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福建省三明市大田县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列各图中，能直接利用“内错角相等，两直线平行”判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．有一种新型病毒的直径约为0.00012毫米，数据0.00012用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件为必然事件的是（ ）
A．射击百发百中 B．地球绕着太阳转
C．通过路口遇到红灯 D．太阳从西边升起
6．如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．对于与，下列叙述中正确的是（ ）
A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同
C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同
8．在《频率的稳定性》这节课中，小东同学通过任意掷一枚质地均匀的骰子，统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则这一结果的是（ ）
A．朝上的点数为1 B．朝上的点数为偶数
C．朝上的点数为3的倍数 D．朝上的点数小于5
9．若，是正整数，且满足，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面内，以下结论正确的是（ ）
①7条直线最多有21个交点；
②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于；
③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．计算： ．
12．若∠A＝50°，则∠A的补角为 ．
13．袋子中装有除颜色外完全相同的n个黑球和5个白球，从中随机抽取1个，若选中白球的概率是，则n的值是 ．
14．如图，将一张长方形纸片沿折叠，其中，分别在边，上，若，则 ．
15．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ．
16．已知，，则 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．化简求值：，其中，．
19．如图，，的平分线与的平分线交于点，填空：
∵，
① ．
平分，
② ．
平分，
③ ．
④ ．
⑤ ．
⑥ ．
请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ ．
20．利用整式乘法公式计算：
(1)
(2)
21．某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满一定金额，就能获得一次摸球的机会．游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个，从该盒子中摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖．
(1)求顾客在一次游戏中获得一等奖的概率；
(2)商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里添加哪些颜色的球？各颜色的球至少应添加多少个？说明理由．
22．如图，已知，点为上一点，点在上，且．
(1)求作点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，判断与的大小关系，并说明理由．
23．学习了多项式除以单项式以后，自然会想到如何进行多项式除以多项式的运算，类比两数相除用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算，其步骤是：
①把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）；
②用竖式进行运算；
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．
例如，计算：的运算步骤如下：
解：
所以，商式为，余式为．
(1)计算：；
(2)若的余式为零，求，的值．
24．如图，已知，，点在射线上运动（不与点重合），和的角平分线分别与射线交于点，．
(1)求的度数；
(2)判断与间的数量关系，并说明理由；
(3)点在射线上，且．点运动时，能否使得？若存在，求的度数；若不存在，说明理由．
25．阅读以下材料，解决问题：
小明向Ai智能对话助手DeepSeek提问“什么是数字黑洞”，得到如下回答：“数字黑洞”是指一类特殊的数学现象，通过特定的运算规则对数字进行反复操作，最终会陷入一个或几个固定的数值或循环中，无法逃脱，类似宇宙中的黑洞． 活动一：卡普雷卡尔常数（6174） 条件：各位数字不全相同的四位数（如2025） 步骤： 1．将四位数的数字重新排列，得到一个最大数和一个最小数（若出现数字0，则0排在第一位，）； 2．用最大数减去最小数，得到新数； 3．对新数重复以上步骤，最终会得到数字6174并循环（，，，，， ）． 由上述过程可知，四位数的卡普雷卡尔常数为6174．
小明仿照活动一进行操作：任意写下一个数字（各数位上的数字不全相同），重新排列数字，分别得到一个最大数和一个最小数，用最大数减较小数得到新数，再对新数重复上述步骤．
(1)如果小明写下的是一个两位数，请通过整式的运算说明得到的新数是9的倍数；
(2)对三位数（各数位上的数字不全相同）按如上步骤进行，请描述每次做差后的新数的特征，并写出三位数的卡普雷卡尔常数；
(3)在阅读材料里，四位数2025经过六步操作得到卡普雷卡尔常数（6174），四位数8442也是经过六步操作得到卡普雷卡尔常数．已知任一个四位数（各数位上的数字不全相同）最多经过七步可得到卡普雷卡尔常数，请写出一个需要七步才能得到卡普雷卡尔常数的四位数并验证．
备注：将一个“排序→做差”的过程称为一次“操作”．
《福建省三明市大田县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题》参考答案
1．B
解：A．与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．A
解：A、与是内错角，∵，∴，故该选项符合题意；
B、与是同位角，故该选项不符合题意；
C、与不是内错角、同位角，也不是同旁内角，故该选项不符合题意；
D、与是对顶角，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．C
解：，
故选：C．
4．D
如图所示，
∵
∴
∵
∴．
故选：D．
5．B
解：A．射击百发百中是随机事件，不符合题意；
B．地球绕着太阳转是必然事件，符合题意；
C．通过路口遇到红灯是随机事件，不符合题意；
D． 太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
6．A
如图，过点B作BD//l，
∵直线l//m，
∴BD//l//m．
∵∠1=25°，
∴∠4=∠1=25°．
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°．
∴∠2=∠3=20°．
故选A．
7．C
∵，，
∴与，底数不同，运算结果相同．
故选：C．
8．C
A、朝上的点数是5的频率为，不符合试验的结果；
B、朝上的点数是偶数的频率为，不符合试验的结果；
C、朝上的点数是3的倍数的频率为，基本符合试验的结果．
D、朝上的点数小于5的频率为，不符合试验的结果；
故选：C．
9．D
解：∵，
∴，
∴，
则，
故选：D．
10．A
解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，，
∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确；
②假设所有的角都大于等于26°，
假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都，
则其和，与圆心角矛盾．
假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾．
综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确；
③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交．
理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线，
其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点，
∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点，
∴七条直线共个交点，
∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次，
∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确；
故选：A．
11．
解：，
故答案为：．
12．130°
∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°.
13．10
解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
14．
解：长方形对边，
∴，
由翻折的性质得：，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
如图所示，

∵点是上一个动点
∴当时，取最小值
∴
∵
∴．
故答案为：．
16．1
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
故答案为：1．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
解：
当，时，原式
19．； ； ； ； ； ；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直
解：∵，
．
平分，
．
平分，
．
．
．
∴．
用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直
故答案为：； ； ； ； ； ；两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直
20．(1)9600
(2)1
（1）解：
（2）解：
21．(1)
(2)最少添加1个黄球，1个白球
（1）解：由题意知，共有8种等可能的结果，其中摸到红球的结果有1种
∴（获得一等奖）；
（2）解：最少添加1个黄球，1个白球，理由如下：
∵将获得二等奖的概率提高到，
∴至少添加2个球，且其中1个是黄球，
∵同时适当降低获得一等奖的概率，
∴添加的另一个球是白球，
∴最少添加1个黄球，1个白球．
22．(1)见解析
(2)，理由见解析
（1）解：如图，点即为所作；
（2）解：
理由：如图，
由作图得，，
∴，
∵，
∴
∴
23．(1)商式为，余式为
(2)，
（1）解：，
所以，商式为，余式为；
（2）解：
∵余式为零，
∴，，
∴，．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)
（1）解：∵，
∴
∵，分别平分，
∴，
∴
∴
（2）解：
理由：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：∵，分别平分，
∴可设，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
即
由（1）可知
∴
∴．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)9941，9831，9721，9611，8830，8720，8610，8500等均是经过七次操作得到卡普雷尔常数的四位数，验证过程见解析
（1）解：设小明写的两位数十位数字为，个位数字为，且，则这个两位数为．
重新排列后：最大数为，最小数为，
用最大数减最小数可得：
所以小明写下的两位数是9的倍数；
（2）解：取三位数：352，
第一步：；
第二步：；
第三步：；
第四步：；
第五步：．
∴三位数的卡普雷卡尔常数495；
特征：①中间这个是数都是9；②三个数字的和是18；
（3）解：9941，9831，9721，9611，8830，8720，8610，8500等均是经过七次操作得到卡普雷尔常数的四位数，验证过程如下（以9941为例）：
第一步：；
第二步：；
第三步：；
第四步：；
第五步：；
第六步：；
第七步：．

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