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【题型预测】05 直角三角形、勾股定理与解直角三角形
题型一 直角三角形的性质与判定
1．（2025 景德镇模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　）
A．28° B．31° C．34° D．38°
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝62°，进而可得出结论．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴BD＝AD＝CDAB，
∴∠A＝∠DCA＝62°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣62°＝28°．
故选：A．
2.（2025 上杭县模拟）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝8，则PD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过P作PH⊥OA于H，由平行线的性质推出∠PCH＝∠AOB＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到PHPC8＝4，由角平分线的性质推出PD＝PH＝4．
【解答】解：过P作PH⊥OA于H，
∵PC∥OB，
∴∠PCH＝∠AOB＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PHPC8＝4，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PH⊥OA，
∴PD＝PH＝4．
故选：B．
题型二 勾股定理的运用
1．（2025 萧山区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝5，AB＝12，BC＝13，过点B作BE⊥CD于点E，则DE的长为（　　）
A．5 B． C．7 D．
【答案】D
【分析】连接BD，过点D作DF⊥BC于点F，根据AD∥BC，∠A＝90°可知AB⊥BC，故BF＝AD＝5，DF＝AB＝12，再由BC＝13可得出CF的长，利用勾股定理即可得出CD的长，再求出BD长，利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接BD，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∠A＝90°，AD＝5，AB＝12，BC＝13，
∴AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝5，DF＝AB＝12，
∴CF＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，
∴CD4，
在Rt△ABD中，BD13，
∴BD＝BC，
∵BE⊥CD于点E，
∴DECD＝2．
故选：D．
2.（创新考法）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若△ABC是“亚直角三角形”，且∠A＝110°，则△ABC中最小锐角的度数为　 　 °．
【答案】20．
【分析】根据“亚直角三角形”的定义及三角形内角和定理，可列出关于α，β的二元一次方程组，解之取其中的较小值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴△ABC中最小锐角的度数为20°．
故答案为：20．
3.（创新考法）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数a（a≠1），b，当a为偶数，，则a，b，b+2为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的a为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为　 　 （写出一个符合题意的数即可）．
【答案】15（答案不唯一）．
【分析】分a＝8、b＝8、b+2＝8三种情况，根据勾股数的概念判断即可．
【解答】解：当a＝8时，b+b+2，
解得：b＝15，8，15，17是勾股数，
当b＝8时，8+8+2，
则a＝6，6，8，10是勾股数，
当b+2＝8时，b＝6，则6+6+2，
∴a2＝28，
此时，a不是正整数，
综上所述：b对应的数为15或8，
故答案为：15（答案不唯一）．
4.（创新情境）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A，B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P．AB＝6，AC＝8，BC＝10．则CP的长度是 　 　 ．
【答案】．
【分析】根据题意得出P为Rt△ABC的重心，连接CP并延长交AB于点F，勾股定理求得CF，进而根据重心的性质，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接CP并延长交AB于点F，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
依题意，P为Rt△ABC的重心，
∴，
在Rt△ACF中，，
∴CP，
故答案为：．
题型三 锐角三角函数的计算问题
1．（2025 秦都区一模）如图，AD、AE分别是△ABC的高线、中线，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝2，则DE长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】在Rt△ACD中，根据含30°角的直角三角形的性质可得CDAC＝1，AD，在Rt△ABD中，求出AD、BD，即可解决问题．
【解答】解：∵AD、AE分别是△ABC的高线、中线，∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°，BD＝AD，
在Rt△ACD中，
CDAC＝1，AD，
∴BD＝AD，
∴BC＝BD+CD1，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE＝BE，
∴DE＝CE﹣CD1，
故选：B．
2.（2025 滨湖区一模）如图，△ABC中，∠B＝2∠A，，则tanB的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】作CD⊥AB于D，延长AB至点E，使得BE＝BC，连接CE，利用等腰三角形的性质得到结合∠ABC＝2∠A推出∠A＝∠E，则有，得到DE＝2CD，设CD＝a，BD＝b，在Rt△BCD利用勾股定理建立方程，求出a，b之间的关系，再利用正切的定义即可求解．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，延长AB至点E，使得BE＝BC，连接CE，
∵BE＝BC，，
∵∠ABC＝2∠A，
∴，
∴∠A＝∠E，
∴
∵CD⊥AB，
∴∠CDE＝90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴DE＝2CD，
设CD＝a，BD＝b，则DE＝2a，
∴BC＝BE＝DE﹣BD＝2a﹣b，
在Rt△BCD中，CD2+BD2＝BC2，
∴a2+b2＝（2a﹣b）2，
解得：，
∴，
故选：D．
3.（2024 金华三模）如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是 　 　 ．
【答案】．
【分析】过点O作OF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，BDBC＝6，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD＝8，再利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠DBE，然后利用AAS证明△BOF≌△BOD，从而利用全等三角形的性质OD＝OF，BF＝BD＝6，进而求出AF＝4，最后设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，从而在Rt△AOF中，利用勾股定理求出x的值，进而在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BDBC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，
∴AD8，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠ODB＝∠OFB＝90°，OB＝OB，
∴△BOF≌△BOD（AAS），
∴OD＝OF，BF＝BD＝6，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
设OD＝OF＝x，则AO＝AD﹣OD＝8﹣x，
在Rt△AOF中，AF2+OF2＝AO2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴在Rt△ABD中，tan∠OBD，
故答案为：．
4.（2024 金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE．
（1）求证：∠AEC＝2∠B．
（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【分析】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论；
（2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°，
由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°，
在Rt△ACE中，∠AEC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE＝6，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝6．
5.（2025 洞头区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝∠BAE，AE＝5，CD＝3，tanC＝1．
（1）求BD的长．
（2）求sinB的值．
【答案】（1）9；
（2）．
【分析】（1）先利用等角对等边可得：AE＝BE＝5，再根据垂直定义可得：∠ADE＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，tanC＝1，CD＝3，
∴AD＝CD tanC＝3×1＝3，
∴DE4，
∴BD＝BE+DE＝5+4＝9；
（2）在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝9，
∴AB3，
∴sinB．
6.（创新考法）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：
①作BC边的中线AD；
②在边AB上找一点E，使得∠DEC＝∠DAC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，AB＝5，则线段CE的长为 　　 ．（如需画草图，请使用备用图）
【答案】（1）①图见解答；
②图见解答；
（2）CE．
【分析】（1）①先作BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD即可；
②先作DE⊥AB，根据圆内接四边形即可得结论；
（2）如图3，过点C作CF⊥AB于点F，根据等角的三角函数可设CD＝2x，AC＝3x，则BD＝CD＝2x，可得AC＝3，BC＝4，BD＝2，再由三角函数可得CF，AF，BE，最后由勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）①如图1，线段AD即为所求；
②如图2，以D为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，N，再分别以M，N为圆心，以大于MN为半径画弧交于点G，过点D，G，作线段DE，此时∠DEC＝∠DAC；
理由：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠AED＝180°，
∴A，C，D，E四点共圆，
∴∠DEC＝∠DAC；
（2）如图3，过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠DEC＝∠DAC，
∴tan∠DEC＝tan∠DAC，
∵tan∠DAC，
∴设CD＝2x，AC＝3x，
∴BD＝CD＝2x，
∴BC＝4x，
∵∠ACB＝90°，AB＝5，
∴AC＝3，BC＝4，BD＝2，
∵sin∠CAF，cos∠CAF，
∴CF，AF，
∵cosB，
∴BE，
∴EF＝AB﹣BE﹣AF＝5，
由勾股定理得：CE．
7.（项目化数学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线BD的对称点E．
（1）小明给出了下面框图中的作法：
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
（2）当点E在边AB上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接DE，并求出DE的长；
（3）连接AE，CE，当△ACE为直角三角形时，求∠BCE的正切值．
【答案】（1）符合题目要求．理由见解析；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）连接BE，CE，DE．由线段垂直平分线的性质可得出结论；
（2）作∠CBA的角平分线BD，交AC于点D；以点B为圆心，以BC为半径作弧，交AB于点E；证出，得出．则可得出结论；
（3）分三种情况，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）符合题目要求．
理由：如图1，连接BE，CE，DE．
由作法可知 DC＝DE，BC＝BE．
∴点B，D均在CE的垂直平分线上，
∴BD垂直平分CE．
∴点C和点E关于直线BD对称；
（2）解：如图2，作∠CBA的角平分线BD，交AC于点D；以点B为圆心，以BC为半径作弧，交AB于点E；
∴点D，点E即为所求作的点．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10．点C和点E关于直线BD对称．
∴BD垂直平分CE，
∴BC＝BE＝8，DC＝DE，
∴∠DCB＝∠DEB＝90°．
∴，
即．
∴．
（3）解：①若∠CAE＝90°，
如图3，作EH⊥BC于点H，得矩形AEHC．
∴EH＝AC＝6．
又∵BC＝BE＝8，
∴，
∴．
∴．
②若∠CEA＝90°．
如图4，作BH⊥CE于点H，
又BC＝BE＝8，
∴CH＝EH．
∵∠ACB＝∠BHC＝90°，
∴∠ACE＝∠CBH，∠CAE＝∠BCH．
∴△CAE∽△BCH．
∴．
又∵CH＝EH，
∴tan∠CAE．
∴tan∠BCE＝tan∠CAE．
③若∠ACE＝90°，不符合题意，舍去．
综上，∠BCE的正切值为或．
题型四 解直角三角形的实际应用
1．（2025 湛江一模）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为60cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到120°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.73）
【答案】21.9．
【分析】过点E作EF⊥BA，交BA 的延长线于E，过点E′作E′G⊥BA，交BA 的延长线于G，根据正弦的定义分别求出EF、E′G，计算即可．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥BA，交BA 的延长线于E，过点E′作E′G⊥BA，交BA 的延长线于G，
在Rt△EAF中，AE＝60cm，∠EAF＝180°﹣150°＝30°，
则EF＝AE sin∠EAF＝6030（m），
在Rt△E′AG中，AE′＝60cm，∠E′AG＝180°﹣120°＝60°，
则E′G＝AE′ sin∠E′AG＝6030（m），
E′G﹣EF＝3030≈21.9（cm），
∴背上人的头部支撑点E向上抬高了约21.9cm，
故答案为：21.9．
2.（时事热点）如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，AB＝5m，BC＝2m，工作时，机械壁伸展开到∠ABC＝143°．则A、C两点之间的距离为 　 　 ．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）
【答案】见试题解答内容
【分析】先作辅助线，在Rt△ABD中，求出AD，BD，然后根据勾股定理求出答案即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，连接AC，
∵∠ABC＝143°，
∴∠ABD＝37°，
在Rt△ABD中，AB＝5，sin37°，cos37°，
解得：AD＝5×0.60＝3 （m），BD＝5×0.80＝4（m），
∴CD＝BC+BD＝6（m），
在Rt△ABD中，AC36.7（m），
故答案为：6.7m．
3.（2024 文成县二模）图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条AB＝AC＝28cm，支点D，F分别固定在支撑条上（AF＞CF），活动条DE绕点D转动，DE＝4cm，活动条EF长度不变．闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC，则EF的长为 　 　 cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为 　 　 cm．
【答案】12，7，
【分析】由题意得：BD＝DE＝4cm，AE＝AB﹣BD﹣DE＝20cm，FC＝EF，设EF＝FC＝x，则AF＝BC﹣x＝28﹣x，根据勾股定理得x＝12或x＝16，当D，E，F三点共线时，∠A度数达到最大，此时FD＝EF+DE＝16cm，过F作FH⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质可得FH，最后根据正弦的定义列方程即可求解．
【解答】解：由题意得：BD＝DE＝4cm，AE＝AB﹣BD﹣DE＝20cm，FC＝EF，
设EF＝FC＝x，则AF＝BC﹣x＝28﹣x，
∵EF⊥AC，
∴AE2＝AF2+EF2，
即202＝（28﹣x）2+x2，
解得x＝12或x＝16，
∵AF＞CF，
∴x＝12，即EF＝12，
如图，当D，E，F三点共线时，∠A度数达到最大，
此时FD＝EF+DE＝16cm，
AF＝AC﹣FC＝16cm，AD＝AB﹣BD＝24，
∴AF＝DF，
如图，过F作FH⊥AB，
∴AH12cm，
∴FH4，
如图，过C作CG⊥AB，
∴sinA，
∴，
解得GC＝7，
故答案为：12，7，
4.（2025 南沙区一模）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架AB长8cm，DB长2cm，支撑板CD长6cm，AB可绕点D转动，CD可绕点C转动．
（1）若水平视线MF与AB的夹角∠MFD＝50°，∠C＝35°，求∠CDB的度数；
（2）当∠C＝30°，∠CDB＝80°时，求点A到底座CE的距离．（结果精确到0.1，参考：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】（1）∠CDB＝95°；
（2）点A到底座CE的距离为8.6cm．
【分析】（1）根据题意，结合图形，由FM∥CE，得到∠1＝∠C＝35°，从而得到∠CDB的度数；
（2）根据题意，作AJ⊥CE，DK⊥CE，在Rt△CDK中求出DK，在Rt△DHK中得到DH的长，利用相似三角形，得到AJ的长．
【解答】解：（1）如图2，延长CD交FM于点G，
∵FM∥CE，∠C＝35°，
∴∠1＝∠C＝35°，
∵∠MFD＝50°，即∠2＝50°，
∴在△DFG中，∠3＝180﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（35°+50°）＝95°，
∴∠CDB＝∠3＝95°；
（2）如图3，延长AB交CE于点H，过点A作AJ⊥CE，过点D作DK⊥CE，
∴AJ∥DK，
∵在Rt△CDK中，DK＝CD sin∠C＝63（cm），
∠CDK＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠KDH＝∠CDH﹣∠CDK＝80°﹣60°＝20°，
在Rt△DHK中，DH（cm），
∵AJ∥DK，
∴△AJH∽△DKH，
∴，
∴，
∴AJ≈8.6（cm），
答：点A到底座CE的距离为8.6cm．
5.（2025 增城区一模）如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知∠A＝59°，∠C＝45°，MP＝0.25m，PN＝1.35m．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，
（1）直接写出∠ABC的度数；
（2）求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径BC的长度；（结果保留一位小数）
（3）醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段AC的长度．
【答案】（1）104°；
（2）醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径BC的长度约为1.9m；
（3）即“采青”路径AC的长度约为2m．
【分析】（1）延长PB至H，根据平行线的性质可得∠ABH＝∠A＝59°，∠CBH＝∠C＝45°，即可得解；
（2）过点B作直线EF∥MN，分别交AM，CN于点E，F，过点A作直线AD∥MN，交CN于点D，连接AC，则四边形AMND，四边形AEFD，四边形EMPB，四边形BPNF均是矩形，由矩形的性质可得EB＝MP＝0.25m，BF＝NP＝1.35m，DF＝AE，在Rt△BCF中，解结合勾股定理计算即可得解；
（3）解直角三角形结合勾股定理计算即可得解．
【解答】解：（1）如图：延长PB至H，
由题意可得：AM∥PH∥CN，
∴∠ABH＝∠A＝59°，∠CBH＝∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠ABH+∠CBH＝104°，
故答案为：104°；
（2）如图，过点B作直线EF∥MN，分别交AM，CN于点E，F，过点A作直线AD∥MN，交CN于点D，连接AC．
由题意得∠EMN＝∠FNM＝∠MAD＝∠ADN＝∠MEF＝∠NFE＝∠BPM＝∠BPN＝90°，
∴四边形AMND，四边形AEFD，四边形EMPB，四边形BPNF均是矩形，
∴EB＝MP＝0.25m，BF＝NP＝1.35m，DF＝AE，
∴AD＝EF＝1.6m．
∵∠EAB＝59°，∠BCF＝45°，
∴∠EBA＝90°﹣59°＝31°，∠CBF＝90°﹣45°＝45°＝∠BCF，
∴AE＝EB tan31°≈0.15m，CF＝BF＝1.35m，
∴CD＝CF﹣DF＝CF﹣AE＝1.2m，
在Rt△BCF中，BC1.351.35×1.41≈1.9（m），
答：醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径BC的长度约为1.9m；
（3）在Rt△ACD中，AD＝1.6m，CD＝1.2m，
AC2＝AD2+CD2，
∴AC2m，
即“采青”路径AC的长度约为2m．
6.（项目化数学）【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，求tan22.5°的值．
【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得22.5°虽然不是特殊角，但22.5°是45°的一半，于是他尝试着在CB上截取CD＝CA，再连接AD，构造出等腰△ABD（如图2）．
【解题过程】
在CB上截取CD＝CA，再连接AD，可证△ADB为等腰三角形，设AC＝CD＝a，则AD＝BDa．
∴tan22.5°．
【尝试应用】（1）如图3，求tan15°的值；
【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底A距离5米的C处，测得纪念碑顶点B的仰角为75°，该同学的眼睛D点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度AB（结果保留整数，参考数据：1.73，1.41）．
【答案】（1）2；
（2）20米．
【分析】（1）先作出AB的中垂线，得出BD＝AD，进而求出∠ADC＝30°，再同材料的【解题思路】即可求出答案；
（2）过点D作DE⊥AB于E，则四边形ACDE是矩形，进而得出AE＝CD＝1.5米，DE＝AC＝5米，进而求出BE，即可求出答案．
【解答】解：（1）如图3，
作AB的中垂线交BC于D，连接AD，
则BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝30°，
设AC＝m，
在Rt△ACD中，AD＝2m，CDm，
∴BD＝2m，
∴BC＝BD+CD＝2mm＝（2）m，
∴tan15°2；
（2）由题意得，则四边形ACDE是矩形，
∴AE＝CD＝1.5米，DE＝AC＝5米，
在Rt△BED中，∠BDE＝75°，
∴∠B＝15°，
∴tan15°＝tanB2，
∴BE＝10+5，
∴AB＝AE+BE＝1.5+10+511.5+5×1.73＝11.5+8.65≈20（米），
答：纪念碑的高度AB为20米．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型预测】05 直角三角形、勾股定理与解直角三角形
题型一 直角三角形的性质与判定
1．（2025 景德镇模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　）
A．28° B．31° C．34° D．38°
2.（2025 上杭县模拟）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝8，则PD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型二 勾股定理的运用
1．（2025 萧山区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝5，AB＝12，BC＝13，过点B作BE⊥CD于点E，则DE的长为（　　）
A．5 B． C．7 D．
2.（创新考法）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若△ABC是“亚直角三角形”，且∠A＝110°，则△ABC中最小锐角的度数为　 　 °．
3.（创新考法）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数a（a≠1），b，当a为偶数，，则a，b，b+2为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的a为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为　 　 （写出一个符合题意的数即可）．
4.（创新情境）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A，B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P．AB＝6，AC＝8，BC＝10．则CP的长度是 　 　 ．
题型三 锐角三角函数的计算问题
1．（2025 秦都区一模）如图，AD、AE分别是△ABC的高线、中线，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝2，则DE长为（　　）
A． B． C． D．1
2.（2025 滨湖区一模）如图，△ABC中，∠B＝2∠A，，则tanB的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3.（2024 金华三模）如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是 　 　 ．
4.（2024 金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE．
（1）求证：∠AEC＝2∠B．
（2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长．
5.（2025 洞头区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝∠BAE，AE＝5，CD＝3，tanC＝1．
（1）求BD的长．
（2）求sinB的值．
6.（创新考法）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：
①作BC边的中线AD；
②在边AB上找一点E，使得∠DEC＝∠DAC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，AB＝5，则线段CE的长为 　 　 ．（如需画草图，请使用备用图）
7.（项目化数学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线BD的对称点E．
（1）小明给出了下面框图中的作法：
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
（2）当点E在边AB上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接DE，并求出DE的长；
（3）连接AE，CE，当△ACE为直角三角形时，求∠BCE的正切值．
题型四 解直角三角形的实际应用
1．（2025 湛江一模）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为60cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到120°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.73）
2.（时事热点）如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，AB＝5m，BC＝2m，工作时，机械壁伸展开到∠ABC＝143°．则A、C两点之间的距离为 　 　 ．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）
3.（2024 文成县二模）图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条AB＝AC＝28cm，支点D，F分别固定在支撑条上（AF＞CF），活动条DE绕点D转动，DE＝4cm，活动条EF长度不变．闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC，则EF的长为 　 　 cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为 　 　 cm．
4.（2025 南沙区一模）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架AB长8cm，DB长2cm，支撑板CD长6cm，AB可绕点D转动，CD可绕点C转动．
（1）若水平视线MF与AB的夹角∠MFD＝50°，∠C＝35°，求∠CDB的度数；
（2）当∠C＝30°，∠CDB＝80°时，求点A到底座CE的距离．（结果精确到0.1，参考：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
5.（2025 增城区一模）如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知∠A＝59°，∠C＝45°，MP＝0.25m，PN＝1.35m．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，
（1）直接写出∠ABC的度数；
（2）求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径BC的长度；（结果保留一位小数）
（3）醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段AC的长度．
6.（项目化数学）【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，求tan22.5°的值．
【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得22.5°虽然不是特殊角，但22.5°是45°的一半，于是他尝试着在CB上截取CD＝CA，再连接AD，构造出等腰△ABD（如图2）．
【解题过程】
在CB上截取CD＝CA，再连接AD，可证△ADB为等腰三角形，设AC＝CD＝a，则AD＝BDa．
∴tan22.5°．
【尝试应用】（1）如图3，求tan15°的值；
【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底A距离5米的C处，测得纪念碑顶点B的仰角为75°，该同学的眼睛D点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度AB（结果保留整数，参考数据：1.73，1.41）．

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