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【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：电磁学综合-2025年高考物理
1．（2025·福建莆田·三模）如图所示，两平行且足够长的金属导轨相距l=1m，导轨及导轨平面跟水平面均成37°角，MN是垂直于两导轨的一分界线，MN以上的导轨光滑，MN以下的导轨粗糙，两导轨的上端可以通过单刀双掷开关K和电容器C或定值电阻R相连接，整个装置处在方向垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小B=2T的匀强磁场（图中未画出）中，开关K先接在1上，在光滑导轨上到分界线MN的距离s0=3m处由静止释放一质量m=0.1kg、长度l=1m的金属棒，经过时金属棒到达MN，此时开关K自动跳接在2上。已知电容器的电容，定值电阻R=30Ω，金属棒与导轨粗糙部分之间的动摩擦因数μ=0.85，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计导轨及金属棒的电阻，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)金属棒到达分界线MN时的速度大小；
(2)金属棒在粗糙导轨运动到离分界线MN的最远距离；
(3)在金属棒的整个运动过程中，电阻产生的电热和电容器储存的电能 E。
2．（2025·河南新乡·三模）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，竖直面内存在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域。Ⅰ区域有水平向右宽度为L＝10cm的匀强电场，场强大小为；Ⅱ区域有垂直纸面向外的匀强磁场，Ⅲ区域有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为1T和2T。一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）从Ⅰ区域左边界上的a点由静止释放，经电场加速后进入Ⅱ区域中。
(1)若粒子能进入Ⅲ区域，求Ⅱ区域的宽度需要满足的条件；
(2)若Ⅱ区域宽度为8cm，且粒子沿水平方向射出Ⅲ区域，求Ⅲ区域的宽度。
3．（2025·北京东城·一模）如图所示，将一金属或半导体薄片垂直磁场放置，在薄片的左右两个侧面间通入电流，前后两个侧面间产生电势差（霍尔电压），这一现象称为霍尔效应。
(1)设图中薄片为某N型半导体（自由电子导电），其宽度为、厚度为，单位体积内的自由电子个数为，电子所带电荷量为，电流大小为，磁感应强度大小为。
a.判断图中前后侧面电势的高低；
b.推导霍尔电压的表达式。
(2)实际上，霍尔电压很小，不易测量。已知金属导体中单位体积的自由电子数约个，半导体材料中单位体积的导电粒子数约个，请说明为什么选用半导体材料制作霍尔元件。
4．（2025·湖南长沙·一模）如图，固定在地面上的木板和半径为的圆弧槽刚好接触，圆弧槽凹侧和底面光滑，各物块与木板上表面间动摩擦因数均为。圆弧槽右侧通过不计质量的细杆与一压力传感器相连。从点向左，每隔放置一小物块，编号依次为1、2、3、4，质量均为，物块4与一劲度系数为的弹簧（处于原长）相连，物块4左侧木板表面光滑，弹簧左端连在木板左端。圆弧槽左侧空间有方向向左的匀强电场。一质量为、电荷量为的外表绝缘小物块从圆弧槽顶点处无初速度释放。已知当弹簧形变量为时，弹性势能为，重力加速度为。求：
(1)带电小物块下滑过程压力传感器的最大示数；
(2)若所有碰撞均为弹性碰撞，在的前提下，施加电场的强度多大时才能使弹簧的最大压缩量也为？
(3)先将1、2、3号物块拿掉，若带电物块与4为完全非弹性碰撞，施加电场的强度多大才能使弹簧的最大压缩量也为？
5．（2025·甘肃·模拟预测）某款带电粒子流的控制装置原理图如图甲所示。在平面直角坐标系中第一、二象限有两个半径（设为r，未知）相同的圆形区域，而且圆形区域均与两个坐标轴相切，圆形区域内均有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里；第三象限区域内有磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。在x≤-2r的x轴上放置有足够长的荧光屏，在位置坐标（，0）、（，0）间有一长条形粒子源，可以在坐标平面内沿着y轴正方向发射大量相同速率（设为v，未知）、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。不计粒子的重力、粒子间的相互作用。从位置坐标（r，0）处沿y轴正方向射出的粒子到达荧光屏的过程中的运动轨迹如图乙所示（从第一象限经两磁场圆的切点垂直y轴进入第二象限），该轨迹均在磁场中，已知粒子到达荧光屏的位置坐标为（-d，0），sin37°=0.6。求：
(1)圆形区域的半径r及粒子的速率v；
(2)粒子打到荧光屏上的最远点，最近点的位置坐标；
(3)粒子从粒子源射出到打到荧光屏上经历的最长，最短时间。
6．（2025·浙江杭州·二模）如图所示是离于回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小；
(2)离子的电荷量；
(3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。
(4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
7．（2025·内蒙古乌兰察布·二模）如图，竖直面内固定两条光滑长直金属导轨，导轨间距为L，虚线下方存在磁感应强度为B，垂直于纸面的匀强磁场，导轨与磁场边界垂直，导轨最上方两条支路分别连有大小为R的定值电阻和大小为C的电容，一长、高均为L、质量为m的“工”字型框架与导轨始终接触良好，框架水平杆为金属细杆，电阻均为R，竖直杆为绝缘细杆。框架从虚线上方某一位置由静止释放，开始时开关、均断开，框架下边刚进入磁场时，框架恰好能竖直向下做匀速直线运动，重力加速度为g
(1)求框架释放时，下边框距虚线的距离。
(2)框架下边进入磁场瞬间闭合，框架下落高度h（h(3)框架上边进入磁场瞬间，断开，闭合，并对框架施加外力使其保持匀速直线运动，某时刻框架克服安培力做功的功率恰好是框架焦耳热功率的3倍，求从框架上边进入磁场瞬间开始到该时刻框架克服安培力做的功。
8．（2025·河北·模拟预测）磁驱动和磁阻尼在工业生产中广泛应用，如图为模拟磁驱动和磁阻尼的实验。绝缘水平面以AB为界，左侧粗糙且存在宽度均为L的相邻区域，各区域内存在交替排列的匀强磁场，磁场方向相反且垂直于水平面，磁感应强度大小均为B0；AB右侧水平面光滑，CD与AB平行且两者之间始终无磁场（AB与CD之间的宽度大于2L），CD右侧宽度为L的区域内存在阻尼匀强磁场，磁场方向垂直于水平面，各磁场边界均平行。质量均为m、边长均为L的两正方形线圈abcd和分别静止在AB两侧，abcd在左侧磁场中，静止在无磁场区域，两线圈左、右边均与磁场边界平行。线圈abcd的bc边无电阻，其余各边电阻均为R，线圈的边无电阻，其余各边电阻均为R。线圈abcd与AB左侧粗糙水平面间的动摩擦因数为μ。某时刻起，AB左侧磁场整体以垂直于AB的速度v匀速向右移动（到达AB的磁场瞬间消失），经过一段时间线圈abcd在AB左侧开始向右匀速运动。已知重力加速度为g。
(1)求线圈在AB左侧匀速运动时的速度大小；
(2)如果线圈abcd全部跨过边界AB时的速度为v0，而后与线圈发生正碰，碰后bc与正对锁定在一起且接触良好，形成“日”字型线圈，为了使该线圈不能完全穿出阻尼磁场，求阻尼磁场磁感应强度的最小值。
9．（2025·天津和平·二模）如图所示，匝数为N、电阻为R的线圈内有方向垂直于线圈平面向上的随时间均匀变化的匀强磁场，线圈通过开关S连接两根间距为L、倾角为的足够长平行光滑金属导轨，导轨下端连接阻值为R的电阻。一根阻值也为R、质量为m的导体棒ab垂直放置于导轨上。在平行金属导轨区域内仅有垂直于导轨平面向上的恒定匀强磁场，磁感应强度大小为。接通开关S后，导体棒ab恰好能静止在金属导轨上。假设导体棒ab与导轨接触良好，不计导轨电阻。求：
(1)磁场穿过线圈磁通量的变化率；
(2)开关S断开后，ab从静止开始下滑到速度大小为v时，此过程ab上产生的热量为其获得动能的，求此过程通过ab的电荷量q。
10．（2025·安徽滁州·二模）如图1所示，两条间距为、电阻不计的光滑平行金属轨道固定在水平面上，轨道右侧与光滑绝缘斜面的底部平滑连接，斜面倾角为，水平轨道处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。将长度均为的金属棒P、Q放在轨道上，两棒均与轨道垂直，Q棒到斜面底部的距离为。现给P棒一定的初速度，在Q棒第一次到达斜面底端之前，两棒的速度—时间图像如图2所示，已知P棒的质量为，两棒电阻均为，重力加速度为，整个过程两棒未相碰，P棒始终在水平轨道上，Q棒未冲出斜面，求：
(1)Q棒第一次到达水平轨道右端时的加速度大小；
(2)Q棒从开始运动至第一次到达水平轨道右端所用的时间；
(3)P棒做减速运动的总位移大小和Q棒在斜面上运动的总时间。
11．（2025·浙江·三模）正负电子对撞机是研究粒子基本性质和相互作用的实验装置。正负电子经加速器加速到极高速度后，射入对撞测量区域，通过调整测量区的磁感应强度大小，使正负电子发生正碰。一实验探究小组设计的对撞机结构原理图如图所示，测量区ABCD中存在两个有界匀强磁场，水平虚线MN下方Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向外，MN上方Ⅱ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向里，直线EF为测量区的中线。在同一水平面上的直线加速器甲、乙同时以相同速率分别垂直AB、CD边界射入电子和正电子，并最终在EF上的某处实现正碰。已知正、负电子的比荷为k，边界AB、CD间的距离为4d，两加速器与MN的距离均为d，忽略电荷间的相互作用及正、负电子的重力。
(1)电子以速度大小射入Ⅰ区域，
①若电子能垂直MN进入Ⅱ区域，求；
②若，为使电子不从AB射出，求Ⅱ区域磁场的最小值；
(2)若，为使正负电子在EF上某处发生正碰，求射入磁场的速度大小v与B之间满足的关系。
12．（2025·广东汕头·二模）小旭利用电磁阻尼作用设计了一个货物缓降器模型，如图所示.单匝矩形金属线框的电阻为，质量为，边长为。线框通过绝缘绳索与质量为（）的货物相连。线框上方有足够多的方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为，方向与线框平面垂直，磁场间隔宽度与线框边长相同，边界与边平行.从适当位置释放货物，一段时间后线框恰能匀速进入磁场Ⅰ。线框从开始进入到全部进入磁场Ⅰ所用时间为，且线框到滑轮的距离足够长，不计摩擦，重力加速度为。求：
(1)线框刚进入磁场Ⅰ的速度大小；
(2)线框在时间内产生的焦耳热；
(3)货物下降的最终速度大小.
13．（2025·湖南怀化·二模）间距为的光滑平行金属直导轨，水平放置在磁感应强度大小为、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中。一质量为、电阻值为的金属棒静止垂直放在导轨之间，导轨右侧足够长，左侧如图所示，已知电源可提供大小恒为的直流电流，电阻，电容大小为（初始时刻不带电）。电路中各部分与导轨接触良好，导轨电阻不计且在运动过程中与始终与导轨垂直，开关的切换可在瞬间完成。
(1)当开关与电源接通时，棒中电流由流向，求此时棒的加速度大小和方向。
(2)当金属棒加速到时，开关瞬间与接通，此时金属棒内自由电子沿棒定向移动的速度为。经过一段时间，自由电子沿棒定向移动的速率变为，棒内定向移动的自由电子总数不变，求该段时间内一直在金属棒内运动的自由电子沿金属棒定向移动的距离。
(3)当金属棒速度为时，开关瞬间与接通，同时给金属棒一水平外力使其做匀速运动。某时刻外力的功率为定值电阻功率的3倍，求此时刻电容器两端电压及从开关接通到此时刻外力做的功。
14．（2025·河北·模拟预测）如图所示，水平面上固定两对称导轨，两导轨左端各有一段向内侧偏折，其余部分平行且足够长，平行部分的间距为L，两导轨间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。初始时导体棒a位于导轨左端，导体棒a与导轨间的夹角均为，导体棒b刚好位于两导轨弯折处。两导体棒a、b的质量均为m，导体棒a光滑且不考虑电阻，导体棒b粗糙且接入两导轨间部分的电阻为R。现在外力作用下让a棒向右做匀速直线运动，速度大小为v0，当a、b两棒间距缩至时，导体棒b由静止开始向右加速运动，当a棒运动至导轨弯折处时，导体棒b的速度大小为，此时立即撤去施加在a棒上的外力，同时给b棒施加一水平向右的外力，外力大小刚好平衡其所受滑动摩擦力，两棒在运动过程中始终平行，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。不计导轨电阻，已知重力加速度为g。
(1)求导体棒b与导轨间的动摩擦因数μ；
(2)求当导体棒a运动至弯折处时，a、b两棒间的距离d；
(3)若a、b棒在平行直导轨上运动过程中始终不会相碰，则速度v0需满足什么条件？（用含B、m、R、L 的式子表示）
15．（2025·陕西渭南·二模）如图所示，两足够长平行水平金属直导轨、固定在同一水平面内，间距，水平直导轨的左端点分别与两条间距也为的倾斜放置的金属直导轨绝缘平滑连接。两倾斜导轨平面与水平面成，倾斜导轨的上端接电阻。整个导轨所在空间存在垂直于导轨平面向下，磁感应强度大小的匀强磁场。质量为、电阻的金属棒静止放置在水平直导轨上，距导轨左端。质量为、电阻的金属棒从倾斜导轨上距导轨底端处由静止释放，经到达倾斜导轨底端后无动能损失运动到水平导轨上。两金属棒长度与导轨间距相等，运动过程中金属棒始终于导轨垂直且接触良好，不计其与导轨摩擦，忽略导轨电阻。重力加速度大小，求：
(1)金属棒运动到倾斜导轨底端的速度大小及电阻上产生的焦耳热；
(2)请根据题中数据分析，在以后运动过程中金属棒和能否发生碰撞；若能碰撞则碰后粘在一起，求从释放金属棒后，金属棒上产生的最大焦耳热。
《【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：电磁学综合-2025年高考物理》参考答案
1．(1)4m/s
(2)4m
(3)0.48J
【详解】（1）金属棒在光滑导轨上的运动，设金属棒到达分界线MN时的速度大小为v0，则由动量定理有
其中
联立两式并代入数据解得
（2）金属棒在粗糙导轨上的减速运动流过金属棒的电流为
电容器的电压
金属棒运动的加速度大小
金属棒受到的安培力
对金属棒，由牛顿第二定律有
联立以上各式解得
可见金属棒在做匀减速运动，代入数据解得
金属棒在粗糙导轨上运动到离分界线MN的最远距离为
（3）金属棒沿光滑导轨的运动过程，由能量守恒定律有
代入数据解得
金属棒在粗糙导轨运动到离分界线MN距离最远的过程，由能量守恒定律有
代入数据解得
2．(1)小于10cm
(2)
【详解】（1）如图1
粒子在Ⅰ区受电场力加速运动，由动能定理得
粒子在Ⅱ区域做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
设Ⅱ区域宽度为，若粒子能进入Ⅲ区域，则需
联立解得Ⅱ区域宽度应小于10cm
（2）如图2
粒子在Ⅲ区域做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
设Ⅲ区域宽度为，因为粒子在Ⅲ区域中水平飞出，则∠bOc＝∠cpd
由粒子运动中的几何关系可得
解得Ⅲ区域宽度为
3．(1)a. 前侧面电势高，后侧面电势低；b.
(2)见解析
【详解】（1）a.根据左手定则可知电子向后侧面聚集，则前侧面电势高，后侧面电势低；
b. 稳定时，电子所受电场力与洛伦兹力平衡，即
由场强与电势差关系
根据电流的微观表达式
联立可得
（2）由于半导体材料单位体积的导电粒子数小于金属导体中单位体积的自由电子数，根据可知在相同条件下，用半导体材料制作的霍尔元件产生的霍尔电压更大，更容易测量，所以选用半导体材料制作霍尔元件。
4．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示
设滑块与圆心连线从开始运动夹角时，速度为v，则
对滑块受力分析，设受到支持力为，则
由牛顿第三定律圆弧槽受到压力大小为，对圆弧槽受力分析，设压力传感器读数为F，则
由上述可知
当时，F取最大值为
（2）设带电滑块从A端滑上木板时速度为，则
设带电滑块与1号物块碰撞前速度，有
由于，则，各物块质量相等，发生弹性碰撞后带电滑块便静止在1号物块处，1号滑块将与2号滑块碰撞，2号滑块将与3号滑块碰撞，3号滑块碰撞将与4号滑块碰撞。4号滑块被碰后速度设为，则
要使弹簧的最大压缩量也为l，则
联立解得
代入和，解得
（3）设带电物块与4号物块碰前速度为，碰后的速度大小为，则，
各小物块经一系列完全非弹性碰撞后从4号球所在位置向左做简谐运动。平衡位置弹簧压缩量设为，则
要使弹簧的最大压缩量也为l，则简谐运动的振幅为
物块4被撞后整体速度为，由弹簧振子机械能守恒
解得
5．(1)，
(2)（-1.2d，0），（-0.8d，0）
(3)，
【详解】（1）根据题意及题图乙可知粒子做匀速圆周运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供向心力有，
联立解得，
（2）由于带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径R恰好等于圆形磁场区域的半径r，根据“磁发散”与“磁汇聚”模型，可知粒子平行y轴进入第一象限的圆形磁场中，经过偏转汇聚后进入第二象限的圆形磁场中，经过偏转发散后沿y轴方向射出，最后垂直于x轴进入第三象限的匀强磁场中，经过半个圆周运动垂直打到荧光屏上。由此画出打到荧光屏上的最远点、最近点的粒子对应的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系及对称关系，可得粒子打到荧光屏上最远点的x坐标
同理可得粒子打到荧光屏上最近点的x坐标
故粒子打到荧光屏上的最近点、最远点的位置坐标分别为（-1.2d，0），（-0.8d，0）；
（3）由于粒子整个运动过程中速率不变，轨迹越长对应的运动时间越长，由图甲可知，从粒子源射出到打到荧光屏上的最远点和最近点的粒子的运动时间最长，对于打到荧光屏上的最远点的粒子在第二象限的运动轨迹如图乙所示，其中粒子在磁场中做圆周运动的时间
T为带电粒子在磁场中运动的周期，即
粒子在磁场外做直线运动的时间
最长时间
解得
同理可得从位置坐标（r，0）射出到打到荧光屏上的粒子的运动时间最短其中粒子在磁场中做圆周运动的时间
粒子未在磁场外运动，则所求最短时间
6．(1)
(2)
(3)
(4)①；②
【详解】（1）离子沿水平中轴 OO1经过速度选择器，设离子电荷量为q满足
解得
（2）偏转区仅加电场时，水平方向
竖直方向
且有
联立解得
（3）离子在磁场中偏转时，设偏转角为，磁场半径
偏转角等于圆心角，由几何关系
可得
离子出射时偏离轴线的距离
（4）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向
其中
①水平方向在阻力下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0过程分析，由动量定理有
其中
得芯片距离O2的最小距离
②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为。沿圆周的半径方向
沿圆周的切线方向
可得
旋转电场对离子做功的功率
当
即时，电场对离子做功的瞬时功率最大。
7．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）设框架释放时，下边框距虚线的距离为，框架下边刚进入磁场时的速度为，由动能定理得
解得
又，，
解得
（2）框架下边进入磁场瞬间闭合，电路的总电阻
再次匀速时的速度为，则有
解得
由动量定理得
又
综合解得从闭合到框架下落高度h的过程时间
从闭合到框架下落高度h的过程电路产生的总焦耳热
在此过程中定值电阻R上产生的焦耳热
（3）设某时刻框架克服安培力做功的功率恰好是框架焦耳热功率的3倍时，流经金属杆的电流为，则，
根据
得
又
得
由于在该过程中，电动势恒定，电源做的总功
这些能量一部分转化为电容器的电场能，另外就是电阻上产生的焦耳热
电场能为
因此焦耳热
8．(1)
(2)
【详解】（1）线圈匀速运动时，安培力和摩擦力平衡，即
设线圈速度为，回路电动势为
根据闭合电路欧姆定律得
安培力为
联立解得
（2）两线圈碰撞，根据动量守恒定律得
当边进入阻尼磁场时，回路电阻为3R，设刚进入磁场时线圈速度为，根据动量定理得
当和组合体在磁场中运动过程中，回路电阻为，设组合体刚出磁场时线圈速度为，根据动量定理得
当边在磁场中运动时，回路电阻为3R，临界条件为刚离开磁场时线圈速度为0，根据动量定理得
联立解得阻尼磁场磁感应强度的最小值为
9．(1)
(2)
【详解】（1）接通开关S后，导体棒ab恰好能静止在金属导轨上；线圈中产生的电动势为
回路电流为
回路总电阻为
对于导体棒ab，根据受力平衡可得
联立解得
（2）开关S断开后，ab从静止开始下滑到速度大小为v时，此过程ab上产生的热量为其获得动能的，设此过程ab下滑的距离为，根据能量守恒可得
其中
又
联立解得
10．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在Q棒第一次到达斜面底端之前，由动量守恒定律得
解得
对Q棒，根据牛顿第二定律
又有，，
综合得
又有
解得
（2）在Q棒第一次到达斜面底端之前，对Q棒，由动量定理有
解得
解得
由动量守恒定律有
所以。
将代入得
（3）由题意知，棒最终停在斜面底部，整个过程对得
解得
又有
解得
对系统整个过程
解得
11．(1)①；②
(2)
【详解】（1）①加速器甲射出电子，在Ⅰ区域中的半径，由
得
②如图所示
轨迹与AB恰好相切于G点时，对应磁感应强度最小。在中，，
在中，得
Ⅱ区域磁场的最小值
（2）若正负电子在MN上方正碰，正负电子奇数次穿过MN，以第1次经过MN的点到边界的弦长作为一段，分别把2d均分为2、6、10…段，每段
由
得
正负电子偶数次穿过MN，以第1次经过MN的点到边界的弦长作为一段，分别把2d均分为4、8、12……段，每段
同理，得
因此，速度大小v与B之间满足的关系为：
分析粒子在Ⅱ区域磁场AB相切时，
得
要求即
得n＝1、2、3
综上，
12．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）线框进入磁场Ⅰ时受力平衡，由，
得速度大小
（2）法①：线框进入磁场Ⅰ时，由焦耳定律
得焦耳热
法②：线框进入磁场Ⅰ时，由功能关系，
得焦耳热
（3）线框完全进入磁场后，先做加速度减小的减速运动，最终受力平衡，由，
得最终速度
13．(1)，方向水平向右
(2)
(3)，
【详解】（1）由题意电源能提供大小为I的恒定电流，当电流由M经棒流向N时，由牛顿第二定律得
解得
方向水平向右。
（2）当开关与P接通时，有，
当电子沿杆定向移动速率变为时，有，
联立可得此时导体棒的速度
设该段时间内导体棒中的电子沿棒方向定向移动的平均速度为，则对导体棒由水平方向动量定理得
其中
联立可得
又因为
可得
（3）当开关与Q接通时，由闭合电路欧姆定律得
当棒匀速运动时，设任意时刻电流为i，则外力为
由题意得
化简有
再代入闭合电路欧姆定律，得
变力F 做功为
而
则有
14．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由几何关系可知，当a、b两棒间距缩至时，a棒接入回路部分的长度为，回路中的电流为
此时，导体棒b所受安培力为
根据平衡条件得
联立可得
（2）对导体棒b运动距离d的过程由动量定理得
导体棒a从两棒相距运动至弯折处所用时间
且，，，
联立可得
（3）当导体棒a运动至导轨平行部分时，两棒组成的系统动量守恒，有
对导体棒a由动量定理得
即
联立可得
若保证两棒不相碰，需满足，联立可得
15．(1)，
(2)能碰撞，1.58J
【详解】（1）对cd棒下滑过程中根据动量定理有
又下滑过程中通过cd棒的电量
由以上两式代入数据可解得
根据功能关系有
解得Q=3.9J
又R上消耗的焦耳热为
（2）金属棒运动到倾斜导轨底端过程cd棒消耗的焦耳热为
设两金属棒在水平轨道上不能相撞，则最后两者以相同速度v向右运动，由动量守恒有
对金属棒ab在场内运动过程中，由动量定理有
且
联立解得通过回路的电荷量为
又两棒在磁场中相对靠近的位移为，有
整理可得
联立以上各式并代入数据解得=1.8m
因最初cd与ad棒相距
所以两棒在水平导轨上发生碰撞
设ab、cd两棒在相撞前的速度为、，则由动量守恒有
对ab棒从开始运动到相撞过程有
由以上两式解得
分析两棒在相碰前在水平轨道上运动：
回路中总共产生焦耳热为，则由能量守恒有
代入数据解得
在此过程中cd棒产生焦耳热为
两棒相碰后粘在一起，共同运动，回路中再无感应电流，cd棒上也不产生焦耳热。
综上所述cd棒从释放开始最大产生焦耳热为
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