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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练
1．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．
（1）求证：CM2=MN MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．
2．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
3．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．
5．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．
6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD AO．
7．如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．
（1）求证：△HBE∽△ABC；
（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．
8．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．
（1）求证：直线CA是⊙O的切线；
（2）若BD=DC，求的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2=AB EF．
10．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．
（1）求证：AD=DE；
（2）若CE=2，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．
11．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
12．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．
（1）求证：OF=BG；
（2）若AB=4，求DC的长．
13．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．
15．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度．
16．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF AB=12，求AC的长．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵⊙O中，M点是半圆CD的中点，
∴=，
∴∠CAM=∠DCM，
又∵∠CMA=∠NMC，
∴△AMC∽△CMN，
∴=，即CM2=MN MA；
（2）连接OA、DM，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=30°，
∴OA=PO=（PC+CO），
设⊙O的半径为r，
∵PC=2，
∴r=（2+r），
解得：r=2，
又∵CD是直径，
∴∠CMD=90°，
∵CM=DM，
∴△CMD是等腰直角三角形，
∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=（2r）2=16，
则CM2=8，
∴CM=2．
2．【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠DAF=36°，
∴∠DAO=36°+54°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．
3．【解答】（1）证明：连接OP、OB．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）设OP交AB于K．
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB都是切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC，
∵AO=OC，
∴AK=BK，
∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，
∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，
∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，
∴BC=PB=PA=2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2=PK PO，设PK=x，
则有：x2+ax﹣4a2=0，
解得x=a（负根已经舍弃），
∴PK=a，
∵PK∥BC，
∴==．
4．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．
（2）解：如图，连接CG．
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴=，即=，
∵△AFG∽△DFC，
∴=，
∴=，
在正方形ABCD中，DA=DC，
∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，
∴CG==5，
∵∠CDG=90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．
5．【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴=，∵OD=OC，
∴OC2=OF OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM==，
∵DC是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF=CM=，
在Rt△OEF中，OF==，
∴EC=2OF=，
∵EC∥OB，
∴==，
∵GH∥CM，
∴==，
∴GH=．
6．【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴=，即AC2=AB AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD AO．
7．【解答】解：（1）∵AC是⊙O的切线，
∴CA⊥AB，∵EH⊥AB，
∴∠EHB=∠CAB，∵∠EBH=∠CBA，
∴△HBE∽△ABC．
（2）连接AF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∵∠C=∠C，∠CAB=∠AFC，
∴△CAF∽△CBA，
∴CA2=CF CB=36，
∴CA=6，AB==3，AF==2，
∵=，
∴∠EAF=∠EAH，∵EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF=EH，∵AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEH，
∴AF=AH=2，设EF=EH=x，
在Rt△EHB中，（5﹣x）2=x2+（）2，
∴x=2，
∴EH=2．
8．【解答】解：（1）证明：∵BC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°
∵AE平分∠BAC，CE=CF，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠2+∠5=90°，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BC，
∴直线CA是⊙O的切线；
（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，
∴△ADF∽△ACE，
∴，
∵BD=DC，
∴tan∠ABC=，
∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACD，
∴tan∠ACD=，
∴sin∠ACD=，
∴．
9．【解答】解：（1）连接OD．
∵∠BCD=36°，
∴∠DOB=72°
∴的长==2π．
（2）连接OD．
∵AE=EC，OB=OC，
∴OE∥AB，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在△EOD和△EOC中，
，
∴△EOD≌△EOC，
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（3）∵OE⊥CD，
∴DF=CF，∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD AB，
∵AC=2CE，
∴4CE2=2EF AB，
∴2CE2=EF AB．
10．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，
∴AD=DE；
（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴=，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，
∴CD=；
（3）解：延长EF交⊙O于M，
BE=BC﹣CE=10﹣2=8，
在Rt△ABD中，AD=，AB=10，
∴BD=3，
∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴=，
∴∠BEP=∠EDB，
∴△BPE∽△BED，
∴=，
∴BP=，
∴DP=BD﹣BP=，
∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，
∵S△BCD=××3=15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，
∴S△BDE=12，
∴S△DPE=．
11．【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴=，
∴BC2=BE BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x 3x，
解得：x=，
即AE=．
12．【解答】（1）证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在的中点，
∴=，
∴∠AOF=∠BOF，
∵∠ABC=∠ABG=90°，
∴∠AOF=∠ABG，
∴FO∥BG，
∵AO=BO，
∴FO是△ABG的中位线，
∴FO=BG；
（2）解：在△FOE和△CBE中，
，
∴△FOE≌△CBE（ASA），
∴BC=FO=AB=2，
∴AC==2，
连接DB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴=，
∴=，
解得：DC=．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵，
∴∠DCA=∠BAE．
∴△ADC∽△EBA；
（2）解：∵A是的中点，
∴
∴AB=AC=8，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC，，
即，
∴AE=，
∴tan∠CAD=tan∠AEC===．
14．【解答】（1）证明：∵DC2=CE CA，
∴=，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD；
（2）解：方法一：如图，连接OC，
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴=，
∵PB=OB，CD=，
∴=
∴PC=4
又∵PC PD=PB PA
∴4 （4+2）=OB 3OB
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，
在Rt△ACB中，
AC===2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°
∴∠FDA+∠BDC=90°
∠CBA+∠CAB=90°
∵∠BDC=∠CAB，
∴∠FDA=∠CBA，
又∵∠AFD=∠ACB=90°，
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，
∴在Rt△APF中有，，
求得DF=．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，
易证△PCO∽△PDA，可得=，
△PGO∽△PFA，可得=，
可得，=，由方法一中PC=4代入，
即可得出DF=．
15．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA=90°．
∵=，
∴∠BAD=∠C=60°．
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．
即∠ABD=30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，
∴DA=BA=×6=3．
∴BD=DA=3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，
∴cos30°==．
∴BP=4．
∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．
16．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD=90°；
∴∠CAD+∠D=90°
∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线
（2）∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠D=90°，
∴∠D=∠ACF，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=∠CAF，
∴△ABC∽△ACF，
∴，
∴AC2=AF AB
∵AF AB=12，
∴AC2=12，
∴AC=2．
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