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2025年中考数学考前模拟练习卷（二）-江苏省南京市
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算所得结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=28 ，则∠P的度数是（ ）
A．50 B．58
C．56 D．55
5．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．分解因式 ．
9．一组数据4、5、6、7、8的方差为，另一组数据3、5、6、7、9的方差为，那么 （填“”、 “”或“” ）．
10．计算的结果是 ．
11．设x1、x2是方程x2－mx＋3＝0的两个根，且x1＝1，则m－x2＝ ．
12．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
13．如图，正五边形绕点顺时针旋转后得到正五边形，旋转角为（），若，则 .
14．已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．

15．如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ．
16．是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．先化简再求值：其中．
19．如图,在正方形中, 分别是各边上的点,且．
求证:（1）;
（2）四边形是正方形．
20．某单位随机安排甲、乙两人到A、B、C三个社区进行新冠疫苗接种．
（1）甲在A社区接种疫苗的概率是 ；
（2）求甲、乙两人在同一个社区接种疫苗的概率．
21．2020年11月1日,南京市正式施行《南京市生活垃圾管理条例》,垃圾分类正式实施,某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况,从七 八两个年级各随机抽取40名学生进行了相关知识测试,获得了他们的成绩（百分制）,并对数据（成绩）进行了整理 描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级40名学生成绩整理后按分数分组如下:,,,,,并绘制出频数分布直方图．
b．七年级学生成绩在这一组的具体得分如下:74,78,70,76,79,77,71,75,72,73,71,74,79．
c．七 八两个年级成绩的平均分 中位数 众数和方差如下．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七 73.8 88 127
八 73.8 75 84 99.4
根据以上信息,回答下列问题:
（1）表中______;
（2）在此次测试中,某学生的成绩是74分,在他所属年级排在前20名,由表中数据可知该学生是__年级的学生．（填“七”或“八”）
（3）根据以上信息,你认为七 八两个年级中,哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好,请说明理由．
22．某地区为了缓解交通拥堵问题，决定快速修建一条道路，如果平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）在之间 时，具有一次函数的关系，如下表所示．
50 80 100 120
40 34 30 26
（1）求关于的函数解析式；
（2）若每天的修建费用只能是32万元，那么几天可以完成修建任务？修建道路的总费用是多少？
23．如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．
(1)　　
(2)若，求的长．（参考数据：，结果精确到，可以直接利用（1）的结论）
24．如图，在矩形中，，，是上一点，，过点，与交于点．
（1）求弦的长．
（2）求证：是的切线．
25．已知：．求作：一点，使得点在内部，且到的距离是到的距离的2倍．（要求：尺规作图，写作法，保留作图痕迹）．
26．在平面直角坐标系中，二次函数图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．
(1)直接写出点A与点B的坐标；
(2)若函数的图象与线段恰有一个公共点，求m的取值范围．
27．【神奇的变换】（1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“”、“<”或“”）
【翻折一下】（2）若将图1中的沿直线翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【旋转一下】（3）若，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度后得到图4，求证：．
【平移一下】（4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接、，则有．
利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______．
《2025年中考数学考前模拟练习卷（二）-江苏省南京市》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B C B B
1．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【分析】根据积的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】∵一元二次方程x2-2x-1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=2．
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
4．C
【分析】利用切线长定理可得切线的性质的PA=PB，，则，，再利用互余计算出，然后在根据三角形内角和计算出的度数．
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA=PB，，
∴
在△ABP中
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，熟练掌握切线长定理以及切线性质是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选：．
6．B
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，函数为反比例函数，
当时，，
即函数图象经过点．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
7．
【分析】根据分式有意义的条件得到，即可解得x的取值范围．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟知分母不等于0是分式有意义的条件是解题的关键．
8．/
【分析】先计算完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．
9．<
【分析】本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断．
【详解】解：由题意得，第一组数据的平均数为，
∴，
∵第二组数据的平均数为，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的减法、二次根式的性质，解本题的关键在正确化简二次根式．，，．
11．1
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可知，，则问题可解．
【详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
12．120
【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），
设圆心角的度数是n度．
则=4π，
解得：n=120．
故答案为120．
13．54
【分析】DE与B′C′相交于O点，如图，利用正五边形的性质计算出∠B=∠BAE=∠E=108°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，接着根据四边形内角和计算出∠B′AE的度数，进而求得旋转角的度数．
【详解】DE与B′C′相交于O点,如图,
∵五边形ABCDE为正五边形，
，
∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0° α 90°)，
∴∠BAB′=α,∠B′=∠B=108°，
∵DE⊥B′C′，
∴∠B′OE=90°，
∴∠B′AE=360° ∠B′ ∠E ∠B′OE=360° 108° 108° 90°=54°，
∴∠BAB′=∠BAE ∠B′AE=108° 54°=54°，
即∠α=54°.
故答案为54°.
【点睛】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是计算正五边形的内角.
14．
【分析】根据一次函数的图像可得，再代入解不等式即可得．
【详解】解：由一次函数的图像得：，即，
代入得：，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．
15．/72度
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解．
【详解】解：如图，延长到H，
四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
16．/
【分析】
先证明，如图，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
如图，设交于点T．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．，数轴表示见解析
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．，
【分析】先通分计算括号内的分式，再根据分式的除法运算法则和平方差公式化简分式，再代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、平方差公式，熟记公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．
19．（1）见解析;（2）见解析
【分析】（1）在正方形中,由可得:,即可求证;
（2）由（1）可用同样的方法证得,,可得到,然后证明,即可求证．
【详解】（1）证明:∵四边形为正方形,
∴,．
又∵,
∴．
∴
（2）由（1）得,,
同理,,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定,三角全等的判断和性质,熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）甲在A社区接种疫苗的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两人在同一个社区接种疫苗的结果有3个，
∴甲、乙两人在同一个社区接种疫苗的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）73.5;（2）七;（3）从平均数上看,七 八年级的平均分相等,但从中位数上看,八年级的中位数大于七年级的中位数,说明75分以上八年级得分高的人数相对较多,并且由八年级方差小于七年级可以看出八年级成绩较稳定,综上所述,八年级的总体水平较好．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求解即可;
（2）根据某生的成绩和两个年级的中位数即可得出答案;
（3）从中位数和方差两个方面进行分析,即可得出八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好．
【详解】（1）将七年级学生成绩在这一组的具体得分重新排列为:
70,71,71,72,73,74,74,75,76,77,78,79,79,
∵一共由40名学生,
∴从频数分布直方图可得到位于第20和21位是73和74,
∴中位数,
故答案为:73.5;
（2）∵七年级的中位数是73.5分,八年级是75分,该学生的成绩是74分,在他所属年级排在前20名,
∴由表中数据可知该学生是七年级,
故答案为:七;
（3）从平均数上看,七 八年级的平均分相等,但从中位数上看,八年级的中位数大于七年级的中位数,说明75分以上八年级得分高的人数相对较多,并且由八年级方差小于七年级可以看出八年级成绩较稳定,综上所述,八年级的总体水平较好．
【点睛】本题考查了平均数 众数 中位数和方差的意义,平均数平均数表示一组数据的平均程度,中位数是将-组数据从小到大（或从大到小）重新排列后,最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）;众数的一组数据中出现次数最多的数;方差是用来衡量-组数据波动大小的量,解题的关键是理解并掌握平均数 众数 中位数和方差的意义,并会运用其来表示数据集中趋势和离散程度．
22．（1）；（2）90天可以完成修建任务，总费用是2880万元
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为，利用待定系数法把（50，40），（100，30）代入，解方程组即可；
（2）由每天的修建费用y=32万元，代入函数求出，可求修建道路的总费用．
【详解】解：（1）设y关于x的函数关系式为，把（50，40），（100，30）代入解析式
得，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为（）；
（2）∵每天的修建费用只能是y=32万元，
∴
解得，
∴修建道路的总费用：．
所以90天可以完成修建任务，总费用是2880万元．
【点睛】本题考查待定系数法求一出函数解析式，以及函数值求自变量，掌握待定系数法求一出函数解析式方法，以及函数值求自变量的方法是解题关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用正六边形的性质和正方形的性质分别求出，即可．
（2）连接交于点，连接交于．证明是等边三角形，然后解直角三角形可求出，，再求出、，利用等腰直角三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵是正六边形和正方形的对角线，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：连接交于点，连接交于．
在正六边形中，，，
、 分别平分、，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
在正方形 中，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆，涉及正方形和正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
24．（1）；（2）见解析
【分析】（1）过作，根据勾股定理得到，由，得到，根据相似三角形的性质得到，确定，再根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接，在中，根据勾股定理得到，由勾股定理的逆定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）解：过作，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，在上，
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确的作出辅助线是解题的关键．
25．见解析
【分析】由于PQ∥OC，则，作PE⊥OA于E，OF⊥OB于F，则可证明 ，所以
【详解】解：如图所示点即为所求
步骤：①在上截取；
②以为圆心，为半径画弧，交于点；
③连接，过点作交于点．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．
26．(1)
(2)或
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据平移的规律得到B的坐标；
（2）二次函数图象经过定点，分三种情况讨论即可求得m的取值．
【详解】（1）把代入得，，
∴，
∵将点A向右平移4个单位长度得到点B，
∴；
（2）直线解析式为，该二次函数图象经过定点，
①当时，抛物线解析式为，顶点恰是A点，与线段仅有一个交点A点；
②当时，如图1，对称轴为直线，恰与线段仅有一个交点A点；
③当，在范围内，y会先随x增大而减小，再随x增大而增大，
如图2，当时，对称轴为直线，此时抛物线恰好与线段有两个交点分别是A点和B点，
因此当 时，抛物线恰好与线段有一个交点，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
27．（1）＝；（2）成立，理由见解析；（3）见解析；（4）
【分析】（1）在中，，在中，，在中，，在中，，即可得结论；
（2）在中，，在中，，在中，，在中，，即可得结论；
（3）记原梯形为，依题意旋转后得四边形，连接，交于点，先证明，再通过条件证明出，得，又因为对顶角相等，即可得出，根据（1）中的结论可证；
（4）利用（1）的结论及平移的性质，等量代换来证明出，将沿着向上平移，使得与重合，连接，，由结论可求的值，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：（1），
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
；
（3）如图下图，记原梯形为，
依题意旋转后得四边形，，连接，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
由（1）得结论得：；
（4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接、，求证，
证明：由（1）中的结论有：，
根据平移的性质有：，
，
如图6，将沿着向上平移，使得与重合，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
由结论可得：，
，
，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，图形的变换，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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