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【题型预测】04 平行线、三角形与等腰三角形
题型一 平行线的性质
1．（2025 嘉兴模拟）在同一平面内，将直尺、直角三角尺（∠CAB＝30°）和木工角尺（DE⊥DF）按如图方式摆放，若AC∥DE，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2025 庆云县模拟）一副三角板按如图所示的方式摆放，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°．若AC∥DF，则∠1的度数为　 　 ．
3.（创新情境）如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
题型二 三角形中的求角问题
1．（2025 仪征市一模）如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，且∠B＝28°，∠ACE＝62°，则∠BAC的度数为（　　）
A．90° B．96° C．106° D．124°
2．（2025 萧县一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，DE垂直平分BC，CD平分∠ACB，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．36°
3.（创新情境）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为 　 　 ．
4.（2023 武山县一模）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求∠B和∠F的度数．
题型三 等腰三角形的性质与判定
1．（2025 大通县模拟）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ．
2.（分类讨论）在△ABC中，AB＝AC＝6，△ABC的面积为9，则∠ABC的度数为 　 　 度．
3.（创新情境）如图1，在边长为4的等边△ABC中，点D在BC边上，设BD的长度为自变量x，以下哪个量作为因变量y，使得x，y符合如图2所示的函数关系（　　）
A．△ABD的面积 B．△ABD的周长
C．△ACD的面积 D．△ACD的周长
题型四 作图探究下等腰三角形的问题
1．（创新情境）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
2.（2025 邗江区一模）如图，已知tan∠MON，Rt△ABC的两个顶点A、B分别在边OM、ON上运动（点C在AB的左侧），其中∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝∠MON，边AC交射线ON于点D，运动过程中：
（1）BC＝ 　　 ，BD的最小值为 　　 ；
（2）若△ABC被ON分成的两个三角形中有一个是以BD为底的等腰三角形，求OA的长；
（3）连接OC，请直接写出运动过程中OC的最大值．
3.（2025 高青县一模）如图，直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）相交于A（1，﹣1）和B（m，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C是线段AB上的动点，过点C作CD⊥x轴，交抛物线于点D．是否存在这样的C点，使线段CD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）x轴上是否存在点M，使得△ABM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 等腰三角形相关的网格中作图的问题
1．（2025 湖州一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB．
（2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在 ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）．
2.（项目化数学）网格作图问题：
【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3．
以下是小金、小帆和老师的对话：
小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q．
小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点…
老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？
小金：哦…我明白了！
（1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
（2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
3.（2025 南岗区校级一模）实践操作：如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在图中画出等腰△ABC，使得点C在格点上，AC＝BC，且∠ACB＜90°；
（2）在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边AB上的高CH，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）；
（3）直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型预测】04 平行线、三角形与等腰三角形
题型一 平行线的性质
1．（2025 嘉兴模拟）在同一平面内，将直尺、直角三角尺（∠CAB＝30°）和木工角尺（DE⊥DF）按如图方式摆放，若AC∥DE，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】先根据AC∥DE求出∠BDE的度数，再结合DE⊥DF即可解决问题．
【解答】解：∵AC∥DE，∠CAB＝30°，
∴∠BDE＝∠CAB＝30°．
又∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
故选：C．
2．（2025 庆云县模拟）一副三角板按如图所示的方式摆放，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°．若AC∥DF，则∠1的度数为　 　 ．
【答案】15°．
【分析】根据三角板得出∠C＝30°，∠F＝45°，根据AC∥DF，得出∠3＝∠F＝45°，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解．
【解答】解：如图；
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∠F＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵AC∥DF，
∴∠3＝∠F＝45°，
∴∠2＝∠3﹣∠C＝45°﹣30°＝15°，
∴∠1＝∠2＝15°，
故答案为：15°．
3.（创新情境）如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算∠DOQ的度数，再应用平行线的性质得到∠OQB的度数即可．
【解答】解：∵∠POA＝∠DOP′，
∠POA＝50°，
∴∠DOP′＝50°，
∵∠DOQ＝∠DOP'+∠P'OQ，
∠P′OQ＝25°，
∴∠DOQ＝50°+25°＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠OQB＝∠DOQ＝75°，
∴∠OQB的度数为75°．
故选：D．
题型二 三角形中的求角问题
1．（2025 仪征市一模）如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，且∠B＝28°，∠ACE＝62°，则∠BAC的度数为（　　）
A．90° B．96° C．106° D．124°
【答案】B
【分析】由角平分线定义得到∠ACD＝2∠ACE＝124°，由三角形的外角性质推出∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝96°．
【解答】解：∵CE是外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ACE＝2×62°＝124°，
∵∠B＝28°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝96°．
故选：B．
2．（2025 萧县一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，DE垂直平分BC，CD平分∠ACB，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．36°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCD，根据三角形内角和定理、角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∵DE垂直平分△ABC的边BC，
∴BD＝CD，
∴∠B＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCD＝2∠B，
∴∠A＝2∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B＝36°，
故选：D．
3.（创新情境）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的特殊量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为 　 　 ．
【答案】27°．
【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO＝90°，由对顶角的性质得到∠APC＝∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC＝∠COD＝27°．
【解答】解：如图，
∵MN∥AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO＝90°，
∵∠APC＝∠OPQ，∠ACO＝∠OQP＝90°，
∴∠BAC＝∠COD＝27°，
∴被测物体表面的倾斜角α为27°，
故答案为：27°．
4.（2023 武山县一模）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求∠B和∠F的度数．
【答案】∠B和∠F的度数分别是40°和10°．
【分析】先利用角平分线的性质和三角形的内角和定理求出∠B，再利用外角和内角的关系求出∠CDF，最后利用三角形的内角和定理求出∠F．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，
∴∠BAC＝2∠1＝80°．
∵∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
∴∠EDF＝∠B+∠1＝40°+40°＝80°．
∵EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°．
∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．
题型三 等腰三角形的性质与判定
1．（2025 大通县模拟）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ．
【答案】4．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD＝3，再由BD＝BC﹣CD即可得出结论．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，
∴AD＝CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
2.（分类讨论）在△ABC中，AB＝AC＝6，△ABC的面积为9，则∠ABC的度数为 　 　 度．
【答案】75或15．
【分析】分两种情况讨论如下：①当△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D，由三角函数的定义得CD＝6×sinA，由三角形的面积公式得6×6×sinA＝9，则sinA，由此得锐角∠A＝30°，进而可得∠ABC的度数；②当△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，由三角函数的定义得CD＝6×sin∠CAD，由三角形的面积公式得6×6×sin∠CAD＝9，则sin∠CAD，由此得锐角∠CAD＝30°，进而根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可得出∠ABC的度数，综上所述即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝6，△ABC的面积为9，
∴有以下两种情况：
①当△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D，如图1所示：
在Rt△ACD中，AB＝AC＝6，S△ABC＝9，
由三角函数的定义得：sinA，
∴CD＝AC sinA＝6×sinA，
由三角形的面积公式得：S△ABCAB CD＝9，
∴6×6×sinA＝9，
∴sinA，
∴锐角∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝1/2（180°﹣∠A）＝75°；
②当△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，如图2所示：
在Rt△ACD中，AC＝6，
由三角函数的定义得：sin∠CAD．
∴CD＝AC sin∠CAD＝6×sin∠CAD，
由三角形的面积公式得：S△ABCAB CD＝9，
∴6×6×sin∠CAD＝9，
∴sin∠CAD，
∴锐角∠CAD＝30°，
∴∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝30°，
∵AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠ACB，
∴2∠B＝30°，
∴∠B＝15°．
综上所述：∠ABC的度数为75°或15°．
故答案为：75或15．
3.（创新情境）如图1，在边长为4的等边△ABC中，点D在BC边上，设BD的长度为自变量x，以下哪个量作为因变量y，使得x，y符合如图2所示的函数关系（　　）
A．△ABD的面积 B．△ABD的周长
C．△ACD的面积 D．△ACD的周长
【答案】C
【分析】由y随x的增大而减小，即可判断．
【解答】解：由图2知，y随x的增大而减小．
△ABD的面积和周长都随x的增大而增大，
故A、B不符合题意；
△ACD的面积和周长都随x的增大而减小，但△ACD的周长不会等于0，
故C符合题意，D不符合题意．
故选：C．
题型四 作图探究下等腰三角形的问题
1．（创新情境）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
2.（2025 邗江区一模）如图，已知tan∠MON，Rt△ABC的两个顶点A、B分别在边OM、ON上运动（点C在AB的左侧），其中∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝∠MON，边AC交射线ON于点D，运动过程中：
（1）BC＝ 　　 ，BD的最小值为 　　 ；
（2）若△ABC被ON分成的两个三角形中有一个是以BD为底的等腰三角形，求OA的长；
（3）连接OC，请直接写出运动过程中OC的最大值．
【答案】（1）；；
（2）或；
（3）OC的值最大为：．
【分析】（1）根据∠BAC＝∠MON，得到tan∠BAC＝tan∠MON，求出BC的值，根据垂线段最短，得到当BD⊥AC时，BD的值最小，进行求解即可；
（2）分△ABD是以BD为底的等腰三角形和△BCD是以BD为底的等腰三角形，两种情况进行讨论求解即可；
（3）定弦定角得到点O，A，B在以G为圆心，∠BGA＝2∠BOA的圆上，过点G作GE⊥AB，连接GA，GB，OG，GC，垂径定理，结合三角函数求出EG，AG的长，进而得到OG的长，过点G作GF⊥BC，勾股定理求出CG的长，根据OC≤OG+CG，求出最大值即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝∠MON，
∴，即：，
∵AB＝6，
∴BC，
∴，
∵AC交ON于点D，
∴当BD⊥AC时，BD最小，
此时：，即：，
∴，
即：BD的最小值为，
故答案为：；；
（2）①当△ABD是以BD为底的等腰三角形，AB＝AD＝6，
∵∠BAC＝∠MON，∠OBA＝∠DBA，
∴△BAD∽△BOA，
∴，
∴，
∴OB＝OA，
作BH⊥OA，则：，
设BH＝3x，OH＝4x，由勾股定理得OA＝OB＝5x，
∴HA＝OA﹣OH＝x，
∵∠BHA＝90°，
∴AH2+BH2＝AB2，即：x2+3x2＝62，
解得：（负值舍去）；
∴；
②当△BCD是以BD为底的等腰三角形，则：，
由（1）知：，
∴AD＝AC﹣CD＝3，
作BK⊥AC，则同（1）法可得：，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠MON，∠OBA＝∠DBA，
∴△BAD∽△BOA，
∴，即：，
∴；
综上：或；
（3）∵AB为定值，也为定值，
∴点O，A，B在以G为圆心，∠BGA＝2∠BOA的圆上，
过点G作GE⊥AB，连接GA，GB，OG，GC，则：，∠AGE＝∠MON，
∴，
∴EG＝4，
∴，
∴OG＝AG＝BG＝5，
过点G作GF⊥BC，
∵GE⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形GEBF为矩形，
∴BF＝EG＝4，GF＝BE＝3，
∴，
∴，
∵OC≤OG+CG，
∴当O，G，C三点共线时，OC的值最大为：．
3.（2025 高青县一模）如图，直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）相交于A（1，﹣1）和B（m，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C是线段AB上的动点，过点C作CD⊥x轴，交抛物线于点D．是否存在这样的C点，使线段CD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）x轴上是否存在点M，使得△ABM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+2；（2）存在点C，使线段CD的长有最大值，最大值为；（3）x轴上存在点M，使得△ABM为等腰三角形，点M的坐标为（1，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）或（3，0）．
【分析】（1）首先由B（m，2）在直线y＝x﹣2上，求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）首先设动点C的坐标为（t，t﹣2），则D（t，t2﹣4t+2），可得CD＝﹣（t）2，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由等腰三角形性质可得AM＝AB或BM＝AB或AM＝BM，运用两点之间距离公式即可求得答案．
【解答】解：（1）把B（m，2）代入y＝x﹣2，得m﹣2＝2，
解得：m＝4，
∴B（4，2），
把A（1，﹣1）和B（4，2）代入y＝ax2+bx+2，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2；（2）设C（t，t﹣2），则D（t，t2﹣4t+2），如图1，
∴CD＝t﹣2﹣（t2﹣4t+2）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t）2，
∵﹣1＜0，1≤t≤4，
∴存在点C，使线段CD的长有最大值，最大值为；
（3）x轴上存在点M，使得△ABM为等腰三角形．理由如下：
设M（m，0），又A（1，﹣1），B（4，2），
则AB2＝（1﹣4）2+（﹣1﹣2）2＝18，
AM2＝（1﹣m）2+（﹣1﹣0）2＝m2﹣2m+2，
BM2＝（m﹣4）2+（0﹣2）2＝m2﹣8m+20，
∵△ABM为等腰三角形，
∴AM＝AB或BM＝AB或AM＝BM，
当AM＝AB时，即AM2＝AB2，
∴m2﹣2m+2＝18，
解得：m1＝1，m2＝1，
∴M1（1，0），M2（1，0）；
当BM＝AB时，即BM2＝AB2，
∴m2﹣8m+20＝18，
解得：m3＝4，m4＝4，
∴M3（4，0），M4（4，0）；
当AM＝BM时，即AM2＝BM2，
∴m2﹣2m+2＝m2﹣8m+20，
解得：m5＝3，
∴M5（3，0）；
综上所述，x轴上存在点M，使得△ABM为等腰三角形，点M的坐标为（1，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）或（3，0）．
题型五 等腰三角形相关的网格中作图的问题
1．（2025 湖州一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB．
（2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在 ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）利用网格直接画图即可．
（2）利用网格直接画图即可．
（3）结合平行四边形的判定，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，则点F即为所求．
【解答】解：（1）如图1，点C即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，点D即为所求．
（3）如图3，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，
则点F即为所求．
2.（项目化数学）网格作图问题：
【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3．
以下是小金、小帆和老师的对话：
小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q．
小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点…
老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？
小金：哦…我明白了！
（1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
（2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【分析】（1）如图3中，根据平行，构造相似比是3：2的两个三角形，取格点M，N连接MN交AB于点Q，点Q即为所求；
（2）取格点G，连接AG，取AG的中点T，连接BT，取格点E，使得CE⊥BT，CE交AB于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图3中，点Q即为所求；
（2）如图4中，点Q即为所求．
3.（2025 南岗区校级一模）实践操作：如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在图中画出等腰△ABC，使得点C在格点上，AC＝BC，且∠ACB＜90°；
（2）在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边AB上的高CH，并保留作图痕迹（作图痕迹用虚线）；
（3）直接写出的值．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）．
【分析】（1）使AC＝BC＝5即可．
（2）结合等腰三角形的性质，取AB的中点H，连接CH即可．
（3）由勾股定理得AB，由三角形的面积公式可得，可得CH，进而可得答案．
【解答】解：（1）如图，等腰△ABC即为所求．
（2）如图，取AB的中点H，连接CH，
则CH即为所求．
（2）由勾股定理得，AB，
∵，
∴CH，
∴．

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