2025年中考数学专项突破练:解一元二次方程(含解析)

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2025年中考数学专项突破练:解一元二次方程(含解析)

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2025年中考数学专项突破练:解一元二次方程
1.解方程
(1)
(2)
2.解方程.
(1);
(2).
3.解方程:
(1);
(2).
4.解下列方程:
(1);
(2).
5.用恰当的方法解下列方程:
(1)
(2)
6.解方程:
(1)
(2)
7.解下列方程
(1);
(2).
8.解下列方程:
(1);
(2).
9.解方程:(用适当的方法解方程)
(1);
(2);
(3);
(4).
10.解方程.
(1).
(2).
11.解下列方程;
(1);
(2).
12.用公式法解方程:
(1);
(2).
13.解方程:
(1);
(2).
14.解方程:
(1)
(2).
15.解方程:
(1);
(2).
16.解一元二次方程.
(1);
(2).
17.解方程:
(1);
(2).
18.解下列方程:
(1);
(2).
19.解方程:
(1)(配方法)
(2)(公式法)
(3)
(4)
20.解方程
(1);
(2).
21.解方程:
(1);
(2).
22.解方程
(1)(公式法);
(2)(配方法);
(3);
(4).
23.解下列方程:
(1);
(2)
24.按要求解下列方程:
(1)(公式法)
(2)(因式分解法)
《2025年中考数学专项突破练:解一元二次方程》参考答案
1.(1),
(2),.
【分析】本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程,解题关键是牢记公式和找公因式.
(1)先将方程化为一般形式,再利用公式求解;
(2)先将右边提出3,得到,再移项后提出即可用因式分解法进行求解.
【详解】(1)解:,




∴,;
(2)解:,



或,
,.
2.(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,配方法,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
(1)利用解一元二次方程﹣配方法,进行计算即可解答;
(2)利用解一元二次方程﹣因式分解法,进行计算即可解答.
【详解】(1)解:,
移项得:,
配方得:,
即,
开平方得:,
∴;
(2)解:,
移项得:,
因式分解得:,
即,
∴或,
解得:.
3.(1),
(2),
【分析】(1)利用因式分解法求解即可.
(2)利用公式法求解即可.
本题考查了公式法,因式分解法求解方程的根,选择适当解方程的方法是解题的关键.
【详解】(1)解:整理得:,

∴或,
∴,.
(2)解:∵,,

∴该方程有两个不相等的实数根

∴,.
4.(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法,常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,熟练掌握各种方法是解答本题的关键.
(1)用因式分解法求解即可;
(2)用公式法求解即可.
【详解】(1)解:∵,
∴,
∴或,
∴;
(2)解:∵,
∴,

∴.
5.(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
(1)根据配方法解一元二次方程,即可求解;
(2)先化为一般形式,然后根据因式分解法解一元二次方程,即可求解;
【详解】(1)解:,
∴,
即,

解得:;
(2)解:,
即,


解得:.
6.(1)
(2)
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程.
(1)利用因式分解法即可求解;
(2)利用因式分解法即可求解.
【详解】(1)解:,

或,
解得:,;
(2)解:,


或,
解得:,.
7.(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法,是解题的关键:
(1)将常数项移到等式的右边,利用配方法进行求解即可;
(2)利用提公因式法因式分解,进行求解即可.
【详解】(1)解:

∴;
(2)

∴.
8.(1),
(2),
【分析】()利用公式法解答即可;
()把右式移到左边,再利用因式分解法解答即可;
本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
【详解】(1)解:,,,
∵,
∴,
∴,;
(2)解:∵,
∴,
∴,
∴或,
∴,.
9.(1),
(2),
(3),
(4),
【分析】本题考查解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法,正确的计算,是解题的关键:
(1)利用因式分解法解方程即可;
(2)利用配方法解方程即可;
(3)利用因式分解法解方程即可;
(4)利用因式分解法解方程即可.
【详解】(1)解:,即:,
∴或,
∴,;
(2)解:,

∴,
∴,
∴,;
(3)解:,即:
∴或,
∴,;
(4)解:,即,
∴或,
∴,.
10.(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程:
(1)方程用直接开平方法求解即可;
(2)方程用配方法求解即可.
【详解】(1)解:
解得:;
(2)解:

解得:.
11.(1)
(2),.
【分析】本题考查了一元二次方程的解法,理解因式分解法是解答关键.
利用因式分解法将方程变形为两个因式的积的形式,再根据这两个因式分别等于0求解.
【详解】(1)解:将变形为


解得,
(2)解:将变形为

或,
解得,.
12.(1)
(2)
【分析】(1)先算出,再代入公式进行计算,即可得到答案;
(2)先算出,再代入公式进行计算,即可得到答案;
本题考查了公式法解一元二次方程,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
【详解】(1)解:∵,


∴,
∴;
(2)解:∵,

∴,
∴;
13.(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本题的关键.
(1)利用配方法解方程即可;
(2)利用配方法解方程即可.
【详解】(1)解:,
整理得,
配方得,即;


(2)解:,
整理得,


14.(1),
(2),
【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程.
用十字相乘法分解因式可得,把一元二次方程转化为两个一元一次方程,解一元一次方程求出一元二次方程的两个根;
用提公因式法分解因式可得,把一元二次方程转化为两个一元一次方程,解一元一次方程求出一元二次方程的两个根.
【详解】(1)解:,
分解因式得:,
或,
解得:,;
(2)解:,
移项得:,
提公因式得:,
或,
解得:,.
15.(1),
(2),
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程,直接开平方法解一元二次方程等知识点,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
(1)将方程左边进行因式分解,然后解方程即可得出答案;
(2)将方程略作整理,然后用直接开平方法解方程即可得出答案.
【详解】(1)解:,

或,
,;
(2)解:,
整理,得:,
直接开平方,得:,
,.
16.(1),
(2),
【分析】本题考查了一元二次方程得解法,能够根据方程的特点选择合适的方法解方程是本题的关键.
(1)方程左边是完全平方的形式,右边亦可进行开方运算,故选择直接开平方法进行解方程即可.
(2)一次项系数为,若使用配方法则需配,分数运算并不简单;再观察各项系数,因式分解法亦不能使用;由于各项系数数值不大,便于计算,故选择公式法解方程即可.
【详解】(1)解:.
直接开平方,得:,
解得:,.
(2)解:.
,,.

方程有两个不相等的实数根.

即:,.
17.(1),
(2),
【分析】本题考查的是解一元二次方程.
(1)直接利用因式分解法解答即可;
(2)先把方程整理为一元二次方程的一般形式,再利用公式法解答即可.
【详解】(1)解:,

或,
解得,;
(2)解:,

,,,
∴,
方程有两个不相等的实数根,

,.
18.(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程:
(1)先移项,然后利用提公因式法分解因式,进而解方程即可;
(2)把方程左边利用十字相乘法分解因式,进而解方程即可.
【详解】(1)解:∵,
∴,
∴,
∴或,
解得.
(2)解:∵,
∴,
∴或,
解得.
19.(1),
(2),
(3),
(4),
【分析】本题考查解一元二次方程,
(1)将常数项移至方程右边,然后在方程加上,方程左边配成完全平方,然后利用直接开平方法求解即可;
(2)将方程化为一般形式,然后确定、、,求出的值,再代入即可;
(3)将方程化为,方程左边利用平方差分解因式,将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可;
(4)将原方程化为,方程左边分解因式,将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可;
解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法:直接开平方法,配方法,公式法以及因式分解法.
【详解】(1)解:,



∴,
解得:,;
(2),

此时、、,
∴,
∴,
∴,;
(3),

,即,
∴或,
∴,;
(4),






∴或,
∴,.
20.(1),
(2),
【分析】本题考查解一元二次方程,解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等,熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
(1)利用公式法解方程即可;
(2)先整理成一元二次方程的一般形式,再利用因式分解法解方程即可.
【详解】(1)解:∵
∴,,,
∴,
∴,
∴,.
(2)解:∵,
∴,即,
∴,
解得:,.
21.(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法,因式分解法,配方法和公式法是解题的关键.
(1)利用直接开平方法求解;
(2)利用因式分解法求解.
【详解】(1)解:,
或,

(2)解:,

或,

22.(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
【分析】()利用公式法求解即可;
()利用配方法求解即可;
()利用因式分解法求解即可;
()利用公式法求解即可;
本题考查了解一元二次方程,解题的关键是熟记常见的解法,直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法.
【详解】(1)解:,


∴方程有两个不相等的实数根,
∴,
∴,;
(2)解:

∴,;
(3)解:

∴,;
(4)解:由,

∴方程有两个不相等的实数根,
∴,
∴,.
23.(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程:
(1)先把常数项移到方程右边,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方,进而解方程即可;
(2)先移项,然后利用提公因式法分解因式,进而解方程即可.
【详解】(1)解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得;
(2)解:∵,
↑,
∴,
∴或,
解得.
24.(1),
(2),
【分析】本题考查了一元二次方程的解法,熟悉并掌握方程的解法步骤是解题的关键.
(1)利用公式法运算求解即可;
(2)利用因式分解法运算求解即可.
【详解】(1)
解:
∵,,

∴方程有两个不相等的实数根

∴,;
(2)
解:
∴,.
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