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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中切线的证明综合训练
1．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
2．如图，在半圆中，点O是圆心，AB是直径，点C是的中点，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：CE是半圆的切线．
（2）若∠ABC＝30°，AB＝4，则的长为　 　．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为斜边AB的中线．过点D作AB的垂线交AC于点E，再过A、D、E三点作⊙O．
（1）确定⊙O的圆心O的位置，并证明CD为⊙O的切线；
（2）若BC＝3，求⊙O的直径．
4．如图，△ABC中，以BC边为直径的⊙O交AC于D，AE平分∠BAC，交BD于F，且BE＝BF
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝3，DF＝1，求CF的长．
5．如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，AC交⊙O与D，点E为⊙O上一点，且∠CBD＝∠E．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）已知⊙O的半径长为，CD＝2，求BC的长．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线．
（2）若AE＝4cm，CD＝6cm，求AD的长．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O直径，点E在BC延长线上，且∠E＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2，求OM的长．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点O为AB上一点，且3AO＝AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．
（1）求证：CB与⊙O相切；
（2）若AB＝6，求DF的长度．
10．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．
11．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．
（1）求证：EC是圆O的切线；
（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，
①求证：AC＝CF；
②若AD＝1，求线段FG的长．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，点E是弧BC的中点．
（1）过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线；
（2）点F是弧AC的中点，求EF的长．
13．如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
14．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
参考答案
1．【解答】证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC BC＝CM CN
∴7＝3 CM
∴CM＝
2．【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵点C是中点
∴
∴∠ABC＝∠CBD
∵OB＝OC
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBD
∴OC∥BD，且CE⊥BE
∴CE⊥OC，且OC是半径，
∴CE是半圆O的切线．
（2）∵∠ABC＝30°，且∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°
∴∠AOC＝60°
∵AB＝4
∴OA＝2
∴的长＝＝π
故答案为：
3．【解答】（1）解：∵点D在⊙O上，DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴圆心O在AE的中点处；
证明：连接OD，
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∵在Rt△ACB中，CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠OCD＝∠A＝30°，
∴∠ODC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD过O，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝3，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，
∴⊙O的直径为2．
4．【解答】（1）证明：∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠AFD＝90°
∵AE平分∠BAC，BE＝BF，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠BEF，
∴∠2+∠AFD＝90°，
∵∠3＝∠AFD，
∴∠2+∠BEF＝90°，
∴∠ABC＝90°，
即AB⊥BC，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝3，DF＝1，
∴BE＝BF＝2，
∵∠1＝∠2，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴＝＝＝，
∴AB＝2DA，AE＝2AF，
∴AF＝EF，
∴BF＝AE，
∴AE＝2BF＝4，
∴AB＝＝2，
∴DA＝，
∵AB2＝DA AC，
∴AC＝＝4，
∴DC＝AC﹣AD＝3
在Rt△DCF中，CF＝＝2．
5．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAD+∠OBD＝90°，
∵∠DAB＝∠E，∠CBD＝∠E．
∴∠DAB＝∠CBD，
∴∠CBD+∠OBD＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵∠ADB＝∠ABC＝90°，
∠BAC＝∠DAB，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AD AC，
设AD＝x，则，
解得x＝4，负值舍去，
∴AD＝4，
同理△CDB∽△CBA，
∴，
∴CB2＝CD AC，
BC＝．
6．【解答】（1）证明：连结OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝4cm． EF＝OA，
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，
即⊙O的半径为5cm，
∴EF＝OA＝5cm，
∴ED＝EF﹣DF＝5﹣3＝2cm，
在Rt△AED中，AD＝＝2．
7．【解答】（1）证明：如图，∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠E+∠CDE＝90°，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥DE，BD⊥DE，
∴BD⊥AC．
∵BD是⊙O直径，
∴AF＝CF，
∴AB＝BC＝8，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2
∴⊙O半径的长是．
8．【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE，
而∠GFE＝∠AFH，
∴∠GEF＝∠AFH，
∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH＝90°，
∴∠GEA+∠OAF＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r﹣2，
在Rt△OCH中，（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，
在Rt△ACH中，AC＝＝2，
∵AC∥GE，
∴∠M＝∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴＝，即＝，
∴OM＝．
9．【解答】（1）证明：过O作OH⊥BC与H，
∵∠ACB＝90°，
∴OH∥AC，
∵∠A＝60°，
∴∠HOB＝60°，
∴OH＝OB，
∵3AO＝AB，
∴OA＝BO，
∴OH＝OA，
∴CB与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝6，3AO＝AB，
∴AE＝4，OB＝4，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴BC＝AB＝3，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
△OEF∽△OBC，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴DE＝2，EF＝，
∴DF＝．
10．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BCD
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AE∥BC
∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD
∴AE＝CE，且AE＝EF
∴AE＝CE＝EF
∴△CAF是直角三角形
∴∠CAF＝90°
∴AF是⊙O的切线
（2）连接AD，
∵AC是直径
∴∠ABC＝90°＝∠ADC
∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°
∴△ABC≌△ADC（AAS）
∴AB＝AD＝12，BC＝CD
在Rt△AED中，DE＝＝5
∵AE＝CE＝EF＝13
∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，
∵AE∥BC
∴＝
∴EG＝9
∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4
11．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B＝90°，
∵EG＝EC，
∴∠ECG＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圆O的切线；
（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，
∴∠AOC＝45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF＝45°，
∴＝，
∴AC＝CF；
②解：作CM⊥OE于M，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，
∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，
∴∠FGC＝67.5°，
∵∠COF＝45°，OC＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，
∴∠GFC＝∠FGC，
∴CF＝CG，
∴FM＝GM，
∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD＝DM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中
∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），
∴FM＝AD＝1，
∴FG＝2FM＝2．
12．【解答】（1）证明：连接OE交BC于M，
∵E为弧BC中点，
∴由垂径定理得：OE⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OE⊥DE，
∵OE为半径，
∴DE是⊙O切线．
（2）连接AF，OF交AC于N，
∵AB＝AC＝10，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OE⊥BC，
∴BM＝CM＝6，
∴A、O、E三点共线，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∵点F是弧AC的中点，
∴OF⊥AC，AN＝CN＝5，
在 Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，
∴AM＝＝8，
∵BM CM＝ME AM，
∴ME＝＝＝，
∴AE＝8+4.5＝12.5，
∴OA＝OF＝，
∴ON＝＝，
∴FN＝OF﹣ON＝﹣＝，
在Rt△AEF中，AF2＝AN2+FN2＝，
∴EF＝＝．
13．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE∥AC，
∴∠1＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE，
又∵OC＝OB，
∴∠OBE＝∠OCE，
即∠DBO＝∠OCD，
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，
∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠3＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COF＝60°，
在Rt△COF中，tan∠COF＝，
∴CF＝4．
14．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴＝，
∵OB＝OC，
∴，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中，，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：连接PF，FC，FO并延长交⊙O于G，
则∠G＝∠ACF，∠G+∠PFG＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠AFG+∠PFG＝90°，
∴∠AFP＝∠G＝∠ACF，
∵∠FAP＝∠ACF，
∴△AFP∽△ACF，
∴＝，
∴AF2＝AP AC，
∴AF＝＝2，
∴AB＝AF＝2，
∵AC＝6，
∴BC＝＝2，
∴AO＝＝3，
∵△ABO∽△AOE，
∴，
∴＝，
∴AE＝3．
15．【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．
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