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2025年河南省普通高中招生考试模拟试卷
数学（导向一）
注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 小东在妈妈的微信零钱明细中看到，收入2000元被记作元，则元表示（ ）
A. 收入1600元 B. 支出1600元 C. 收入400元 D. 支出400元
2. 2024年国庆假期期间，河南省接待游客量近8000万人次．数据“8000万”用科学记数法表示（ ）
A B. C. D.
3. 用3个同样的小正方体摆出的几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
6. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则对于这5个数据，下列说法错误的是（ ）
项目 德 智 体 美 劳
得分 10 9 7 10 9
A. 平均数是9 B. 中位数是9 C. 众数是9 D. 方差是1.2
8. 现有四张航天相关卡片，正面如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，先从中随机抽取一张后放回，洗匀，再从中随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的概率是（ ）
A B. C. D.
9. 在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 5
10. 如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ）
A. 6 B. C. 8 D. 12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 某校欲购一批剪纸装饰套装以供学生手工制作使用，已知剪纸装饰套装单价为50元，则购买套需___________元．
12. 已知，则___________．
13. 对于实数定义新运算：，例如，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________．
14. 如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转，得到，连接，．当点落在的垂直平分线上时，的度数为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识测试，并对数据（百分制）进行整理和分析（用表示，单位：分，成绩共分四个等级组：优秀：；良好：；合格：；待提高：），将数据整理后，绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）本次调查样本容量是_______，图中_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校八年级学生共有人，请你估计八年级数学文化知识掌握的程度达到良好以上（含良好）的学生大约有多少人？
（4）请对该校八年级学生“数学文化知识”掌握情况作出合理的评价．（写出一条即可）
18. 刘邓大军渡淮纪念碑位于河南省信阳市息县刘邓大军渡淮纪念馆，该场馆是一个集革命纪念、红色旅游为一体的综合性场馆．某数学兴趣小组开展了测量刘邓大军渡淮纪念碑高度的实践活动，具体过程如下：如图，在纪念碑左右两侧的地面上选取两处，分别测量纪念碑顶端的仰角．且点在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内．在点处测量点的仰角为；在点处测量点的仰角为，测量两点间的距离为m，已知测角仪的高度m，求刘邓大军渡淮纪念碑的高．（参考数据：）
19. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象过线段的端点，且轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接并延长交反比例函数的图象于点，求线段的长．
20. 欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书．
小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角．
小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系．
请帮助小明写出已知，求证，并证明．
已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，．
求证：_________________．
21. 为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同．
（1）求水基灭火器和干粉灭火器的单价；
（2）学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？
22. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．运动员从起跳到着陆的过程中的路线可以看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，着陆坡可以用一次函数刻画，如图，运动员淇淇通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡底端到点的水平距离．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的距离（单位：）与水平方向移动的距离（单位：m）近似满足函数关系，已知．
（1）求的值和落点的坐标；
（2）当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他到起跳点的水平距离．
23. 综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，刘老师让学生以三角形为主题进行探究活动．在中，，点为边上一动点（不与端点重合，且不为边的中点），连接，以为斜边在右侧作．
【问题解决】
下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．
（1）“奋进”小组：如图1，，为的中点，连接，在求与的数量关系时，可以采取下面的思路：延长至点，使得，连接，如图2，通过“证明”以及“中位线定理”最终得出结论．
①证明的判定依据是______；（用字母表示）
②与的数量关系是_______；
（2）“智慧”小组：如图3，，为的中点，连接，（1）中与的数量关系是否仍然成立？说明理由；
（3）“创新”小组：如图4，，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若，直接写出的长．

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