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【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：空间向量与立体几何-2025年高考数学
1．（2025·宁夏石嘴山·三模）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面，圆周上的一点，，且点不与两点重合.

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2025·山东济宁·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2025·湖北·模拟预测）如图，在四棱锥中，为矩形，且，，.
(1)求证：平面；
(2)若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.
①求点到平面的距离；
②求平面与平面所成夹角的正弦值.
4．（2025·河北·模拟预测）如图，在体积为14的四棱台中，底面是菱形，，分别是四边形和四边形对角线的交点，且平面.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
5．（24-25高二下·江西景德镇·期中）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
6．（2025·重庆·三模）如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点．
(1)证明： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
7．（24-25高二下·福建·期中）如图，在四棱雉中，平面为棱的中点，为棱上的动点．
(1)证明：．
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，O为边的中点，点D，E分别在，上，将绕直线旋转α到的位置，点E对应点M，交于点F，点P在线段上，连接，，．已知，，．
(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
9．（2025·广东珠海·模拟预测）已知正三棱柱中，底面边长为8，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形．
(1)求四面体的体积；
(2)若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2025·山东菏泽·二模）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．
(1)求证：；
(2)若，求与平面所成角正弦值的最大值．
11．（2025·江苏南京·二模）如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，点在平面内的射影恰为的重心.
(1)证明：；
(2)求线段长；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
12．（2025·湖南郴州·三模）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
(1)求点的坐标.
(2)若平面，证明：平面平面.
(3)已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
13．（2025·辽宁·模拟预测）如图①，圆柱的底面直径和母线的长均为2，过，两点与底面所成角为的平面与圆柱的交线为曲线，若沿母线将其侧面剪开并展平，以母线的中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图②所示，曲线在平面直角坐标系中为函数图象的一部分.
(1)在图①中，为弧的中点，直线与该圆柱体的内切球（与上、下底面和侧面均相切的球）的球面交于，两点，求线段的长；
(2)求的解析式；
(3)已知，当时，，求的取值范围.
14．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，．
(1)求证：；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小．
条件①：平面；
条件②：．
15．（2025·河南·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在线段上，且．

(1)求证：平面；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值；
(3)设点G在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由．
《【高考真题汇编】热点压轴题专项训练：空间向量与立体几何-2025年高考数学》参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径，所以，
又因为底面，由，
所以底面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，平面，
所以，所以为二面角的平面角，
所以，又，所以为等边三角形，
以为原点，分别以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
由，所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

2．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定得平面，从而有，再利用面面垂直的判定即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，根据线面角定义得，再求出相关法向量即可得到，面面角余弦值.
【详解】（1）设为的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又，所以，
所以与必相交．
因为，所以，
又，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面`．
（2）设，分别为的中点，因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，
所以，以为坐标原点，$OA，OG，OP$所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系．
由（1）知平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，设，则，
所以．
因为平面，所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，
又，
所以，取，
所以平面与平面夹角的余弦值为
.
3．(1)证明见解析
(2)；
【分析】（1）由余弦定理得到，进而得到即可求证；
（2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解.
【详解】（1）在中，，，，
所以，解得：，
所以，所以，
又，为平面内两条相交直线，
所以平面；
（2）（2）由（1）知，平面，，
所以平面，又在平面内，所以平面平面，
在平面内，所以，
在三角形中，，，，
所以，又，
所以，
又，
又，
所以，又，
所以，
取的中点， ，可知：，
因为平面平面，交线为，
又在平面内，
所以平面，如图建立空间直角坐标系
易得：,
所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，得，即，
又，
所以求点到平面的距离，
②，
设平面的法向量，
则，所以，
令，则，可得：，
设平面与平面所成夹角为，
所以，
所以，
即平面与平面所成夹角的正弦值为.
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由棱台体积求得，结合勾股定理得到，再由题意得到，进而可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【详解】（1）由已知得.
设，上底面的面积，下底面的面积
，解得，
，
，即.
平面平面，
又平面平面，
平面，且平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则由（1）知，
.
设平面的法向量为，
则
令，则，
设平面的法向量为，
则
令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
5．(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
【分析】（1）（ⅰ）结合已知和勾股定理，根据线面垂直的判定定理可证线面垂直；
（ⅱ）根据三棱锥的特征确定球心，然后利用球的性质求出球的半径，代入球的体积公式求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合换元法和基本不等式可求其最大值.
【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以.
因为，，所以，所以.
又因为，平面，，
所以平面.
（ⅱ）因为平面，且为正三角形，作下图
设三棱锥的外接球的球心为，连结，延长交球面于H，
过作交平面于，
则为直角三角形，
所以为斜边的中点， 平面，为的外接圆的直径.
所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，
则，则，，
则球的半径，
所以三棱锥的外接球体积为.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，
则，，，.
所以,平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
设，
设，所以，
（当且仅当，即时取等号），即.
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
6．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据中位线性质得，再利用线面平行的判定与性质即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角计算公式即可得到答案.
【详解】（1）分别为的中点，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又.
（2）取中点，连接，
，
又，
在中，，
则两两垂直；
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向如图所示建立空间直角坐标系．
，
设平面的法向量，
，取，
设平面的法向量，
，取，
，记二面角的平面角为．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明，则，再利用线面垂直的性质证明，进而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为等边三角形，则，
所以，所以，所以，
因为平面，平面，
所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
由（1）知，，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设，
则，
设平面的法向量为，
则有，
所以，令，则，
所以，
则，
化简得，解得或，
经检验，当时，二面角为钝二面角，
所以，
所以.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由可得，由可得，则，再利用线面平行判定定理即可得证；
（2）可建立适当空间直角坐标系，再以为单位长度，则可表示出各点坐标，从而表示出与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式结合的范围计算即可得解.
【详解】（1）由，则、分别为、，
由，则，故，
又平面，平面，故平面；
（2）由，O为边的中点，则，
如图，在平面内作，则可建立如图所示空间直角坐标系，
设为单位长度，则有，，，，
由交于点，则，，
则，则，，
则，，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，即可取，
设与平面所成角为，
则
，
由，则，则，
则，故.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据线面垂直证得平面，计算，根据计算求解即可；
（2）根据二面角定义得，根据计算得后，建立空间直角坐标系，运用空间向量计算即可求解.
【详解】（1）令，连接，．
四边形为正方形，所以．
又在正三棱柱中，
平面，平面．
又平面，．
又为正三角形，且边长为，为的中点，
，，，
又，分别为，边的中点，
，，．
又，，平面，
平面．
．
所以四面体的体积的为．
（2）由（1）知平面，，，
为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，所以
四边形为正方形，
所以，又，
，．
又为的中位线，所以为中点，
所以，，．
以为原点，分别以，，为，，轴正方向如图建系．
则，，，，，
则，，，
令为平面的法向量，则，，，，
所以，取，则，，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
10．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用正方形的性质证明，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点；
（2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，然后借助函数的单调性求出最大值.
【详解】（1）
证明：取的中点G，连交AF于H.
在正方形中，由于F为的中点，
可得，则，
因为，所以，
得到，即
因为平面，
所以平面，又平面，故
由于平面平面，平面平面，
，故平面，又平面，则.
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
则，又点G是的中点，故.
（2）由于圆O的半径为，则正方形的边长为2，
又，则.
以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴，
所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系.
则，
易求上底面圆的半径为1，故.
故，，.
设平面的法向量为，由， 得
取，，故，
设与平面所成角为，则，，
令得，，
所以在上单调递增，
故.
所以与平面所成角正弦值的最大值为．
11．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过作于，根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，再说明，即可得到平面，从而得证；
（2）连接并延长交于，连接，以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据计算可得；
（3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）过作于，
∵平面平面，平面平面，又平面，
∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，∴，
又平面，，
∴平面，又平面，∴；
（2）连接并延长交于，连接，
以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，平面，
又平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
， ，，又，
，解得（负值已舍去），，
设，则，故，
，，
平面，平面，，
，，即；
（3）由（2）可知，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
12．(1)
(2)证明见解析
(3)①；②；③
【分析】（1）根据几何特征及边长计算即可；
（2）分别得出平面法向量根据证明；
（3）①根据几何特征及边长计算即可；②应用点到平面距离公式结合三角函数值域即可得出最值；③结合线面角公式及二次函数值域即可求值.
【详解】（1）连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以.
（2）连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量.
因为，所以.
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面.
（3）①当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
则，
同理可得当时，.
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为.
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为.
③易得平面的一个法向量为.
因为，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，分别为圆柱上、下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为，连接，，，，在三角形中计算即可；
（2）设为曲线上任意一点，由题意得，，得，
即，在截面圆中，即可求得；
（3）由，得，令，得，利用导数研究单调性即可求解.
【详解】（1）如图，设，分别为圆柱上、下底面的圆心，连接，，，由题意得的中点为，
因为为弧的中点，所以，
在中，，，
所以与圆柱的底面所成角的正切值为，
连接，，，，
由，得，
取的中点为，连接，则，
因为，，
所以，
由及，得G也是的中点，
所以.
（2）由题意在图①中与圆柱底面平行的截面圆对应图②中的轴，为的中点，
如图，
设与该截面圆的交线为，过与平行的直线与的交点为，
由，且，得，
由题知平面与截面圆所成角为，
所以为二面角的平面角，
所以，.
设为曲线上任意一点，过作截面圆的垂线，交该截面于点，过向引垂线，交于点，连接，，，
由题意得，，
由上可知，
所以，
在截面圆中，，
所以，所以.
（3）由（2）可知，
由，
得，
令，
设，则，
设，则.
当时，，，且等号不同时成立，则恒成立.
当时，，，则恒成立，
则在区间内单调递增，
又，，
所以存在，使得.
当时，，当时，，
又时，，
所以在区间内单调递减，在内单调递增，
又，所以当时，，当时，.
由，得，
又，，由，解得，
由，可得，
所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
则的最大值为，
又时，，时，，
所以的取值范围是.
当，即时，恒成立，
当，即时，存在，使得，与矛盾.
综上，的取值范围为.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再由平面平面证明平面，即得线线垂直；
（2）选条件①，先根据线面平行的性质定理，推出为的中点，建系后，求出相关点和向量的坐标，由空间向量的夹角公式计算即得；选条件②，由条件先证，再证为的中点，接着证平面，取的中点，连接，证明平面，求出，再证明是平面与平面夹角或补角，求解即得.
【详解】（1）因为在中，，
所以．即．
因平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又因平面，所以．
（2）
选条件①：平面．
如图，因为平面，平面，
平面平面，所以．
因为为平行四边形，为的中点，所以为的中点．
所以．因为，所以．
．由（1）已得平面，因平面，故，
又，即两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，则，
，因此．
设平面的法向量为，则即．
令，则．所以．而平面的一个法向量．
．所以平面与平面夹角为．
选条件②：．
如图，由（1）得，则，
又，由，可得，因，则为的中点，
则，即，可得，
因平面平面，平面平面，平面，故平面.
取的中点，连接，则，故平面，因平面，则，
又，，且，
又平面，故平面，
因平面，则，即是平面与平面夹角或补角，
在中，，则，故平面与平面的夹角为.
15．(1)证明见解析；
(2)；
(3)直线在平面内，理由见解析.
【分析】（1）根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值即可；
（3）根据（2）得到，应用空间向量数量积的坐标运算得到，即可得结论.
【详解】（1）因为平面，平面，则，又，
都在平面内，所以平面；
（2）在平面内过点作的垂线交于点，
平面，平面，则，
构建如下图示的空间直角坐标系，则，
因为为的中点，所以，故，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，取则，
平面的一个法向量为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值；

（3）直线在平面内，理由如下：
因为点在上，且，，
所以，，
由（2）知平面的一个法向量为，所以，
所以直线在平面内.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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