资源简介

2025年黄石市黄石港区部分学校中考一模
数学试题
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进20吨粮食记为“+20”，则“-20”表示（ ）
A. 亏损20吨粮食 B. 吃掉20吨粮食 C. 卖掉20吨粮食 D. 运出20吨粮食
2. 下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为何？（　　）
A. B. C. D.
3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米
8. 如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若方程的两实数根为且，则．其中结论错误的选项是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上．
11. 正八边形的一个外角的大小是____________．
12.若分式的值为0，则x的值为______．
13. “学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______．
14. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为___________．
15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕原点О顺时针旋转，点A的对应点的横坐标是_____________．
三、解答题(共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 计算：．
17. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
已知：直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小华同学按下列步骤作图（如图）：①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁；②以点A为圆心，长为半径作弧，交直线l于点B和D；③分别以点为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点C；④作直线，直线即为所求．
（1）证明：直线l；
（2）若点A到直线l的距离为，求四边形的面积．
18. 位于十堰市郧阳区杨家山的革命烈士纪念碑是十堰市的标志性建筑，是为纪念鄂西北各县市的1609位在解放事业献身的革命烈士而兴建的，清明节前夕，某校开展了“清明祭英烈”活动，同时数学兴趣小组利用无人机测量纪念碑的高度，无人机在点A处测得纪念碑顶部点B的仰角为，纪念碑底部点C的俯角为，无人机与纪念碑的水平距离为，求纪念碑的高度．（结果保留整数．参考数据：，，）
19. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析．
【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，．
【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两所学校样本数据平均数、中位数、众数、方差如下表：
学校 平均数 中位数 众数 方差
甲校
乙校 b 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人；
（4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
20. 【实验操作】
在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 2 3 4 n 6 …
I/A … 5 m …
（1）填写： ， ；
【探究观察】
（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；
拓展应用】
结合函数图象，直接写出不等式的解集．
21. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果用表示）
22. 某公司以10元/件的价格收购一批产品进行加工销售，销售量y(单位：件)与销售价格(单位：元/件)关系为．设这批产品销售的总利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式(不写自变量的取值范围)；
（2）求销售利润为3000元时的销售量；
（3）由于市场需要，销售量不能低于360件，当销售价格为多少元时，这批产品获得的利润最大 最大利润是多少元
23. 问题引入：如图①，，E是线段的中点．连结并延长交于点F，连结．判断与之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结．
（1）判断与之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结，若，则的长为_________．
24.如图1，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，，其中点的坐标为，直线与直线相交于点.
图1 图2 备用图
（1）如图2，若抛物线经过原点.
①求该抛物线的函数表达式；
②求的值；
（2）抛物线的顶点在直线上运动的过程中，请问与能否相等？若能，请直接写出符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由.
参考答案及解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的应用．熟练掌握相反意义的量，正负数的应用是解题的关键．
根据运进吨粮食记为“”，可知“”表示运出吨粮食，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，运进吨粮食记为“”，
∴“”表示运出吨粮食，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形可得答案．
【详解】解：如图所示：
故选A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：在中，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可．
【详解】解：A中3a与5b不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；
B中3a3c与﹣2c3a不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；
C中3a﹣2a＝a，故不符合题意；
D中正确，故符合题意．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图的概念逐一判断即可得．
【详解】解：图中几何体的俯视图如图所示：
故答案为：B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键．
由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数．
【详解】解：由于平行，，
，
，
，
，
，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴他需要走20次才会回到原来的起点，
即一共走了（米）．
故选：C
8.【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形内接于，得到；根据得到，利用三角形内角和定理计算，再运用三角形内角和定理解答即可．
本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理，圆的内接四边形性质是解题的关键．
【详解】∵四边形内接于，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点B和点D，点A和点C关于原点对称是解题的关键．
【详解】解：∵原点O为对角线的中点，
∴点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标是：，
又∵轴，
∴点A的坐标是：，
∴点C的坐标为，
故选：B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
由题意知，图象开口向下，即，对称轴是直线， 则，，可判断①的正误；，由关于对称轴对称的点坐标为，可知当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由题意知，的根为与交点的横坐标，结合图象可得，可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，图象开口向下，即，对称轴是直线，
∴，
∴，①正确，故不符合要求；
∴，
关于对称轴对称的点坐标为，
∴当时，，②正确，故不符合要求；
当时，，③错误，故符合要求；
由题意知，的根为与交点的横坐标，
如图，
由图象可得，，④正确，故不符合要求；
故选：C．
11.【答案】##45度
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角，根据正n多边形的外角公式求解即可．
【详解】解：正八边形的一个外角的大小是，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【详解】解：由题意可知：且，
解得且．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
15.【答案】##
【解析】
【分析】记点A的对应点为点B，取中点为点C，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点B作x轴的垂线交y轴的垂线于点E，连接，可求得，通过矩形和即可求解．
【详解】解：记点A的对应点为点B，取中点为点C，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点B作x轴的垂线交y轴的垂线于点E，连接，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵点C为中点，，
∴，
由题意得，
∴为等边三角形，
∵点C为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的横坐标为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，包括二次根式的性质、零指数幂、绝对值，先根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值进行化简，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：．
17.【答案】（1）见详解 （2）96
【解析】
【分析】本题考查了作图 基本作图，也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到结论；
（2）设与相交于O点，运用勾股定理求出，根据菱形的性质得到，即可求出面积．
【小问1详解】
证明：由作法得，
∴四边形为菱形，
，即直线l．
【小问2详解】
解：如图，设与相交于O点，则，
四边形为菱形，
，
在中，，
，
四边形的面积．
18.【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，先解直角求出，再解，求出，根据即可求出纪念碑的高度
【详解】解：由题意可知
在中
，
在中
，
∴，
则纪念碑的高度为：．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等：
（1）根据抽取的乙校中E组人数及其对应的百分比可求a的值，根据中位数的概念求b的值；
（2）先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可；
（3）用乘以甲校样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案；
（4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可．
【小问1详解】
解：，
在乙校共抽取50名学生，其第名和第名学生成绩的平均数为中位数，
∵乙校的F组中有人，E组中有15人，
∴乙校的第名和第名学生成绩在E组中，
将E组成绩从小到大排列为
∴第名和第名学生成绩分别为和，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：甲校中C组人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人）
故答案为：；
【小问4详解】
解：平均数表示两个学校抽取的人成绩的平均成绩；
众数表示两个学校抽取的人中得分在某个分数的人数最多；
中位数表示两个学校抽取的人中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩；
方差表示两个学校抽取的人的成绩稳定性．
20.【答案】（1）3，5；（2）①见解析，；②函数值随的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等；（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用：
（1）由已知列出方程，即可解得m，n的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，
，解得，
故答案为：3， 5；
（2）①根据表格数据描点：，在平面直角坐标系中画出对应函数，的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，或函数有最大值，没有最小值等；
（3）如图：
由函数图象知，当时，函数的图象在函数在上方，
所以，的解集为
21.【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明，推出，即可证明结论成立；
（2）连接，在中，求得利用三角形函数的定义求得，，在中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径，利用即可求解．
小问1详解】
证明：连接OD，
∵，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，设半径为r
在中，
，
，
又，
，
，
，
是的直径．
，
，
∵，
∴，
又，
，
(负值已舍)，
，
．
22.【答案】（1）
（2）销售利润为3000元时的销售量为300件
（3）当销售价格为20元时，这批产品获得的利润最大，最大利润是3000元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是读懂题意，列出函数关系式，运算二次函数性质解决问题．
（1）根据总利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可；
（2）求出当时的x值即可；
（3）先配方，利用求二次函数的最值的方法求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，，
即w与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：当时，由得，
解得，
∴，
答：销售利润为3000元时的销售量为300件；
【小问3详解】
解：，
∵销售量不能低于360件，
∴且，
∴，又，
∴当时，w最大，最大值为3000，
答：当销售价格为20元时，这批产品获得的利润最大，最大利润是3000元．
23.【答案】（1）问题引入：BE=DE；理由见解析；问题延伸：PC=PG；理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）问题引入：根据题意证明，得出FE=DE，根据直角三角形的性质，即可得出结论；
问题延伸：根据正方形的性质，结合已知条件，证明，得出，根据直角三角形的性质，即可得出结论；
（2）根据正方形的性质和三角形全等的性质，得出CM=CG，利用等腰三角形的性质，得出，根据勾股定理即可求出CG，即可求出结果．
【小问1详解】
问题引入：；理由如下：
∵，
∴，，
为AC的中点，
∴AE=CE，
∴（AAS），
∴FE=DE，
∵∠ABD=90°，
∴为直角三角形，
∴；
问题延伸：
PC=PG；理由如下：
延长GP交CD于点M，如图所示：
∵四边形ABCD和BEFG为正方形，
∴，，，
又∵A、B、E在同一直线上，
∴，
，，
为DF的中点，
，
，
，
∵为直角三角形，
∴PC=PG．
【小问2详解】
连接CF，
∵四边形ABCD和BEFG为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
，
，
即，
，
，
∵，
，
，
．
故答案为：．
24.解：（1）①抛物线经过原点，，
对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，把代入，得，
解得：，
，
该抛物线的函数表达式为；
②设直线的解析式为，把代入，得：，
直线的解析式为，
直线与轴，轴分别交于点，，
，，
如图，过点作轴交于点，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，
，解得：，
，，
，，
，
的值为.
（2）点的横坐标为6或或或.
附答案如下：设点的横坐标为，
①如图2-1，当，存在，
图2-1
设，，则，
，
，，
，
过点作轴于点，则，
在中，，，.
②如图2-2中，当时，存在.
图2-2
过点作轴于点，
同法，，.
③如图2-3中，当时，存在，
图2-3
，，
，，，
同法，，.
④当时，同法，
，
图2-4
综上所述.点的横坐标为6或或或.

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