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【题型预测】01 数、式与方程
题型一 数的运算
1.（时事热点）在2025年春节档期，电影市场热度持续高涨，电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房，用科学记数法可表示为（　　）
A．1.581×109元 B．5.27×107元
C．5.27×108元 D．5.027×107元
【答案】C
【分析】科学记数法是把一个数用a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式表示，据此表示平均每天的票房数即可．
【详解】解：15.81亿元＝1581000000元＝1.581×109元，
1.581×109÷3＝0.527×109＝5.27×108（元），
故选：C．
2．（2025 拱墅区一模）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0；（2）．
【分析】（1）利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算后再算加减即可；
（2）利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，立方根的定义计算后再算乘除即可．
【详解】解：（1）原式＝2﹣3+1
＝﹣1+1
＝0；
（2）原式2
．
3．（创新考法）下框是某同学提交的作业．
填空： ①.②． ③.④的平方根是±4．
请依次判断结果是否正确，若不正确，请写出正确的结果．
【答案】①正确；
②不正确，3；
③不正确，；
④不正确，±2．
【分析】①根据立方根的定义计算判断即可；
②根据算术平方根的定义计算判断即可；
③根据绝对值的性质计算判断即可；
④先根据算术平方根的定义计算，再根据平方根的定义计算判断即可．
【解答】解：①正确；
②不正确，；
③不正确，；
④不正确，，4的平方根是±2．
题型二 整式的运算
1．（2025 光明区二模）因式分解：x2﹣4x＝　 　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
2.（2024 临安区一模）先化简再求值：（3+x）2+（3+x）（3﹣x），其中．
版权
【答案】18+6x，原式＝15．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（3+x）2+（3+x）（3﹣x）
＝9+6x+x2+9﹣x2
＝18+6x，
当时，原式＝18+6×（）＝18+（﹣3）＝15．
3．（2024 镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．
小明的解答如下：
解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答．
【考点】整式的混合运算．版权所有
【答案】不正确，正确解答见解析．
【分析】根据题目中的解答过程可知，小明的解答不正确；根据乘法公式将题目中的式子展开，再去括号合并同类项即可将正确的解答过程写出来．
【解答】解：由题目中的解答过程可知：小明的解答不正确，
正确解答：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2
＝m2﹣9﹣（m2+2m+1）
＝m2﹣9﹣m2﹣2m﹣1
＝﹣2m﹣10．
题型三 分式的运算
1．（2024 温州二模）计算：　 　 ．
所有
【答案】1．
【分析】根据分式的运算法则解答即可．
【解答】解：1．
2．（创新情境）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算!如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
（1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；
（2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红；
（2）正确的解答过程如下：
a+1
（a﹣1）
．
题型四 解方程或不等式
1．（2025 徐州一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x＝2；
（2）﹣8＜x≤2．
【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（2）解各不等式求得对应的解集，然后取它们的公共部分即可．
【详解】解：（1）原方程去分母得：x﹣2+x﹣3＝﹣1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
故原分式方程的解为x＝2；
（2）解第一个不等式得：x≤2，
解第二个不等式得：x＞﹣8，
故原不等式组的解集为﹣8＜x≤2．
2．（2025 钱塘区二模）解下列方程（组）：
（1）x2﹣2x﹣3＝0．
（2）．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1．
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
（2），
①+②得，4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入①得1﹣2y＝3，
解得y＝﹣1，
∴方程组的解为．
3.（跨学科融合）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为xCuFeS2+yO2xCu+4FeO+2FeO+2Fe2O3+2xSO2↑，其中x，y为常数，则x﹣y的值为 　 　 ．
【答案】﹣16
【分析】根据元素Fe和O的数量不变，列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解，最后代入即可．
【解答】解：根据题意列方程组得，，
解得，
∴x﹣y＝10﹣26＝﹣16，
所以x﹣y的值为﹣16，
故答案为：﹣16．
题型五 一元二次方程的根
1．（2024 江北区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0．
（1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程．
（2）若这个方程无实数根，求a的取值范围．
【答案】（1）a＝2，x1＝2，x2＝1；
（2）．
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可；
（2）根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于a的不等式，求出a的取值范围
【详解】解：（1）∵若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有实数根，
则Δ＝b2﹣4ac≥0，
（﹣3）2﹣4×1×a≥0，
9﹣4a≥0，
﹣4a≥﹣9，
，
∴当a＝2或1时，这个方程有实数根，
当x＝2时，原方程为：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0无实数根，
则Δ＝b2﹣4ac＜0，
（﹣3）2﹣4a＜0，
9﹣4a＜0，
﹣4a＜﹣9，
．
2．（文化背景、数形结合）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由见解析．
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，即可得出结论；
（2）设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x，由勾股定理得出方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC，AC＝b，
∴AB，
∴AD＝AB﹣BD；
（2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由如下：
设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x）2，
整理得：x2+ax＝b2，
∴线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根．
题型六 方程的实际应用
1．（文化背景）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有x辆车，则可列方程为 　 　 ．
【答案】（x﹣2）×3＝2x+9．
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（x﹣2）×3＝2x+9．
故答案为：（x﹣2）×3＝2x+9．
2.（时事热点）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝．
（1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝；
（2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？
【答案】（1）A种型机器人每小时完成22米焊缝，B型机器人每小时完成18米焊缝；
（2）该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人．
【分析】（1）设A种型机器人每小时完成x米焊缝，B型机器人每小时完成y米焊缝，根据1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该工厂同一时间内需要部署a台A型机器人，则需要部署（20﹣a）台B型机器人，根据要确保每小时完成410米的焊缝，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种型机器人每小时完成x米焊缝，B型机器人每小时完成y米焊缝，
由题意得：，
解得：，
答：A种型机器人每小时完成22米焊缝，B型机器人每小时完成18米焊缝；
（2）设该工厂同一时间内需要部署a台A型机器人，则需要部署（20﹣a）台B型机器人，
由题意得：22a+18（20﹣a）≥410，
解得：a≥12.5，
∵a为正整数，
∴a的最小值为13，
答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人．
3.（跨学科融合）“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为121﹣（1+2+1）＝117．
（1）请你直接写出最小的三位回文数，并求其回自差；
（2）任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由；
（3）任意四位回文数的回自差最大能被正整数 　 　 整除．
【答案】（1）101；99；
（2）任意三位回文数的回自差最大能被9整除，理由见解析；
（3）27．
【分析】（1）根据新定义可确定最小的三位回文数为101，再根据回自差的定义计算求解即可；
（2）可设一个三位回文数为，其中a、b都为不超过9的自然数，则可求出回自差为9（11a+b），据此可得结论；
（3）可设该四位回文数的千位数字为x，百位数字为y，则可求出回自差为27（37x+4y）9（11a+b），据此可得结论．
【解答】解：（1）由条件可知最小的三位回文数的回自差为101﹣（1+0+1）＝99；
（2）任意三位回文数的回自差最大能被9整除，理由如下：
设一个三位回文数为，其中a、b都为不超过9的自然数，则该三位回文数为100a+10b+a＝101a+10b，
∴该三位回文数的回自差为101a+10b﹣（a+b+a）＝9（11a+b），
由条件可知11a+b整数，
∴该三位回文数的回自差一定是9的倍数，
∴任意三位回文数的回自差最大能被9整除；
（3）设该四位回文数的千位数字为x，百位数字为y，则该四位回文数为1000x+100y+10y+x＝1001x+110y，
∴该四位回文数的回自差为1001x+110y﹣（x+y+y+x）＝999x+108y＝27（37x+4y），
由条件可知37x+4y是整数，
∴该四位回文数的回自差一定是27的倍数，
∴任意四位回文数的回自差最大能被27整除．
4．（2024 定海区三模、项目化数学）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
【答案】（1）5≤x≤12；
（2）路面设置的宽度符合要求；
（3）每平方米草莓平均利润下调40元．
【分析】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围；
（2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为（300﹣2x）米、宽为（200﹣2×2x）米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出（5000+100y）平方米草莓，利用总利润＝销售利润﹣承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论．
【详解】解：（1）根据题意得：5≤x≤12；
（2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800，
整理得：x2﹣200x+1900＝0，
解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去），
∵5≤10≤12，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出5000500＝（5000+100y）平方米草莓，
根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000，
整理得：y2﹣50y+400＝0，
解得：y1＝10，y2＝40，
又∵要让利于顾客，
∴y＝40．
答：每平方米草莓平均利润下调40元．
5.（跨学科融合、跨学科融合）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积x开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．”
（1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为　400　 ml；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为40℃的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）
【答案】（1）400；
（2）嘉琪同学接了9s的温水，2s的开水．
【分析】（1）利用王老师的水杯容量＝温水的流速×王老师接温水的时间+开水的流速×王老师接开水的时间，即可求出结论；
（2）设嘉琪同学接了x s的温水，y s的开水，根据“嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为40℃的水”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：20×14+15×8
＝280+120
＝400（ml），
∴王老师的水杯容量为400ml．
故答案为：400；
（2）设嘉琪同学接了x s的温水，y s的开水，
根据题意得：，
解得：．
答：嘉琪同学接了9s的温水，2s的开水．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型预测】01 数、式与方程
题型一 数的运算
1.（时事热点）在2025年春节档期，电影市场热度持续高涨，电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房，用科学记数法可表示为（　　）
A．1.581×109元 B．5.27×107元
C．5.27×108元 D．5.027×107元
2．（2025 拱墅区一模）计算：
（1）；
（2）．
3．（创新考法）下框是某同学提交的作业．
填空： ①.②． ③.④的平方根是±4．
请依次判断结果是否正确，若不正确，请写出正确的结果．
题型二 整式的运算
1．（2025 光明区二模）因式分解：x2﹣4x＝　 　 ．
2.（2024 临安区一模）先化简再求值：（3+x）2+（3+x）（3﹣x），其中．
3．（2024 镇海区校级三模）化简：（m+3）（m﹣3）﹣（m+1）2．
小明的解答如下：
解：原式＝m2﹣9﹣（m2+m+1）＝m2﹣9﹣m2﹣m﹣1＝﹣m﹣10．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答．
题型三 分式的运算
1．（2024 温州二模）计算：　 　 ．
2．（创新情境）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算!如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
（1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
（2）请你写出正确的解答过程．
题型四 解方程或不等式
1．（2025 徐州一模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
2．（2025 钱塘区二模）解下列方程（组）：
（1）x2﹣2x﹣3＝0．
（2）．
3.（跨学科融合）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为xCuFeS2+yO2xCu+4FeO+2FeO+2Fe2O3+2xSO2↑，其中x，y为常数，则x﹣y的值为 　 　 ．
题型五 一元二次方程的根
1．（2024 江北区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0．
（1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程．
（2）若这个方程无实数根，求a的取值范围．
2．（文化背景、数形结合）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
（1）用含a，b的代数式表示AD的长．
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由．
题型六 方程的实际应用
1．（文化背景）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有x辆车，则可列方程为 　 　 ．
2.（时事热点）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝．
（1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝；
（2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？
3.（跨学科融合）“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为121﹣（1+2+1）＝117．
（1）请你直接写出最小的三位回文数，并求其回自差；
（2）任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由；
（3）任意四位回文数的回自差最大能被正整数 　 　 整除．
4．（2024 定海区三模、项目化数学）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米.
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元.
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求.
任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
5.（跨学科融合、跨学科融合）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积x开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．”
（1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为　400　 ml；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为40℃的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）

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