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2025年中考数学考前模拟练习卷（一）-北京市
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，直三棱柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．2025年3月20日，中国首座自主设计建造的核电站——秦山核电站迎来了开工建设40周年．秦山核电站目前共有9台机组，累计安全发电超亿千瓦时，等效减排二氧化碳约8亿吨．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，A，B两点在数轴上表示的实数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
7．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．2.5 D．3
8．已知边长为a的正方形，过点B的直线分别交的延长线于点D，E，设，，，，正方形的面积分别为，，．给出下面三个结论：
①；②；③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
10．分解因式： ．
11．方程 的解为 ．
12．在平面直角坐标系中，函数的图象与正比例函数的图象没有交点，写出满足条件的一个值 ．
13．如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ．
14．如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ．
15．如图，正六边形，是边的中点，连接，则 ．
16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 8 31 11 6 17
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：
①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）；
（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：．
18．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：
①连接OP；
②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=_______=______°（________）(填推理的依据)．
∴OA⊥AP，_______⊥BP．
∵OA，OB为⊙O半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（_________）(填推理的依据)．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
21．已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x12+x22＝10，求k的值．
22．在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数（）的图象交于点．
(1)求m的值；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数（）的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段的中点时，求b的值；
②当时，直接写出b的取值范围．
24．某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
（米） 0 1 2 3 4 …
（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 …
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
25．如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整

(1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：
x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5
(2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：
①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
26．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）
(2)将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点，为图形G上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，，都有，求m的取值范围．
27．如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，满足，与交于点F．
(1)求的度数；
(2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接．
①依题意补全图形；
②若，求k的值．
28．在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”
(1)点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）；
(2)直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；
(3)的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围．
《2025年中考数学考前模拟练习卷（一）-北京市》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D A B A
1．C
【分析】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键．
主视图是指从正面看物体所得到的视图，据此求解即可．
【详解】解：图中直三棱柱的主视图为
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，即可解题．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，，，然后根据有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则．
【详解】解：观察数轴可知：，，，
，，，
A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确，
故选：D．
4．A
【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角板中的角度计算．根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A
5．D
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及摸出1个黑子和1个白子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
黑子 黑子 白子
黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子）
黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子）
白子 （白子，黑子） （白子，黑子）
共有6种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有4种，
摸出1个黑子和1个白子的概率为．
故选：D．
6．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出a的值.
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故选择：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.
7．B
【分析】本题考查了复杂作图：作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，由题意可得点是中点，求得即可解答，熟知是的垂直平分线是解题的关键．
【详解】解：由题意可得是的垂直平分线，
点是中点，
根据勾股定理可得，
，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，完全平方公式变形公式，先证明，可得，再用完全平方公式变形公式构建不等式判断剩下两个选项，熟练运用完全平方公式变形公式构建不等式是解题的关键．
【详解】解：四边形为正方形，
，
，即，
，
，即，
，故①正确；
，当且仅当时，取等号，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，即，
故③错误；
则正确结论为①②，
故选：A．
9．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义的条件分母不为0，即可解答．
【详解】若分式有意义，则，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查使分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键．
10．
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的含有公因式，必须先提公因式．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解，
故答案为：．
12．（答案不唯一，小于）
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的关系，根据反比例函数的图象是分布在第一、三象限的双曲线，只需正比例函数在第二、四象限，与双曲线无交点，即可得到的值，熟练掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象是分布在第一、三象限的双曲线，是过原点的一条直线，
∴当时，直线在第二、四象限，与双曲线无交点，值只要满足小于即可，
∴（答案不唯一），
故答案为：．（答案不唯一）
13．
【分析】设，证明是的中位线，得，再证明得，进而得，，由此可得的值．
【详解】解：设，
∵四边形为矩形，对角线、交于点O，
∴，，，，
∵，则，
∴，则是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三线合一，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
14．/135度
【分析】本题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得；然后由圆内接四边形的对角互补来求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵点A、B、C、D共圆，
∴，
∴．
故答案是：．
15．/
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，熟练掌握正多边形的性质是解答本题的关键．过点作交于点，连接，令正六边形的中心为，连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，设正六边形的边长为，根据直角三角形的性质得出，进而求出，再解直角三角形即可．
【详解】解：过点作交于点，连接，令正六边形的中心为，连接，
六边形是正六边形，
，
，是等边三角形，
设正六边形的边长为，则，
在中，，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
故答案为：．
16． ② 1040
【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键．
（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．
【详解】解：（1）①总停产时间：分钟，
②总停产时间：分钟，
③总停产时间：分钟，
∴经济损失最少的是②，
故答案为：②；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，
分钟，
（元）
故答案为：1040．
17．4
【分析】分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
18．，整数解为0，1
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．∠OBP；90；直径所对的圆周角是直角；OB；经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【分析】连接OA，OB．由OP为⊙M的直径，根据直径所对的圆周角是直角可得∠OAP＝∠OBP＝90°根据直角可得OA⊥AP， OB⊥BP．由OA，OB为⊙O的半径，根据切线定义经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出结论．
【详解】证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90 °（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）
∴OA⊥AP，OB⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
故答案为：∠OBP；90；直径所对的圆周角是直角；OB；经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查尺规作图的理论证明，掌握直径所对圆周角的性质，切线的判定是解题关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式即可证明；
（2）把方程的根代入原方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵对于一元二次方程，其根的判别式，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，得，
解得：．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出的值；（2）代入x=0得出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．
21．
【分析】由，消去y得到：kx2+2x﹣2＝0，根据x12+x22＝10，利用根与系数的关系构建方程求出k即可；
【详解】解：由，消去y得到：kx2+2x﹣2＝0，
由题意：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴，
解得k＝，
经检验k＝是分式方程的解．
∴k＝．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
22．（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）BC=2，BF=．
【详解】试题分析：（1）作AB的垂直平分线交AB于O，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠CAB，等量代换得到∠1=∠CBF，求出∠CBF+∠2=90°，然后，根据切线的判定即可得到结论；
（3）根据已知条件得到sin∠1=，求出BE=AB sin∠1=，根据勾股定理得到BC=2BE=2，由勾股定理得AE= =2，于是得到sin∠2=，cos∠2=，根据三角函数的定义得到AG=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
试题解析：（1）如图1，所示⊙O为所求作的圆；
（2）连结AE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵AB=AC，∴∠1=∠CAB，
∵∠BAF=2∠CBF，∴∠CBF=CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，
∵即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，
∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2，∴sin∠2=，cos∠2=，
在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2×=4，GB=BCcos∠2=2，∴AG=3，
∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴ ，∴BF==．
23．(1)
(2)①②
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题：
（1）待定系数法求出的值即可；
（2）①根据平行得到点纵坐标为2，直线与轴的交点，得到的纵坐标为0，中点，得到点纵坐标为1，代入反比例函数解析式，求出点坐标，再把点坐标代入一次函数解析式求解即可；②求出时的坐标，求出此时的值，即可得出结论．
【详解】（1）把代入函数，得：．
∴；
（2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E．
由题意，得：轴，
∴点纵坐标为2，
∵直线与x轴交于点D，
∴点纵坐标为0，
当点C是线段的中点时，则：点C的纵坐标为1，
由（1）知：反比例函数的解析式为，
把代入函数中，
得．
∴点C的坐标为，
把C代入函数中得：，
解得；
②∵，
∴点在点的上方，
当时，此时点为的中点，
同①法可得：点的纵坐标为，
当时：，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴，
∵，
∴．
24．(1)见解析
(2)7.0
(3)游船没有被喷泉淋到的危险
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）把代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为，
将代入得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（舍去），
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米；
（3）解：当时，，
∴游船没有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
25．(1)8.5，6.5
(2)见解析
(3)①、之间（含、两点）；②点处
【分析】（1）时，；时，，将相关线段的长代入即可得答案；
（2）根据表格数据画出函数图象即可；
（3）①由图形可知，若物流基地修建在、两点之外，则距离会大于，从而可得答案；
②结合①的结论及图③分析可得答案．
【详解】（1）、之间的距离为2千米，、之间的距离为1千米，、之间的距离为千米，沿公路到、两个城镇的距离之和为千米，
当时，位于中点处，
此时（千米）；
当时，位于D处，
（千米）
故答案为：8.5，6.5．
（2）函数的图象如下：
（3）①由图形可知，若物流基地修建在、两点之外，则距离会大于，
故若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，物流基地应该修建在、之间（含、两点）．
故答案为：、之间（含、两点）．
②由①可知，若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，物流基地应该修建在、之间（含、两点），
由图3可知，、段上离点、的距离相等，再往点以下距离之和一定变大；再往点以上，到、的距离之和会变大，
故答案为：点处．
【点睛】本题考查了函数图象在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键．
26．(1)直线
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可；
（2）①由题意可得出二次函数解析式是，对称轴为y轴，即可画出图形G，如图1，得出图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大，即可得出结论；②通过计算可知，，为抛物线上关于对称轴对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．
【详解】（1）解：∵该抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①．
理由：当时，二次函数解析式是，对称轴为y轴，
∴图形G大致图象如下，

∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而增大．
∵，
∴；
②对于，令，则，
令，则，
∴该抛物线上两点，为抛物线上关于对称轴对称的两点．
分类讨论：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），经翻折后，点P，Q位置不动，

∴，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），点P，Q经翻折之后的对应点为点M，N，

∴，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），经翻折后，点M在下方，点M，Q重合，在上方，

∴，符合题意，
此时有，即，
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
27．(1)
(2)①见解析；②k的值为2
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结果；
（2）①根据题意画出图形即可；②首先先作辅助线，得到，然后再作辅助线得到，证明出来，再作出辅助线得到，最后推出是等边三角形，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①依题意补全图形如图1所示；
，
②如图2中，由（1）知，
∴，
∴，
∴，
如图2中，延长到Q，使得，连接，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长到P，使得，则是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确找到全等三角形．
28．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据新定义结合直径所对的圆周角是直角得到当或者点O与点P或者点A重合时，点P是点O关于点A的“联络点”，据此利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解判断即可；
（2）先求出，则，解直角三角形得到，；根据定义得到，解直角三角形得到，则；设直线与y轴交于点G，先证明，再证明，得到，则，可得，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案；
（3）根据等腰得到或点M与点P重合，再由为等腰三角形，得到，；当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，证明，得到，设，则，进而得到，则点P在直线上；设直线与y轴交于点S，则，依题意可知，P在上，则直线与要有交点，如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，证明是等腰直角三角形，得到，由切线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得，则；同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，故当时，直线与有交点，即此时符合题意；再同理求出M在x轴下方时t的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：根据新定义可知，当点O在以为直径的圆上时，满足点P是点O关于点A的“联络点”，
∴或者点O与点P或者点A重合；
∵点A的坐标为，点，
∴，，
，
∴，
∴，
∴是O关于点A的“联络点”；
同理可得是O关于点A的“联络点”；
∵，，
，
∴，
∴，
∴不是O关于点A的“联络点”；
故答案为：，；
（2）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵点P是点C关于点D的“联络点”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，设直线与y轴交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵点P是M关于N的“联络点”，
∴或点M与点P重合，
∵为等腰三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图所示，当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴点P在直线上，
设直线与y轴交于点S，则，
依题意可知，P在上，
∴直线与要有交点，
如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由切线的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，
∴当时，直线与有交点，即此时符合题意；
如图所示，当点M在x轴下方时，同理可得当时，符合题意；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，直径所对的圆周角是直角，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确理解新定义，根据直径所对的圆周角是直角得到对应的角是直角是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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