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【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：计数原理与概率统计-2025年高考数学
1．（2025·山东·一模）已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为．
(1)求的概率；
(2)设的值为随机变量X．
①求X的分布列；
②求随机变量的数学期望．
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了该校男、女生共100名，其中部分数据如下：
性别 排球
喜欢 不喜欢
女生 30 30
男生 30 10
(1)经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168和48，男生的身高平均数和方差分别为178和30，根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差；
(2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在甲手中的概率为.
（i）求；
（ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次）传球中球在甲手中的次数为随机变量，求的数学期望，并比较前次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小.
3．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行 1 2 3 …… 7 8 9
第2行 10 11 12 …… 97 98 99
第3行 100 101 102 …… 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
(1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为.
（i）求，，；
（ii）求.
4．（2025·山东威海·模拟预测）“政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评．
好评 非好评 合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
(1)完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联；
(2)现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
5．（2025·重庆·三模）在一款冒险游戏中，共有编号为从 1 到 的 个平台从前至后排列，玩家从平台 1 出发． 玩家需投掷一个质地均匀的骰子(6 个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)：若骰子向上的面的点数小于 3 ． 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 ， 则移动到相邻的后一平台 投掷机会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分； 在挑战过程中， 当他处于平台 1 而需要移动到前一平台时， 游戏立刻结束， 得分为 0 ． 玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战) 不会停止挑战．
(1)若玩家拥有 3 次投掷机会，求在他的最终得分为 0 分的条件下，抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3 的概率；
(2)设玩家拥有 次投掷机会，其最终得分为 ．
①求 ；
② 设 ，证明： 当 为偶数时， ．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
7．（2025·辽宁·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表：
分组（单位：分）
频数 10 15 20 30 15 10
(1)若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为，B品牌中AI手机占比为，A，B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率；
(2)为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望；
(3)由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.现将满意度得分Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机（每人一部），记为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.
8．（2025·四川自贡·三模）2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）：
航天爱好者 非航天爱好者 合计
女 40 60 100
男 70 30 100
合计 110 90 200
(1)能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？
(2)现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望.
附：，其中，
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
9．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同.
(1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求.
(2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，.
10．（2025·河北秦皇岛·三模）某大棚疏菜种植基地为增强光照强度，引进了4台大型照明设备，已知在一个月时间里，每台设备至多出现一次故障，且每台设备是否出现故障互不影响，出现故障时需要一名技术员维修，每台设备出现故障的概率均为．
(1)设一个月内这4台设备有台出现故障，请写出的分布列和数学期望．
(2)如果该种植基地要保证在任何时刻每台设备同时出现故障时都能及时得到维修的概率不小于0.85，那么应该至少雇佣多少名技术员？
(3)已知1名技术员每月只能维修1台设备，每月需支付给每位技术员1万元工资．每台设备不出现故障或者出现故障能及时维修，就能带来5万元利润，否则就不产生利润，为使每月利润更高，请判断该基地应该雇佣2名技术员还是3名技术员？
11．（2025·河北秦皇岛·三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案：
．所有苹果均以4元/千克收购；
．低于225克的苹果以元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
12．（2025·辽宁·模拟预测）某公司统计了该公司销售部员工工龄（单位：年）与一年中的月均销售额（单位：万元）的数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
15.1 4.84 24.2 94.9 155.5 82.5
表中.
(1)由散点图知，可用经验回归方程拟合y与x的关系，试根据提供的有关数据，预测月均销售额超过20万元的工龄最小值；
(2)该公司为激励销售部员工，规定每月的销售冠军奖励1万元，其他名次无奖励.甲为该公司销售部的员工，他在第一季度（每年的前3个月）的第一个月成为销售冠军的概率为，从第二个月开始，若上个月不是销售冠军，则这个月为销售冠军的概率为；若上个月为销售冠军，则这个月仍为销售冠军的概率为.求他在第一季度所得奖励金额X的分布列和数学期望.
附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，，，，.
13．（2025·湖南郴州·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.
(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计
(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据：，其中.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
14．（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
使用次数分组区间 初中生人 高中生人
4 3
38 29
48 28
17
6 3
假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．
(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；
(2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明）
15．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14
不是每天都整理数学错题人数 15 20
合计 40
(1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望.
《【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：计数原理与概率统计-2025年高考数学》参考答案
1．(1)
(2)① 答案见解析；②
【分析】（1）分别求得和时概率，结合互斥事件的概率加法，即可求解；
（2）（ⅰ）设，得到，设且此时中有个个，得到，求得，得到事件的含义，即可求得的概率分布，得到答案..
（ⅱ）对任意，得到，结合组合数的运算公式，进而求得的表达式，得到答案.
【详解】（1）解：当时概率为，
当时概率为，
所以的概率为．
（2）解：（ⅰ）设，
则对任意正整数，取1或1的概率均为，且，
设．显然，
再设此时中有个个，则，
因此只能取之间的偶数值，所以，
对于偶数，
事件相当于在个数中，有个取1，个取，
所以的概率分布可表示为.
（ⅱ）对任意，可得．
所以，
则
.
2．(1)平均数172，方差64.8；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用分层抽样的平均数、方差公式列式计算即可.
（2）（i）根据给定条件可得递推公式，再利用构造法求出通项公式；（ii）由结合分组求和及等比数列前n项和公式，求出，再求出球在乙、丙手中的次数的数学期望并比较大小.
【详解】（1）样本平均数；
样本方差为.
（2）（i）依题意，，则，
又，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，
所以.
（ii）由（i）知，
则当时，
，
记次传球后球在乙手中的概率为，前次传球中球在乙、丙手中的次数分别为随机变量，
则，，而，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，
，
同理，因此，
又，
所以.
3．(1)是数阵第4行，第3097个数．
(2)（i），，；（ii）.
【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置；
（2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到；
（ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项.
【详解】（1）设，因为，
，
所以，
所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，
所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项，
所以，，故，
所以，是数阵第4行，第3097个数．
（2）（i）当时，显然．
当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉．
故．
当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：
百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个．
故．
（ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类：
①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个；
②个位数字等于2时，前面位数有种取法，
但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉．
故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个．
综上，由加法原理知．
设，
所以，，即，
解得，
所以，是首项为，公比为的等比数列；
是首项为，公比为的等比数列；
所以，，
，
所以，当时，，
经检验，当时，也成立
当时，也成立．
综上，．
4．(1)列联表见解析，该食堂的好评率和更换厨师有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先结合题意求出列联表，再求出进行独立性检验即可.
（2）先依据抽样调查的性质判断可能的取值，再求出每个取值对应的概率，最后求出分布列和数学期望即可.
【详解】（1）由题可得列联表，
好评 非好评 合计
更换厨师前 400 1600
更换厨师后 3200 800 4000
合计 4400 5600
记零假设为：该食堂的好评率和更换厨师无关．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该食堂的好评率和更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不超过．
（2）由题可知，抽样调查的8位老人中，
好评的人数为人，非好评的人数为2人，则的可能取值为．
而；；；
从而X的分布列为：
x 1 2 3
P
则数学期望．
5．(1)；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）写出，再利用条件概率公式即可得到答案；
（2）①写出，再计算其分布列，最后利用期望公式即可得到答案；
②分析得，再利用期望公式计算即可.
【详解】（1）由题可知，移动到前一个平台的概率为，
移动到后一个平台的概率为．
记第次移动到后一个平台为，移动到前一个平台则为．
设“拥有3次投郑机会的玩家最终得分为0”为事件，
“抛掷结果中有且仅有两次点数小于3”为事件，
则；
.
（2）①则，
，
，
作的分布列如下：
0 1 3 5
.
②由题意知，．
而，
当时，，
.
因此，
.
6．(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；
（2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可；
（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可.
【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
则，
，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
7．(1)
(2)分布列见解析；（元）
(3)
【分析】（1）利用全概率公式计算即可；
（2）的可能取值为0，300，600，900，1200，
根据独立事件和互斥事件的概率公式依次求出概率，并列出其分布列；
（3）先根据频数分布表求出，再根据正态分布求出每位顾客中对AI手机“非常满意”的概率，即可利用二项分布求出，再利用求解即可.
【详解】（1）记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件，“抽取到的手机是B品牌手机”为事件，
“抽取到的手机是AI手机”为事件B，
则，，，，
则，
则从该手机店中随机抽取一部手机，抽取到的手机是AI手机的概率为.
（2）由题意可得，不获得奖金的概率为，
的可能取值为0，300，600，900，1200，
，，
，
，，
则的分布列为
0 300 600 900 1200
所以（元）.
（3）样本平均数，
随机选1名顾客，其对AI手机“非常满意”的概率
，
依题意，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时，取得最大值.
由，得，
化简得，
得，即，
因，得，
即当时，取得最大值.
8．(1)有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；
（2）按分层抽样得到A、B组的男女生人数，则A组中女生人数的可能值为1，2，3，从而求出取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.
【详解】（1）
所以有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关.
（2）按分层抽样，100名男生中，抽取“航天爱好者”有7人，“非航天爱好者”有3人，
100名女生中，抽取“航天爱好者”有2人，“非航天爱好者”有3人.
故A组有男生7人，女生2人，B组有男生3人，女生3人.
从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后，
A组中女生人数为，则的可能值为1，2，3.
，，.
X的分布列如下表：
1 2 3
.
9．(1)①；②；
(2)证明见解析.
【分析】（1）①利用独立事件的乘法公式计算即可；
②分析出的可能取值，再计算分布列和数学期望即可；
（2）先写出的可能取值，再计算分布列和均值，最后合理放缩即可.
【详解】（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球，
则.
答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为.
②由题意知的可能取值为，，
则，，，
，.
其概率分布如下：
2 4 6
所以，
设，
，
所以，
所以，
所以
（2）由题意知的可能取值为，，
则，，，
则其概率分布如下：
，
因为，
所以
，
又因为所以.
10．(1)分布列见解析；期望为
(2)至少雇佣2名技术员
(3)需雇佣2名技术员
【分析】（1）由题意可知，即可写出的分布列和数学期望；
（2）设在某一时刻同时出现故障的设备数为Y，则，根据题意分别计算和即可求解；
（3）设种植基地每月利润Z万元．分别计算出雇佣2名技术员和雇佣3名技术员时的每月平均利润，即可求解．
【详解】（1）由题意可知，则．
则的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为．
（2）设在某一时刻同时出现故障的设备数为Y，则．
设该种植基地雇佣n名技术员，则由题意可知，
又，
，
所以至少雇佣2名技术员．
（3）设种植基地每月利润Z万元．
①雇佣2名技术员，则Z的可能取值为8，13，18．
，
，
，
所以每月平均利润（万元）．
②雇佣3名技术员，则Z的可能取值为12，17，
，
，
所以每月平均利润（万元）．
因为，所以需雇佣2名技术员．
11．(1).
(2)方案.
【分析】（1）先根据频率比确定分层抽样在不同区间抽取的苹果个数，再利用组合数准确计算从抽取的苹果中选2个的所有情况数以及满足条件（质量均小于200克 ）的情况数，最后依据古典概型概率公式求解.
（2）一是利用频率分布直方图的性质准确计算各区间频率和苹果质量的平均数，进而得到总质量用于方案 A收益计算；二是分别算出不同质量标准下苹果的个数，用于方案 B 收益计算，最后通过比较收益大小做出合理选择.
【详解】（1）由题图可得苹果质量在区间和的比为，
所以应分别在质量为的苹果中抽取2个和3个，
所以所求概率为．
（2）由题中频率分布直方图可知，苹果质量在区间的频率为，
同理，苹果质量在区间的频率依次为，
若按方案收购：
总收益为：（元）．
若按方案收购：由题意知苹果质量低于225克的个数为，
苹果质量高于或等于225克的个数为，
所以总收益为（元）．
因为，所以方案的收益比方案的收益高，应该选择方案B．
12．(1)12
(2)分布列见解析，0.87
【分析】（1）设，则，计算出、的值，将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的经验回归方程，进而得到关于的经验回归方程，根据提供的数据即可得解；
（2）确定随机变量取值，计算出随机变量在不同取值下的概率，得出随机变量的分布列，进而运用期望公式可求解.
【详解】（1）设，则，则，
，
因为，，
所以经验回归方程为，
因为，，在区间内单调递增，
所以预测月均销售额超过20万元的工龄最小值为12.
（2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，
记甲在第一季度的第月成为销售冠军为事件，
则，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
，
所以甲在第一季度所得奖励金额的数学期望为0.87万元.
13．(1)表格见解析，有关
(2).
【分析】（1）分析数据，填入表格，计算出卡方，与7.879比较后得到结论；
（2）设出事件，利用全概率公式进行计算，得到答案.
【详解】（1）表格如下：
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.
根据表中的数据，可得
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关.
（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，
其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.
从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，
设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，
“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，
用连列表中的数据计算频率并替代概率后得
又已知，
由全概率公式可得，
所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.
14．(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）根据频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；
（2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；
（3）根据二项分布求得方差判断即可.
【详解】（1）根据题中数据，，得．
样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为．
因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为：．
（2）参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人．
所以的取值范围为．
所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望．
（3），理由如下：
根据分层抽样定义知，随机抽取200名学生种，初中生为120名，高中生为80名，
抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为，
抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为，
该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查服从二项分布，
即，
所以，，
因为，所以.
15．(1)列联表见解析，0.35；
(2)有；
(3)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）完善列联表，求出经验概率.
（2）求出的观测值，与临界值比对得解.
（3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人数 5 15 20
合计 19 21 40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为.
（2）由（1）得，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望.
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