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沪科版八年级数学下册《第19章四边形》同步练习题
一．选择题
1．下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，E、F分别为矩形ABCD边AB、AD上的两点，BE、DF相交于G点，且BE＝FD，∠FGB＝19°，则∠BGC＝（　　）
A．71° B．80.5° C．81° D．71.5°
3．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B． C．4.5 D．4.3
4．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，连接AE，EC，CF，FA，点E，F满足以下条件中的一个：①BF＝DE；②AE＝AF；③AE＝CF；④∠AEB＝∠CFD；⑤AE⊥BD，CF⊥BD．其中，能使四边形AECF为平行四边形的条件个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　）
A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或
7．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
9．如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，AD∥OC，OD平分∠AOC，P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；
乙：若α＝60°，一定PD＝PE；
丙：若α≠60°，一定PD≠PE；
丁：若α＝80°，可能PD＝PE．
下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙、丙正确，丁不正确 B．甲、乙、丁正确，丙不正确
C．甲、乙正确，丙、丁不正确 D．甲、乙、丁不正确，丙正确
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，F是CD的中点，作BE⊥AD于点E，连接EF、BF，则下列结论错误的是（　　）
A．∠CBF＝∠ABF B．FE＝FB
C．2S△EFB＝S四边形DEBC D．∠BFE＝3∠DEF
11．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（　　）
A． B．5 C． D．3
12．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）
A． B．3+3 C．6+ D．
13．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a
则上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
14．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA＝∠ABF＝90°，且点E、A、B三点在同一直线上，AB＝4，则△ABC的面积是 　 　．
15．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是　 　．
16．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝　 　度．
17．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　 　．
18．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠C＝30°，P是边BC上的动点，过点P作PE⊥CD于点E，点F与点C关于直线PE对称，连接AF、BF．若△ABF是以AB为底的等腰三角形，则CE的长为 　 　．
19．如图，已知：PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 　 　．
20．如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 　 　．
三．解答题
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
22．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．
23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（点E与点C、D不重合），过点E作FG⊥BE，FG与边AD相交于点F，与边BC的延长线相交于点G．
（1）线段DF，CE和CG有什么样的数量关系？并证明你所得到的结论．
（2）如果正方形的边长是2，FG＝3，求点A到直线BE的距离．
25．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：如图，过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，
∵S△CDF＝S矩形ABCD，
S△BCE＝S矩形ABCD，
∴S△CDF＝S△BCE，
∴DF CQ＝BE CH，
∵BE＝FD，
∴CQ＝CH，
∵CH⊥BE，CQ⊥DF，
∴点C在∠BGD的平分线上，
∴∠BGC＝∠DGC．
∵∠FGB＝19°，
∴∠BGC＝（180°﹣19°）＝80.5°．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴DE＝＝＝2，
∴GH＝．
故选：A．
4．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝2，
∵EC＝AE，
∴EC＝，
∴EP＝PC＝1，
∴正方形PCQE的面积＝EP2＝1．
故选：D．
5．解：①如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；故①正确；
②∵AE＝AF，不能判定△ABE≌△ADF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠AEB＝∠CFD
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故④正确；
⑤AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CBF中，
，
∴△AED≌△CBF（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；故⑤正确；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④⑤，共3个，
故选：B．
6．解：∵长方形ABCD，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点E为AD的中点，AD＝8cm，
∴AE＝4cm，
设点Q的运动速度为xcm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，
，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．
故选：B．
7．解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∵H不是DE的中点，
∴BE＝DE≠2EC，故①错误；
∵AB＝CD，BH＝CD，
∴AB＝BH，故③正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∵AB＝BH，
∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正确．
∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．
故选：C．
8．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
9．如图1，点E与点O重合.
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC＝α，
∵∠DPE＝α，
∴∠DPE＝∠A，即∠DPO＝∠A，
∵∠AOD＝∠POD，OD＝OD，
∴△ADO≌△PDO，
∴PO＝AO，PD＝AD，
∵∠ADO＝∠POD，∠AOD＝∠POD，
∴∠ADO＝∠AOD，
∴AO＝AD，
∴PO＝AO＝AD＝PD，
∴四边形POAD是菱形，即四边形PEAD是菱形，
故乙正确；
由甲的结论可知，当点E与点O重合时，四边形PEAD是菱形，
此时PD＝PE，这与α是否等于60°无关，
故丙错误；
由甲的结论可知，当点E与点O重合时，PD＝PE，这与锐角α的大小无关，
如图4，即使α＝80°，也可能存在PD＝PE的情况．
故丁正确．故选：B．
10．解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵AB＝2AD，
∴CD＝2AD，
∵F是CD的中点，
∴DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠CBF＝∠ABF，故A正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△FCG（AAS），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故B正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故C正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故D错误，
故选：D．
11．解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，
则AF⊥CF，得矩形ADHF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
OH＝OD﹣DH＝OD﹣AF＝2﹣＝，
∴HE＝OH+OE＝+＝2，
∴矩形AOBC的面积为：
S梯形BCHE+S梯形ADHC﹣S△BEO﹣S△ADO
＝（BE+CH）×EH+（AD+CH）×DH﹣×OE BE﹣AD OD
＝（3+4）×2+（1+4）×﹣×3﹣1×2
＝4+﹣﹣1
＝．
故选：A．
12．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
13．解：在△CDF和△BCE中
∴△CDF≌△BCE（SAS）
∴∠CEB＝∠CFD
∵∠DCF+∠CFD＝90°
∴∠DCF+∠CEB＝90°
∴∠EPC＝90°
∴①正确；
如图延长CF交BA延长线于点M，
在△CFD和△MFA中
∴△CFD≌△MFA（ASA）
∴CD＝MA＝AB＝a，
∵BP⊥CF
∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，
∴②正确；
∵CP⊥BE
∴CP×BE＝CE×BC＝
∵BE＝＝＝
∴CP＝＝＝
∴③正确
故选：D．
二．填空题
14．解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°，
∴∠EAC+∠FAB＝90°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠EAC＝∠AFB，
在△CAE和△AFB中，
，
∴△CAE≌△AFB，
∴EC＝AB＝4，
∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，
故答案为：8．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
故答案为：4．
16．解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，
故答案为：15．
17．解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6，AB＝8，
∴DE＝＝10，
故PB+PE的最小值是10．
故答案为：10．
18．解：如图，作线段AB的垂直平分线交CD延长线于点F，交AB于点M，
过点B作BH⊥CD于点H，
∴△ABF是以AB为底的等腰三角形，
∵MF⊥AB，BH⊥CD，
∴∠FMB＝∠BHF＝90°，
在菱形ABCD中，CD∥AB，
∴∠ABH＝∠BHC＝90°，
∴四边形FMBH是矩形，
∴BM＝FH，
∵MF垂直平分AB，
∴BM＝AB＝3，
∴FH＝BM＝3，
在菱形ABCD中，AB＝6，∠C＝30°，
∴BC＝AB＝6，
∴CH＝3，
∴CF＝CH+FH＝3+3，
∵点F与点C关于直线PE对称，
∴CE＝CE＝．
故答案为：．
19．解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，
∴由勾股定理得FB＝＝＝2，
∴PD＝2，
故答案为：2．
20．解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC＝AC＝2，
∴AC＝2AN，
∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE＝．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝．
综上所述，满足条件的EF的值为或．
故答案为：或．
三．解答题
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△BEA和△DFC中，
，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF，
∵AE＝EF，
∴AE＝EF＝CF，
∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC＝×S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S平行四边形ABCD，
∴图中所有面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形为△ADF，△DCE，△ABF，△BCE．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴∠AFD＝∠EBC．
23．（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由是：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵2∠2+2∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
24．解：（1）DF+CG＝CE，理由如下：
∵FH∥DC，AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形FHCD为矩形，
∴DF＝HC，
如图，过点F作FH∥DC交BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，AD∥BC，
∵FH∥DC，
∴∠FHG＝90°，FH＝CD，
∵∠BCD＝90°，FG⊥BE，
∴∠EBC+∠BEC＝90°，∠EBC+∠G＝90°，
∴∠G＝∠BEC，
在△BEC和△FGH中，
，
∴△BEC≌△FGH（AAS），
∴BE＝FG，HG＝CE，
∵HG＝HC+CG＝DF+CG，
∴DF+CG＝CE；
（2）如图，连接AE，过点A作AP⊥BE于P，
∵△BEC≌△FGH，
∴BE＝FG＝3，
∵正方形的边长为2，
∴△ABE的面积＝AB AD＝×2×2＝2，
则×BE×AP＝2，即×3×AP＝2，
解得，AP＝，即点A到直线BE的距离为．（此时点E在CD延长线上）．
25．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝﹣1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝FO＝﹣1，
∴DO＝DF＝2﹣．

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