D．
10．C
解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意；
B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数，
∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意；
C.当时，，，
∴该选项错误，故符合题意；
D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,
729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意；
故选：C．
11．
解：，
故答案为：．
12．
解：x2﹣5x=x（x﹣5）．
故答案为x（x﹣5）．
13．6
解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：6．
14．/
解：∵点在轴上方，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．
解：共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，则抽到数字为4的扑克牌的概率是，
故答案为：．
16．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
17．
解：由作图可得为的垂直平分线，
点是的中点，
对角线，
，
，
，
故答案为：．
18．或
解：设，
把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，
，，
，，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
故也不成立，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
19．3
解：原式．
20．；2026
解：
，
当时，原式=．
21．(1)200
(2)见解析，
(3)300名
（1）解：三类总人数为人，占总人数的90%，
故总人数为，
答：本次调查共抽取了名学生；
（2）解：补全D的条形为人，如图所示，
“不了解”圆心角为：；
（3）解：全校“非常了解”AI技术的人数：名．
22．米
解：选方案①：
由题意得，四边形是矩形，
米，米，，
米，
∴米，
答：雕像高约为米；
选方案②：
由题意得，，四边形是矩形，
∴米，米，，
∴，
即，
∴米，
∴米，
答：雕像高约为米．
23．(1)耳机单价150元，手表单价600元
(2)采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元
（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
24．(1)
(2)
（1）解：设正方形的边长为a，
则圆O的半径，
，
；
（2）解：为的直径，
，
半径，
，
，
设，
则，
，
．
25．（1）见解析；（2）；（3）
解：（1），由逆时针旋转知，
，，
，
；
（2）
在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图，
，，
在正方形中，，，连接
根据勾股定理可得，
当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值．
此时；
（3）由题意知，在中，，，
，，
由旋转知，，，
由（1）知，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
在中，
．
26．(1)，
(2)存在点
(3)或
（1）解：依题意得：，
解得：，
二次函数解析式为：，
，
令，解得：或4，
令，则，
，，
故此抛物线的解析式为：，．
（2）解：如图，对称轴是直线，
①当时，P在第一象限，，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
．
②当时，P在第四象限，显然与不全等；
（或者，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
与不全等）
综上所述，存在点，使与全等．
（3）解：依题意知：的半径，
①当与线段相切时，如图所示，
设切点为H，连接，则，，，
，，
，
，
，
；
②当经过点时，M为中点，．
③当经过点时，如图，
，，，
，
，
，
，
当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或．

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