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2025年九年级数学中考二轮专题复习圆中切线的证明练习
1．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与AB的延长线交于点E，AD⊥CD，点C是的中点．
（1）求证：直线CD与⊙O相切于点C；
（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从B点出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，，结果保留一位小数）．
2．如图，△ABC为等边三角形，O为BC的中点，作⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，连接BE交⊙O与点F、M，若AB＝4，求FM的长．
3．如图，D是⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是⊙O的切线，OE∥AD交CD的延长线于点E，连结EB．
（1）求证：EB是⊙O的切线．
（2）若AC＝2，AD＝，求⊙O的半径．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
5．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，连接BD，过A点作AE∥BD交CD的延长线于E．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若AB∥CD，AB＝8，CD＝6，求⊙O半径的长．
7．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠DCA＝60°，BC＝3，求BC的长．
8．如图，菱形ABCD，AB＝4，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接OF，若∠BAD＝60°，求OF的长．
9．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若BG＝OB，AC＝6，求BF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BE中点，AE⊥CD于点D，延长DC，AB交于点F，已知AD＝4，FC＝FB．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求线段FC的长．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，且∠DOC＝∠DCO，E是弧AC上的一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接OA
（1）求证：AO⊥BC；
（2）若3∠CAF＝2∠ABC，求证：CF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为1，求CD的长．
12．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AC是⊙O的直径，∠DAC＝2∠BAC，过点B的直线与AC的延长线、DC的延长线分别相交于点E、F，且EF＝CF．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝3，求CD的长．
13．如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：EF＝BF；
（2）求证：BC是⊙O的切线．
（3）若AB＝4，BC＝3，求DE的长，
14．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．
15．如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．
（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切于点C；
（2）解：∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝∠CAD＝30°，
由圆周角定理得，∠COE＝60°，
∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3，
的长为：＝π，
∴蚂蚁爬过的路程＝3+3+π≈11.3．
2．【解答】（1）证明：连接OD，作OG⊥AB于G，如图1所示：
则∠OGB＝90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，
∵O为BC的中点，
∴OB＝OC，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ODC＝90°＝∠OGB，
在△OBG和△OCD中，，
∴△OBG≌△OCD（AAS），
∴OG＝OD，∴AB与⊙O相切；
（2）解：连接OA、OM，作OH⊥FM于H，如图2所示：
则∠OHB＝90°，FH＝MH，
∵CE＝AC，AC＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB＝∠ACB＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠OGB＝90°，
∴四边形OHBG是矩形，
∴OH＝BG，
∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，
∴OB＝BC＝AB＝2，
∵∠BOG＝90°﹣60°＝30°，
∴OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，
在Rt△OMH中，OM＝OG＝，OH＝1，
∴MH＝＝，
∴FM＝2MH＝2．
3．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODE＝90°，
∵OE∥AD，
∴∠BOE＝∠OAD，∠ADO＝∠DOE，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∴∠BOE＝∠DOE，
在△OBE和△ODE中，，
∴△OBE≌△ODE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴EB是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图2所示：
设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，cos∠BAD＝＝＝，
在Rt△ODE中，cos∠＝，
∵∠BAD＝∠DOE，
∴＝，
∴OE＝r2，
∵OE∥AD，
∴△CAD∽△COE，
∴＝，即＝，
整理得：3r2﹣r﹣2＝0，
解得：r＝1，或r＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为1．
4．【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．
5．【解答】（1）证明：连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，CD，
∵BD是⊙O切线，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BDE+∠ODE＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠ODE＝90°，
∴∠BDE＝∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠BDE＝∠OCD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCD，
∴
∴BD2＝BE BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．
6．【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AB＝AD，OB＝OD
∴∠BAO＝∠DAO
∴∠OAD+∠ADB＝90°
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB，
∴∠OAD+∠EAD＝90°，
即AE⊥OA，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：如图，延长AO交BD于点F，连接OB，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB＝AD＝DE＝8，
∴∠BAO＝∠ABO
∵AE为⊙O的切线，∴∠DAE+∠DAF＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADF，
∵∠ABD＝∠ADF，
∴∠DAE＝∠ABD＝∠ACD，
∵∠E＝∠E，
∴△ADE∽△CAE，
∴
∴AE2＝DE CE，
∴，
∴AE＝4，
∴，
∴，
∴＝6，
由（1）知OA⊥BD，
∴在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
设OB＝x，则OF＝6﹣x，
∴，
解得：x＝．
即⊙O的半径为．
7．【解答】解：（1）证明：连接OC，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠CAD＝∠BAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∴∠OCD＝∠D＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACD＝60°，
∴∠OCA＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°，
∴的长：＝π．
8．【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠CAD+∠AEF＝90°，
∴∠OEA+∠AEF＝90°，即∠OEF＝90°，
又∵OE是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
在Rt△ABE中，，
在Rt△AEF中，，
在Rt△OEF中，OE═＝2，
∴．
9．【解答】证明（1）如图：连接OE，BE
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A
∵BC是直径
∴∠CEB＝90°，且AB＝BC
∴CE＝AE，且CO＝OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）解：∵BG＝OB，OE⊥EG，
∴BE＝OG＝OB＝OC，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∵AC＝6，
∴CE＝3，BE＝＝，
∴OE＝，
∵OB＝BG，OE∥AB，
∴BF＝OE＝．
10．【解答】（1）证明：连接OC．
∵C是的中点，
∴AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）∵FC＝FB，
∴设BF＝x，则CF＝x，
∵CD是⊙O的切线，
∴CF2＝BF AF，
设OA＝OC＝OB＝r，
∴2x2＝x（x+2r），
∴x＝2r，
∴BF＝2r，
∵OC∥AD，
∴△OCF∽△ADF，
∴，
∴＝，
∴r＝3，
∴BF＝6，
∴FC＝FB＝6．
11．【解答】（1）证明：
在△AOB和△AOC，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC；
（2）证明：∵AO＝BO＝CO，∠BAO＝∠CAO，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，
∵∠DOC＝∠DCO，∠DOC＝2∠OBC，
∴∠ABO＝2∠OBC，
∴∠ABO＝∠ABC，
∵3∠CAF＝2∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABO，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴AF∥OC，
∵CF⊥AF，
∴CF⊥OC；
（3）解：∵∠AOD＝2∠BAO，∠ADO＝2∠ACO，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AD＝AO＝OC＝1，
∵∠DOC＝∠DCO＝∠CAO，
∴△COD∽△CAO，
∴＝，
∴OC2＝CD AC，
设CD＝x，则AC＝x+1，
∴x（x+1）＝1，
解得x1＝，x2＝，
∴CD＝．
12．【解答】解：（1）连接OB．则∠BOC＝2∠BAC．
∵∠DAC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠DAC，
∵EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠ACD，
∴∠FEC＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BOC+∠ACD＝90°，
∴∠OBE＝180°﹣（∠BOE+∠FEC）＝90°，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OBE中，，
由（1）知，∠BOE＝∠DAC，∠OBE＝∠ADC，
∴△ADC∽△OBE，
∴，
即，
∴．
13．【解答】（1）证明：∵AE＝AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BE，
∴EF＝BF；
（2）证明：∵AE＝AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE＝（180°﹣∠BAC＝）＝90°﹣∠BAC，
∵∠BAC＝2∠CBE，
∴∠CBE＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝（90°﹣∠BAC）+∠BAC＝90°，
即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∴＝，
解得：AD＝3.2，
∵AE＝AB＝4，
∴DE＝AE﹣AD＝4﹣3.2＝0.8．
14．【解答】（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，
AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
而OA⊥l，即∠OAC＝90°，
∴∠ACB+∠CPA＝90°，
即∠ABP+∠OBP＝90°，
∴∠ABO＝90°，
OB⊥AB，
故AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，
而OA＝5，OB＝OP＝3，
由勾股定理，得：AB＝4，
过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，
∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，
∴△ODP∽△CAP，
∴，
又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，
∴，
∴，
∴．
15．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，
∴AB⊥AD，
∵CD∥AB，BC∥OD，
∴四边形BODC是平行四边形，
∴OB＝CD，
∵OA＝OB，
∴CD＝OA，
∴四边形ADCO是平行四边形，
∴OC∥AD，
∵CD∥BA，
∴CD⊥AD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆的切线；
（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，
理由：如图2，连接BE，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBA+∠BAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAE，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠DAE，
∵∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．
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