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【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：导数及其应用-2025年高考数学
1．（2025·陕西咸阳·三模）已知函数，，．
(1)当时，函数在处取得极值，求实数的值；
(2)当恒成立时，求的最大值；
(3)在（1）的条件下，证明：当时，．
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的零点个数；
(3)对于恒成立，求实数的取值范围.
3．（2025·浙江·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数无极值点，求实数的取值范围；
(3)若为函数的极小值点，证明：.
4．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ．
①若 ，求证： 当 时， ；
②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围．
5．（2025·天津河北·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；
(3)若有两个零点，且，证明：．
6．（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论的零点个数；
(2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点；
(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
7．（2025·河南·三模）若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．
(1)已知函数在区间上是一个“函数”，求a；
(2)当时，．证明：函数在区间上是一个“函数”；
(3)证明：．
8．（2025·福建莆田·三模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，函数有两个极值点．
（i）求实数的取值范围；
（i i）当满足时，求实数的最大值．
9．（2025·天津·一模）已知函数
(1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；
(2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围；
(3)若函数存在极大值，记作，求证：.
10．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
11．（2025·湖南长沙·一模）已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)设是的两个极值点，证明：
(i)
(ii)
12．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为．
(1)若的焦点为，且的最小值为，求的值；
(2)若存在点，使得，求的取值范围．
13．（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中．
(1)当时，
①若，求函数的最大值；
②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：；
(2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围．
14．（2025·河南·三模）已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．（2025·河南焦作·三模）已知函数．
(1)当时，，求实数的取值范围．
(2)若，设的正零点从小到大依次为．
①证明：；
②判断数列的单调性，并证明．
附：当时，．
《【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：导数及其应用-2025年高考数学》参考答案
1．(1)
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用函数在处取得极值得，求得实数的值，并检验极值点即可得结论；
（2）因恒成立，若，则，不合题意；，整理可得，令，求导确定单调性，即可得最大值，从而得所求；
（3）由（1）可知，，求导确定函数的单调性，由可得，利用单调性与不等式的性质即可证得结论.
【详解】（1）当时，，
因为时，函数在处取得极值，
所以，
∴
则经检验是函数的极值点，
故所求实数的值为．
（2）由题意知，
因恒成立，若，则，不合题意；
∴，当时，要使恒成立，则有，
所以，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，取得最大值．
故的最大值为2．
（3）证明：由（1）可知，，
∴
∴时，，单调递增，
记，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以当时，易得，
∴，∴，
∴，
由（1）知，，所以当时，成立．
2．(1)；
(2)1；
(3).
【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数，结合零点存在性定理，分段探讨函数的零点即可.
（3）构造函数，利用导数分类讨论的最值情况求解.
【详解】（1）函数，求导得，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，函数和都为增函数，则函数为增函数，
而，，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则当时，，
因此函数在上无零点；
当时，，当时，，
即当时，，函数在上单调递增，又，
于是函数在上有1个零点，
所以函数在上有1个零点.
（3）令，，，
求导得，
令，求导得，
函数，即在上单调递增，
①当，即时，，
函数在上单调递增，，在上恒成立；
②当，即时，，由函数在上的图象连续不断，
知，当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
所以实数m的取值范围是.
3．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；
（2）将问题转化为在上恒成立，通过必要性探路可求得，将问题转化为充分性的证明，采用放缩法可知需证明，利用导数可说明单调性和最值，进而得到结论；
（3）当时，求导后，结合零点存在定理可说明在，上单调递增，在上单调递减，由此可得；令，可证得，利用放缩并整理可得，进而得到结论.
【详解】（1），，
又，在点处的切线方程为：.
（2）由题意知：的定义域为，
若函数无极值点，在上单调，
或在上恒成立；
，在上恒成立，
，，解得：；
下面证明充分性：
当时，，又，，
，
令，
当时，，
在上单调递增，又，为定义在上的偶函数，
在上单调递减，，，
在上单调递增，无极值点，充分性成立；
综上所述：.
（3）由（2）可得：当时，函数无极值点.
当时，令，则，
当时，，又，为定义在上的奇函数，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减；
函数存在唯一的极小值点，且满足.
下证：.
令，则，
令，则，
在上单调递增，即，
在单调递增，，即
又，，
又，，
即，，
即，，又，.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，本题第二问求解的关键是能够将问题转化为函数在区间内单调，进一步将问题转化为恒成立问题的求解，并利用必要性探路来消除变量.
4．(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可；
（2）①，从而得到在下单调递增，则，则得到的单调性，即可证明；
②当时,分析得在上单调递增，再取点计算得，最后利用零点存在性定理即可得到答案.
【详解】（1），
①当，即时，恒成立，在上单调递增．
②当，即或时，令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）(i)，
，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
则在上单调递增，则，得证．
（ii）当时，，同理有在上单调递增，
而，
故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得．
当时，单调递减；
当时单调递增．
，
故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意．
当时，由（i）可知不合题意，故舍去．
综上所述，的取值范围为．
5．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围；
（3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）由题设，则，且，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题设，即且，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
所以，
当，时，，则在上单调递增，，符合；
当，时，，时，
所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合；
综上，；
（3）由，则，，且，
所以，故，
要证，需证，即，
需证，令，即，即证，
最终只需证明，令且，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以得证.
6．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)3．
【分析】（1）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论；
（2）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论；
（3）利用分离参数法得到，令，求导得到函数最小值，即可得到结果.
【详解】（1）由
当时，由得在单调递减
解得，
当时，在只有一个零点．
当时，，在单调递减
，，
又
在有一个零点．
又在单调递减，
当时，在有一个零点．
综上，当时，只有一个零点．
（2）证明：当时，，
当时，，
在上单调递增，
，，
在区间内存在唯一的零点．
（3）解：，且，，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
7．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据函数新定义有恒成立，结合，的最值，即可求参数；
（2）问题化为证明时，构造相关的函数并利用导数证明不等式，即可证结论；
（3）由（2）有有，令，显然，再由，累加即可证结论.
【详解】（1）由在区间上是一个“函数”，
所以任意，恒成立，即，
令，，则，，
要使恒成立，则，可得；
（2）要证在区间上是一个“函数”，
需证时，，证明如下：
令，，则，
令，则，即在上单调递增，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，
令，，则，
令，则，
或时，，即在、上单调递增；
时，，即在上单调递减；
又，，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
综上，，故结论得证；
（3）当，则，由（2）知且，故，
所以，即有，
令，则，有，
所以
，得证.
8．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）先把代入函数求，再对求导得，算出即切线斜率，最后用点斜式得出切线方程.
（2）（i）先得出和，因有两个极值点，是零点，将变形，设并求导，分析其单调性得最大值，结合图象确定2a范围，进而得到范围.
（ii）根据条件得到2a表达式，设，代入化简得表达式，设求导分析单调性，由确定范围，得出范围，进而确定范围，再根据2a表达式设，分析其单调性得最大值，从而得到最大值.
【详解】（1）当时，，
，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）（i），则，
因为函数有两个不同的极值点，所以是的零点，
由，得．
设，则，
令，得；令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以．
当时，，当时，，
结合的图象的变化趋势可知，，所以，
故实数的取值范围为．
（i i）由条件可知，，，
则，且．
不妨令，将代入中，
得，则．
设，，则，
令，则，所以在上单调递减，
则，即，所以在上单调递减．
由得，，所以，
因此在区间上单调递减，即，
于是，所以，则，
又，令，由（ⅰ）可知，在区间上单调递增，
所以，则，解得，
故实数的最大值为．
9．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数解析式，求得切点坐标以及导数，由导数求得切线斜率，从而求得切线方程，根据轴上的截距，建立方程，可得答案；
（2）由函数的导数，利用极值点的必要条件，可得导数的零点个数，由导数构建函数，利用导数可得新函数的单调性，由零点的等价条件，可得答案；
（3）由（2）结合极大值的定义，可得参数的取值范围以及极大值点，从而求得极大值并化简，利用作差法，可得答案.
【详解】（1）由，则，求导可得，
所以切线斜率，切线方程为，
整理可得，令，解得，则，解得.
（2）由（1）可知函数的导数，
由函数存在唯一极值点，则导数存在唯一变号零点，
即方程存在唯一根，整理可得，
令，即函数的图像与直线存在唯一交点，
求导可得，由当时，当时，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
由当时，，当时，，当时，，则，
当时，设方程的唯一根为，
当时，，即，当时，，
则函数存在唯一极值点，
所以的取值范围为.
（3）由（1）可知函数的导数，令，则，
当时，易知方程存在两个根，设为，则，
当时，，即，当时，，当时，，
则函数在处取得极大值，由，则，
所以，
故，
由，则，故.
10．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导函数结合，求出原函数即可；
（2）根据题设函数的单调性，得出导函数在内恒成立，分离参数，利用新设函数的导函数分析其单调性，即可求得的取值范围；
（3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数的单调性，从而求出函数的最值证得，再利用放缩法可证得不等式.
【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以则．
（2）由题意，在内恒成立．
．
令，则，
在区间内单调递增，
即.
所以实数a的取值范围是．
（3）设，
又，则，所以在区间内单调递增．
，，即，
，使，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，
，此时且，
∴，
又，，则，
综上，．
11．(1)
(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析
【分析】（1）依题可知，对恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可；
（2）(i)由题可得是方程的两根，即，且，令，得，问题转化为证明，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数证明，，可得与的交点横坐标为，则，与的交点横坐标为，则，由此得证.
【详解】（1）的定义域为，
依题可知对恒成立，即，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，故；
（2）(i)令，即，由题知是方程的两根，
又时，，由（1）得，
此时，
令，则，
即，
要证，即证，即证，
构造，则，
故在上递增，，
，原问题得证.
(ii)易求得的图象在处的切线方程为，
的图象在处的切线方程为，
先证，即证，
令，则，
所以在上递减，在上递增，故，得证.
再证，即证，
令，则，
所以在上递减，在上递增，故，得证.
易知与的交点横坐标为，
令与的交点横坐标为，则，
令与的交点横坐标为，则，
故.
12．(1)
(2)．
【分析】（1）设，可得，利用二次函数可求得最小值；
（2）设，表示出过和的切线方程，求出和点坐标，根据在两直线上求出点坐标，进而再求出点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案.
【详解】（1）由题意可得，设，则且，
，
因为，所以当时，有最小值，解得．
（2）由，得，所以，
设，所以，，
所以，又，整理得，
所以过点的切线方程为，于是，
同理得过点的切线方程为，所以．
因为点在两条切线上，所以，
可得点的坐标为，的方程为，于是．
，
所以，所以．
于是点，点的轨迹方程为，
根据题意抛物线与半圆有交点，
记，则，又因为，解得，即的取值范围为．
13．(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证.
（2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解.
【详解】（1）（i）当时，函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，且，在上单调递增，又
所以当时，函数的最大值为.
（ii）设切点为，而，，
曲线在点处的切线方程为
由经过点，得，整理得，
由，得，所以.
（2）函数的定义域为R，求导得，
由是函数的极小值点，得，即，
则，令，
求导得，令，即，，得，
当时，；当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
①当时，即时，得，此时，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
②当时，即时，则，而，
则存在，使，当时，，
因此不是函数的极小值点，不符合题意，
所以的取值范围为.
14．(1)0．
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）．
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点；
（2）（ⅰ）根据的定义，分和讨论得证；（ⅱ）由题，当时，，当时，，所以等价于当时，恒成立，求导，分和讨论，结合单调性可得答案.
【详解】（1）函数的定义域为R，
则，
当时，，则，
当时，，则，
所以函数在上为减函数．
又因为，故函数有且只有一个零点0.
（2）（ⅰ）函数的定义域为，
当时，，
当时，，
所以.
（ⅱ）由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
因为当时，恒成立，
所以等价于当时，恒成立，
又，
若，当时，由，
所以在上递增，所以此时恒成立.
若，当时，由，解得为，
在上递减，此时，不符合题意．
综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是.
15．(1)
(2)①证明见解析 ；②数列是递减数列，证明见解析
【分析】（1）参变分离后转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数求最大值，即可求解；
（2）①首先利用导数说明函数每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较大小后，即可证明；
②首先设，利用分析法转化证明，根据条件，以及正确公式得到，并通过作差构造函数，理由导数分析单调性后即可证明.
【详解】（1）由题意，即对任意恒成立．
设，则，
当时，，则，所以在上单调递增，
，所以，
即的取值范围是．
（2）（ⅰ）若，则在定义域内恒成立，
所以对任意在区间上单调递增，
又，当时，，
所以在区间内有唯一零点，所以．
所以和都在区间内，
又，所以，即．
（ⅱ）数列是递减数列．
证明如下：记，要证明数列是递减数列，
即证明：当时，，即，
又因为，所以只需证明当时，．
由（ⅰ）知，所以，且．
所以，所以．
，
设函数，则，
因为在区间上单调递增，
所以当时，，
所以在时单调递增，所以，
即，所以．
因为在上单调递增，且，所以，
综上，数列是递减数列．
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