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第十章二元一次方程组（A卷）单元测试人教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
2．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
3．已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
4．对于有理数x，y定义新运算：x☆y＝ax+by+1（等号右边是正常的加法和乘法运算）．若1☆（﹣1）＝0，2☆1＝8，则（﹣2）☆3的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．由方程组可得x与y的关系式是（　　）
A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2
6．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则ab的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10
8．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知（m﹣2）x|m|﹣1+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　．
10．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　．
11．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：a@b＝2a+b，例如3@4＝2×3+4＝10．若x@（﹣y）＝3，（2y）@x＝6，则x﹣y的值为 　 　．
12．已知关于x，y的方程组的解满足x+3y＝18，则a＝ 　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程组：
（1）； （2）．
13．某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元/千克） 2.4 2
零售价（元/千克） 3.6 2.8
（1）蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
15．已知关于x，y的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求（3a+5b）2024的值．
16．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
17．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝mx+ny﹣4（其中m、n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若T（1，2）＝0，T（2，﹣1）＝﹣1．
（1）求m、n的值；
（2）当T（a，b）＝0时，求a、b的非负整数解．
18．对于二元一次方程2x﹣y＝3的任意一个解，给出如下定义：若|a|＞|b|，则称|b|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”；若|a|＝|b|，则称|a|或|b|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若|a|＜|b|，则称|a|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”．
（1）当a＝2时，此方程的“和谐值”是 　 　，二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是 　 　；
（2）若二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解；
（3）当a＝m+1（m≥2）时，探究方程2x﹣y＝3是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—8：DCADDADA
二、填空题
9．【解答】解：由题意，得|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．【解答】解：将是代入，
得，
方程组转化为：
则，
解得．
故答案为：．
11．【解答】解：根据题意得，，
①×4，得8x﹣4y＝12③，
②+③，得9x＝18，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝1，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
12．【解答】解：，
解得，
∵x+3y＝18，
∴，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三、解答题
13.【解答】解：（1）把x＝2y代入3x﹣2y，得6y﹣2y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入x＝2y，得x＝4，
所以方程组的解是；
（2），
①+②，得16x＝16，
解得：x＝1，
把x＝1代入①，得7+2y＝4，
解得：，
所以方程组的解是．
14.【解答】解：（1）设他批发了黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意可列方程组为：
，
解得：，
答：他批发了黄瓜和茄子分别是25千克，15千克；
（2）由题意得：（元），
（元），
卖完这些黄瓜和茄子共赚了21+14.4＝35.4（元）．
15.【解答】解：（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，
由题意可得，
解方程组得，
答：篮球每个90元，排球每个65元；
（2）若按照①套餐打折购买费用为：2（5×90+5×65）×0.8+4×90+2×65＝1730（元），
若参加②满减活动购买费用为：14×90+12×65＝2040（元），
又2040＞1999，
所以2040﹣200＝1840（元）．
而1840＞1730，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
16．【解答】解：（1）由题意，得
，
①+②，得
7x＝14，
∴x＝2，
把代入②得
6+y＝9，
∴y＝3，
解得；
（2）将代入，得，
解得．
∴3a+5b＝﹣6+5＝﹣1
∴（3a+5b）2024＝（﹣1）2024＝1．
17．【解答】解：（1）∵T（x，y）＝mx+ny﹣4，而T（1，2）＝0，T（2，﹣1）＝﹣1，
∴，
解得，
答：m＝2，n＝1；
（2）∵m＝2，n＝1，
∴T（x，y）＝2x+y﹣4，
∵T（a，b）＝0，即2a+b﹣4＝0，
∴2a+b＝4，
∴a、b的非负整数解为或或．
18.【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，即x＝2，
∴y＝1．
∴b＝1．
∴|a|＞|b|．
∴当a＝2时，此方程的“和谐值”是1；
由题意，当二元一次方程2x﹣y＝3存在“和谐平衡值”时，|a|＝|b|，
∴|x|＝|y|．
∴y＝±x．
①当y＝x时，2x﹣x＝3，
∴x＝y＝3．
∴|a|＝|b|＝3．
∴此时二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是3．
②当y＝﹣x时，2x+x＝3，
∴x＝1，y＝﹣1．
∴|a|＝|b|＝1．
∴此时二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是1．
综上，二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是1或3．
故答案为：1；1或3．
（2）由题意，①当x＝5时，即2×5﹣y＝3，解得y＝7，
又|7|＝7＞|5|＝5，
∴5是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为．
②当x＝﹣5时，即2×（﹣5）﹣y＝3，解得y＝﹣13，
又|﹣13|＝13＞|﹣5|＝5，
∴5是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为．
③当y＝5时，即2x﹣5＝3，解得x＝4，
又|5|＝5＞|4|＝4，
∴4是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，不符合题意；
④当y＝﹣5，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
又|﹣5|＝5＞|﹣1|＝1，
∴1是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，不符合题意．
综上所述，所有满足条件的方程的解为，．
（3）当a＝m+1时，
∴y＝b＝2x﹣3＝2（m+1）﹣3＝2m﹣1．
∵m≥2，
∴a＝m+1≥3，b＝2m﹣1≥3．
∴|a|＝a＝m+1，|b|＝b＝2m﹣1，
又b﹣a＝（2m﹣1）﹣（m+1）＝2m﹣1﹣m﹣1＝m﹣2≥0，
∴b≥a．
∴①当m＝2时，a＝b，即|a|＝|b|，
此时方程2x﹣y＝3的“和谐值”为3．
②当m＞2时，b＞a，即|a|＜|b|，
此时方程2x﹣y＝3的“和谐值”为m+1，此时m+1＞3．
∴方程2x﹣y＝3最小“和谐值”为3．
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