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第四章 不等式
第四章 不等式
知识点 1 二元一次不等式（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 眉山）解不等式：1，把它的解集表示在数轴上．
2．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
3．（2023 盐城）解不等式2x﹣3，并把它的解集在数轴上表示出来．
4．（2025春 上海月考）关于x的方程的解是x＝1，求关于x的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解．
5．（2024春 东坡区期中）（1）若关于x的方程2k﹣7x＝﹣8的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y≥2，求m的取值范围
第四章 不等式
二元一次不等式（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 盐城）求不等式x﹣1的正整数解． 2．（2023 陕西）解不等式：x．
3．（2022 宜昌）解不等式1，并在数轴上表示解集．
4．（2025 陕西模拟）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
5．（2025春 浦东新区月考）阅读与理解：
若二元一次不等式①的解都是二元一次不等式②的解，则称二元一次不等式②是二元一次不等式①的“覆盖不等式”．例如：不等式x＜1的解都是不等式x≥﹣1的解，则x≥﹣1是x＜1的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）不等式x＜﹣1 　 　不等式x＜﹣3的“覆盖不等式”；（选填“是”或“不是”）
（2）若x＜﹣2是关于x的不等式﹣x+4m＜1的“覆盖不等式”，试求m的最小整数值．
第四章 不等式
二元一次不等式（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 市北区校级开学）解不等式：
（1）3x＜2（1﹣x）； （2）4x+5≥6x﹣3； （3）．
2．（2024春 高碑店市期中）解下列不等式．
（1）3x﹣2＜4． （2）．
3．（2024春 临渭区期中）已知不等式2（x﹣1）+5＜3（x+1）+4的最小整数解是关于x的方程2x﹣mx＝6的解，求m的值．
4．（2024春 宣城期中）已知关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根．
5．（2024春 泾阳县期中）是否存在整数m，使不等式mx﹣m＜3x+2的解集为x＜﹣4？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
第四章 不等式
二元一次不等式（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024春 扶风县期中）解下列不等式：
（1）2x+6＜5x﹣3； （2）．
2．（2025 东湖区校级模拟）下面是小友同学解不等式的运算过程：
解：去分母，得2（2x+1）＜3（3x﹣2）﹣12，① 去括号，得4x+2＜9x﹣2﹣12，② 移项，得4x﹣9x＜﹣2﹣12﹣2，③ 合并同类项，得﹣5x＜﹣16，④
（1）以上解题过程中，从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　；
（2）请写出该不等式错误的求解过程．
3．（2024春 邓州市期中）（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为　 　
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　 　．
第四章 不等式
二元一次不等式（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 市北区校级开学）已知关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解为非负数，求a的范围．
2．（2024春 榆林期中）已知实数x、y满足2x+3y＝1．若实数y满足y＜1，求x的取值范围．
3．（2024秋 余姚市期末）学习了“解二元一次不等式”后，小慧同学解不等式的过程如下：
解：去分母得：x﹣1＜2（x﹣2） 去括号得：x﹣1＜2x﹣4 移项，得：x﹣2x＜﹣4+1 合并同类项，得：﹣x＜﹣3 两边同时除以﹣1，得：x＜3
小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的解答过程，并把解表示在数轴上．
4．（2024春 东坡区期中）我们规定的运算法则为，例如．若，求x的取值范围．
5．（2025春 上海月考）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＜1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
解决此问题的过程如下：
解：∵x﹣y＝2，x＜1，∴y+2＜1，∴y＜﹣1，
又y＜0，
∴﹣1＜y＜0，①
同理得：1＜x＜2，②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，
∴0＜x+y＜2．
请按照上述方法，解答下列问题：
（1）若a﹣b＝4，且a＜1，b＜2，求a+b的取值范围（写出求解过程）；
（2）若a﹣b＝10，且a＜1，b≥1，请直接写出2a+3b的取值范围及其最小值．
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第四章 不等式
第四章 不等式
知识点 1 二元一次不等式（一）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 眉山）解不等式：1，把它的解集表示在数轴上．
2．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
3．（2023 盐城）解不等式2x﹣3，并把它的解集在数轴上表示出来．
4．（2025春 上海月考）关于x的方程的解是x＝1，求关于x的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解．
5．（2024春 东坡区期中）（1）若关于x的方程2k﹣7x＝﹣8的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y≥2，求m的取值范围．
第四章 不等式
二元一次不等式（二）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024 盐城）求不等式x﹣1的正整数解． 2．（2023 陕西）解不等式：x．
3．（2022 宜昌）解不等式1，并在数轴上表示解集．
4．（2025 陕西模拟）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
5．（2025春 浦东新区月考）阅读与理解：
若二元一次不等式①的解都是二元一次不等式②的解，则称二元一次不等式②是二元一次不等式①的“覆盖不等式”．例如：不等式x＜1的解都是不等式x≥﹣1的解，则x≥﹣1是x＜1的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）不等式x＜﹣1 　 　不等式x＜﹣3的“覆盖不等式”；（选填“是”或“不是”）
（2）若x＜﹣2是关于x的不等式﹣x+4m＜1的“覆盖不等式”，试求m的最小整数值．
第四章 不等式
二元一次不等式（三）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 市北区校级开学）解不等式：
（1）3x＜2（1﹣x）； （2）4x+5≥6x﹣3； （3）．
2．（2024春 高碑店市期中）解下列不等式．
（1）3x﹣2＜4． （2）．
3．（2024春 临渭区期中）已知不等式2（x﹣1）+5＜3（x+1）+4的最小整数解是关于x的方程2x﹣mx＝6的解，求m的值．
4．（2024春 宣城期中）已知关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根．
5．（2024春 泾阳县期中）是否存在整数m，使不等式mx﹣m＜3x+2的解集为x＜﹣4？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
第四章 不等式
二元一次不等式（四）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2024春 扶风县期中）解下列不等式：
（1）2x+6＜5x﹣3； （2）．
2．（2025 东湖区校级模拟）下面是小友同学解不等式的运算过程：
解：去分母，得2（2x+1）＜3（3x﹣2）﹣12，① 去括号，得4x+2＜9x﹣2﹣12，② 移项，得4x﹣9x＜﹣2﹣12﹣2，③ 合并同类项，得﹣5x＜﹣16，④
（1）以上解题过程中，从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　；
（2）请写出该不等式错误的求解过程．
3．（2024春 邓州市期中）（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为　 　
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　 　．
第四章 不等式
二元一次不等式（五）
计算大冲关 （难度等级 ）
1．（2025 市北区校级开学）已知关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解为非负数，求a的范围．
2．（2024春 榆林期中）已知实数x、y满足2x+3y＝1．若实数y满足y＜1，求x的取值范围．
3．（2024秋 余姚市期末）学习了“解二元一次不等式”后，小慧同学解不等式的过程如下：
解：去分母得：x﹣1＜2（x﹣2） 去括号得：x﹣1＜2x﹣4 移项，得：x﹣2x＜﹣4+1 合并同类项，得：﹣x＜﹣3 两边同时除以﹣1，得：x＜3
小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的解答过程，并把解表示在数轴上．
4．（2024春 东坡区期中）我们规定的运算法则为，例如．若，求x的取值范围．
5．（2025春 上海月考）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＜1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
解决此问题的过程如下：
解：∵x﹣y＝2，x＜1，∴y+2＜1，∴y＜﹣1，
又y＜0，
∴﹣1＜y＜0，①
同理得：1＜x＜2，②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，
∴0＜x+y＜2．
请按照上述方法，解答下列问题：
（1）若a﹣b＝4，且a＜1，b＜2，求a+b的取值范围（写出求解过程）；
（2）若a﹣b＝10，且a＜1，b≥1，请直接写出2a+3b的取值范围及其最小值．
二元一次不等式（一）参考答案
1．（2024 眉山）解不等式：1，把它的解集表示在数轴上．
【考点】解二元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥2，数轴见解答．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：1，
2（x+1）﹣6≥3（2﹣x），
2x+2﹣6≥6﹣3x，
2x+3x≥6+6﹣2，
5x≥10，
x≥2，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】此题考查了解二元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解二元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【答案】x＜﹣3，
【分析】根据不等式的运算法则进行计算．
【解答】解：，
x﹣1＜2（x+1），
x﹣1＜2x+2，
x﹣2x＜2+1，
﹣x＜3，
x＜﹣3．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查了解不等式，要注意在不等式两边都除以一个负数时，要改变不等号的方向．
3．（2023 盐城）解不等式2x﹣3，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解二元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜1．
【分析】先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，
去括号，得6x﹣9＜x﹣4，
移项合并同类项，得5x＜5，
系数化为1，得x＜1
∴原不等式的解集为：x＜1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
4．（2025春 上海月考）关于x的方程的解是x＝1，求关于x的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解．
【考点】二元一次不等式的整数解；二元一次方程的解；解二元一次不等式．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x，不等式的最小整数解为1．
【分析】利用方程的解是x＝1求得a＝1，再解二元一次不等式，然后确定不等式的最小整数解．
【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴﹣1+a，
∴a＝1，
∴关于x的不等式化为，
去分母得9x+2≥6，
移项得9x≥6﹣2，
合并得9x≥4，
系数化为1得x，
∴不等式的最小整数解为1．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次不等式，二元一次不等式在整数解，明确方程解的概念，掌握解二元一次不等式的步骤是解题的关键．
5．（2024春 东坡区期中）（1）若关于x的方程2k﹣7x＝﹣8的解是非负数，求k的取值范围．
（2）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y≥2，求m的取值范围．
【考点】解二元一次不等式；二元一次方程的解；二元一次方程组的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）k≥﹣4；（2）m≥4．
【分析】（1）求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）首先解不等式利用m表示出x和y的值，然后根据x﹣y≥2列不等式求得的范围．
【解答】解：（1）由2k﹣7x＝﹣8，解得．
∵关于x的方程2k﹣7x＝﹣8的解是非负数，
∴，即8+2k≥0，
解得k≥﹣4，
∴k的取值范围是k≥﹣4；
（2）由②×2﹣①×3，得y＝4﹣m．
将y＝4﹣m代入①，得x＝2m﹣6．
∵x﹣y≥2，
∴2m﹣6﹣（4﹣m）≥2，
即3m﹣10≥2，
解得m≥4．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次不等式组，准确熟练进行计算是解题的关键．
二元一次不等式（二）参考答案
1．（2024 盐城）求不等式x﹣1的正整数解．
【考点】二元一次不等式的整数解．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1，2．
【分析】根据解二元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解，并写出正整数解即可．
【解答】解：，
1+x≥3x﹣3，
x﹣3x≥﹣3﹣1，
﹣2x≥﹣4，
x≥2．
所以此不等式的正整数解为：1，2．
【点评】本题考查二元一次不等式的整数解，熟知解二元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．（2023 陕西）解不等式：x．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜﹣5．
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：x，
去分母，得3x﹣5＜4x，
移项，得3x﹣4x＜5，
合并同类项，得﹣x＜5，
不等式的两边都除以﹣1，得x＜﹣5．
【点评】本题考查了解二元一次不等式，能错误根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
3．（2022 宜昌）解不等式1，并在数轴上表示解集．
【考点】解二元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x≥1．
【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：去分母得：2（x﹣1）≥3（x﹣3）+6，
去括号得：2x﹣2≥3x﹣9+6，
移项得：2x﹣3x≥﹣9+6+2，
合并同类项得：﹣x≥﹣1，
系数化为1得：x≥1．
．
【点评】此题考查了解二元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
4．（2025 陕西模拟）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
【考点】解二元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜﹣1，图见解析．
【分析】先利用不等式的性质解得二元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
去分母，得2﹣（3x﹣1）＜6，
去括号，得2﹣3x+1＜6，
移项、合并同类项，得﹣3x＜3，
化系数为1，得x＜﹣1，
∴不等式的解集为x＜﹣1；
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查解二元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解答的关键．
5．（2025春 浦东新区月考）阅读与理解：
若二元一次不等式①的解都是二元一次不等式②的解，则称二元一次不等式②是二元一次不等式①的“覆盖不等式”．例如：不等式x＜1的解都是不等式x≥﹣1的解，则x≥﹣1是x＜1的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）不等式x＜﹣1 　是　不等式x＜﹣3的“覆盖不等式”；（选填“是”或“不是”）
（2）若x＜﹣2是关于x的不等式﹣x+4m＜1的“覆盖不等式”，试求m的最小整数值．
【考点】二元一次不等式的整数解；二元一次不等式的定义；解二元一次不等式．版权所有
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据覆盖不等式的定义即可求解；
（2）先解不等式﹣x+4m＜1可得x＜4m﹣1，再根据覆盖不等式的定义可4m﹣1≥﹣2，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵不等式x＜﹣3的解都是等式x＜﹣1的解，
∴不等式x＜﹣1是不等式x＜﹣3的“覆盖不等式”，
故答案为：是；
（2）∵不等式﹣x+4m＜1的解集为x＜4m﹣1，x＜﹣2是关于x的不等式﹣x+4m＜1的“覆盖不等式”，
∴4m﹣1≥﹣2，解得．
∴m的最小整数值为﹣1．
【点评】本题主要考查解二元一次不等式，熟练掌握解二元一次不等式的技能和覆盖不等式的定义是解题的关键．
二元一次不等式（三）参考答案
1．（2025 市北区校级开学）解不等式：
（1）3x＜2（1﹣x）；
（2）4x+5≥6x﹣3；
（3）．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）x≥4；
（3）x＜5．
【分析】（1）去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）先移项，合并同类项，系数化为1即可；
（3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可．
【解答】解：（1）由题意得3x＜2﹣2x，
3x+2x＜2，
5x＜2，
；
（2）由题意得4x﹣6x≥﹣5﹣3，
﹣2x≥﹣8，
x≥4；
（3）由题意得3（x﹣3）﹣6＜2（x﹣5），
＝3x﹣9﹣6＜2x﹣10，
3x﹣2x＜15﹣10，
x＜5．
【点评】本题考查了解二元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
2．（2024春 高碑店市期中）解下列不等式．
（1）3x﹣2＜4．
（2）．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＜2；
（2）x≥5．
【分析】（1）根据解二元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解二元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）3x﹣2＜4，
移项，得3x＜4+2，
合并同类项，得3x＜6，
系数化为1，得x＜2．
（2），
去分母，得2（2x﹣1）≥3（x+1），
去括号，得4x﹣2≥3x+3，
移项，得4x﹣3x≥3+2，
合并同类项，得x≥5．
【点评】本题考查的是解二元一次不等式，熟练掌握解二元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
3．（2024春 临渭区期中）已知不等式2（x﹣1）+5＜3（x+1）+4的最小整数解是关于x的方程2x﹣mx＝6的解，求m的值．
【考点】二元一次不等式的整数解；二元一次方程的解．版权所有
【专题】方程与不等式；应用意识．
【答案】m＝4．
【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程方程2x﹣mx＝6，从而可以得到m的值．
【解答】解：2（x﹣1）+5＜3（x+1）+4，
去括号得：2x﹣2+5＜3x+3+4，
移项合并同类项得：﹣x＜4，
∴x＜﹣4，
∴最小整数解为﹣3，
把x＝﹣3代入2x﹣mx＝6，得：2×（﹣3）﹣（﹣3）m＝6，
解得：m＝4．
【点评】本题考查二元一次不等式的整数解、二元一次方程的解，解题的关键是明确二元一次不等式的解法和二元一次方程的解法．
4．（2024春 宣城期中）已知关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根．
【考点】二元一次不等式的整数解；二元一次方程的解．版权所有
【专题】实数；一次方程（组）及应用；二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先求出不等式的解集，再根据关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，即可得到x的值，然后将x的值代入方程求出a的值，最后求a的算术平方根即可．
【解答】解：由可得，x＜1.4，
∵关于x的方程3x+ax＝14的解是不等式的最小整数解，
∴x＝2，
∴3×2+2a＝14，
解得a＝4，
∴2，
即a的算术平方根是2．
【点评】本题考查二元一次不等式的整数解、二元一次方程的解、算术平方根，解答本题的关键是求出a的值．
5．（2024春 泾阳县期中）是否存在整数m，使不等式mx﹣m＜3x+2的解集为x＜﹣4？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】存在不不符合的整数m，m＝2．
【分析】首先求出关于x的不等式mx﹣m＜3x+2的解集，结合x＜﹣4，探讨整数m的值解决问题．
【解答】解：假设存在不不符合的整数m，
将原不等式整理，得（m﹣3）x＜m+2．当m﹣3＜0，即m＜3时，
有x，
根据题意，得4，
解得m＝2．因此，存在不不符合的整数m，且当m＝2时，使不等式的解集为x＜﹣4．
【点评】本题考查的是解二元一次不等式，能根据不等式的性质，错误解不等式是解此题的关键．
二元一次不等式（四）参考答案
1．（2024春 扶风县期中）解下列不等式：
（1）2x+6＜5x﹣3；
（2）．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＜3；
（2）．
【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）2x+6＜5x﹣3，
移项，合并同类项得，﹣3x＜﹣9，
系数化为1得，x＜3；
（2），
去分母得，2（2x+1）+9x﹣2≥6，
去括号得，4x+2+9x﹣2≥6，
移项，合并同类项得，13x≥6，
系数化为1得，．
【点评】本题主要考查解二元一次不等式，解题的关键是掌握解二元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（2025 东湖区校级模拟）下面是小友同学解不等式的运算过程：
解：去分母，得2（2x+1）＜3（3x﹣2）﹣12，① 去括号，得4x+2＜9x﹣2﹣12，② 移项，得4x﹣9x＜﹣2﹣12﹣2，③ 合并同类项，得﹣5x＜﹣16，④
（1）以上解题过程中，从第 　②　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　去括号时，常数项没有除3　；
（2）请写出该不等式错误的求解过程．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）②；去括号时，常数项没有除3；
（2）x＜4．
【分析】（1）根据解二元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；
（2）按照解二元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没除3；
故答案为：②；去括号时，常数项没有除3；
（2），
去分母，得2（2x+1）＜3（3x﹣2）﹣12，
去括号，得4x+2＜9x﹣6﹣12，
移项，得4x﹣9x＜﹣6﹣12﹣2，
合并同类项，得﹣5x＜﹣20，
解得x＜4．
【点评】本题考查了解二元一次不等式，熟知去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1是解二元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
3．（2024春 邓州市期中）（1）观察发现：
材料：解方程组
将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为　　
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　1，2　．
【考点】二元一次不等式的整数解；解二元一次方程组；解二元一次不等式．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由第一个方程求出x﹣y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
（2）由第一个方程求出2x﹣3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
（3）方程组两方程相减表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．
【解答】解：（1）由①得：x﹣y＝1③，
将③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③得：x＝0，
则方程组的解为．
故答案为．
（2）由①得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入③得：2x﹣12＝2，
解得x＝7，
则方程组的解为．
（3），
①+②得：3（x+y）＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，
代入不等式得：﹣m+2，
解得：m，
则满足条件m的正整数值为1，2．
故答案为1，2．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二元一次不等式（五）参考答案
1．（2025 市北区校级开学）已知关于x的方程3x+2（3a+1）＝6x+a的解为非负数，求a的范围．
【考点】解二元一次不等式；二元一次方程的解．版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B．
【分析】解方程表示出x，由题意得出不等式即可求出a的范围．
【解答】解：由3x+2（3a+1）＝6x+a，得到x，
根据题意得：0，
解得：a．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，解二元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
2．（2024春 榆林期中）已知实数x、y满足2x+3y＝1．若实数y满足y＜1，求x的取值范围．
【考点】不等式的性质；等式的性质．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜﹣1．
【分析】先利用含x的式子表示出y的值，然后求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵2x+3y＝1，
∴3y＝1﹣2x，
，
∵y＜1，
∴，
解得：x＜﹣1，
x的取值范围为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了二元一次不等式，熟练掌握不等式基本性质是解题的关键．
3．（2024秋 余姚市期末）学习了“解二元一次不等式”后，小慧同学解不等式的过程如下：
解：去分母得：x﹣1＜2（x﹣2） 去括号得：x﹣1＜2x﹣4 移项，得：x﹣2x＜﹣4+1 合并同类项，得：﹣x＜﹣3 两边同时除以﹣1，得：x＜3
小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的解答过程，并把解表示在数轴上．
【考点】解二元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有
【答案】有错误；
解答过程见解析；
解表示在数轴上见解析．
【分析】根据不等式的性质及解二元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解即可．
【解答】解：有错误；
由解题过程可知，
第一步去括号出现错误，
去括号时因为不等式两边都除以6时，1未除以6，
第五步出现错误，
因为不等式两边都除或除以同一个负数﹣1时，不等号方向未改变，
错误解答过程如下：
1，
6×（）＜6×（），
去分母得：x﹣6＜2（x﹣2），
去括号得：x﹣6＜2x﹣4，
移项得：x﹣2x＜﹣4+6，
合并同类项得：﹣x＜2，
两边同时除以﹣1得：x＜﹣2．
把解表示在数轴上如图所示：
【点评】本题主要考查了解二元一次不等式，熟知解二元一次不等式的步骤是解题的关键．
4．（2024春 东坡区期中）我们规定的运算法则为，例如．若，求x的取值范围．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x．
【分析】根据运算法则列不等式求解即可．
【解答】解：∵，
∴6x﹣2（4﹣x）＜3x﹣2，
∴6x﹣8+2x＜3x﹣2，
∴5x＜6，
∴，
即x的取值范围为．
【点评】本题考查了二元一次不等式的应用，错误理解新定义运算法则是解题关键．
5．（2025春 上海月考）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＜1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
解决此问题的过程如下：
解：∵x﹣y＝2，x＜1，∴y+2＜1，∴y＜﹣1，
又y＜0，
∴﹣1＜y＜0，①
同理得：1＜x＜2，②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，
∴0＜x+y＜2．
请按照上述方法，解答下列问题：
（1）若a﹣b＝4，且a＜1，b＜2，求a+b的取值范围（写出求解过程）；
（2）若a﹣b＝10，且a＜1，b≥1，请直接写出2a+3b的取值范围及其最小值．
【考点】解二元一次不等式．版权所有
【专题】二元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣2＜a+b＜8；
（2）﹣25＜2a+3b≥25；25．
【分析】（1）由a﹣b＝4得到a＝b+4，再结合a＜1，b＜2解得b的取值范围；再a﹣b＝4得到b＝a﹣4，再结合a＜1，b＜2解得a的取值范围；继而求得答案；
（2）由a﹣b＝10得到a＝b+10，再结合a＜1，b≥1切得b的取值范围，然后将a＝b+10代入2a+3b中整理后即可求得其范围，从而求得其最小值．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∵a＜1，b＜2，
∴b+4＜1，b＜2，
∴﹣3＜b＜2①，
∵a﹣b＝4，
∴b＝a﹣4，
∵a＜1，b＜2，
∴a＜1，a﹣4＜2，
∴1＜a＜6②，
①+②得：﹣2＜a+b＜8；
（2）∵a﹣b＝10，
∴a＝b+10，
∵a＜1，b≥1，
∴b+10＜1，b≥1，
∴﹣9＜b≥1，
∵a＝b+10，
∴2a+3b＝2（b+10）+3b＝2b+20+3b＝5b+20，
∴﹣25＜5b+20≥25，
即﹣25＜2a+3b≥25，
则其最小值为25．
【点评】本题考查解二元一次不等式，理解题意并进行错误的计算是解题的关键．

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