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【题型预测】02 坐标与函数、一次函数
题型一 平面直角坐标系
1．（2025 兴宾区一模）如图所示是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图，以大本营内的中心点O为原点建立平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则最靠近原点的冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（文化背景）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
3.（2025 兴庆区校级一模）如图，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），……，按这样的规律，则点A2024的坐标为 　 　 ．
4.（创新考法）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（4，2），则在点A（1，0），B（，2），C（0，3）中，PQ的“等高点”是点 　 　 ；
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，点Q的坐标是 　 　 ．
题型二 根据函数图象解决实际问题——单一型问题
1．（2025 广西一模）如图为艾宾浩斯遗忘曲线，反映的是德国心理学家艾宾浩斯研究人类在学习新事物时记忆的变化规律．结合图象，下列说法错误的是（　　）
A．遗忘的速度是先快后慢
B．一天后记忆保留比率约为最初的
C．学习的新事物一年后会完全忘记
D．学习新事物后20分钟内重新复习有利于回忆和再认
2．（创新情境）某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（　　）
A．第4名 B．第3名 C．第2名 D．第1名
3.（创新考法）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加5km迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1kmn所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是　 　 （填写序号）．
①第1km所用的时间最长；
②前2km的平均速度大于最后2km的平均速度；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④第5km的平均速度最大．
题型三 根据函数图象解决实际问题——综合型问题
1．（2025 武汉模拟）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2．（时事热点）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（　　）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
3.（跨学科融合）某实验基地装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝|l1﹣l2|；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间），d关于t的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）轨道AB的长度为　 　 m，a的值为　 　 ，滑块从右向左匀速滑动的速度为　 　 m/s．
（2）滑块从点A到点B的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝36，请直接写出t的值．
4.（2025 滨海新区校级模拟）李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14
李磊离开家的距离（米） 800 600 1500
（2）填空：
①李磊家到学校的路程是 　 　 m；
②李磊在文具店停留了 　 　 min；
③李磊从文具店到学校的骑行速度是 　 　 米/分钟；
（3）当6≤x≤14时，请直接写出y关于x的函数解析式．
（4）若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校．已知王淼步行速度是100m/min，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？（请直接写出答案）
题型四 一次函数及其图象
1．（2025 沂源县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y＝kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC＝∠BCO，求则k的值．
2.（2025 河北模拟）如图，P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点，直线l：y＝kx+6 与x轴、y轴分别交于点A（﹣4.5，0），B．
（1）求直线l的解析式；
（2）判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由；
（3）点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C．
①直接写出点C的坐标；
②当点P在△ABC的内部（不包括边界）时，求a的取值范围．
3．（课本改编）在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图5-8中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”。
小姜发现，函数“y=2x+3”的图象与“y=－2x+3”的图象关于y轴对称，如右图所示。小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数y=kx+b与y=－kx+b的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点（0，b），我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题：
（1）已知一次函数与互为“对称新函数”，那么k= ；a= 。
（2）互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若△ABC是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式。
4.（2025 河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于A，B两点，A点坐标为（10，0），直线l2：y＝2x与l1交于点C（a，4）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）求证：l1⊥l2；
（3）直线l3：y＝mx+2，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出所有满足条件的m的值．
题型五 一次函数的实际应用
1.（2025 高新区模拟）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将26个大写英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号.
字母 A B C D E F G H 1 J K L M
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 N 0 P Q R S T U V W X Y Z
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
按上述规定，将明码“QRE”译成密码是　 　 ．（填写由3个大写字母组成的密码）
2．（2025 衢江区一模）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）求联合表演时长t；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？
3.（跨学科融合）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）当x＝4cm时，F拉力＝　 　 N；
（2）求AB所在直线的函数表达式；
（3）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力）
4.（2024 南京模拟）4×100米接力赛是学校运动会最精彩的项目之一，如图所示，图中的实线和虚线分别是初（1）班、初三（2）班代表队在比赛时运动员所跑的路程y（米）与所用时间x（秒）的函数图象（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）．请解答下列问题：
（1）直接判断：初三（2）班跑得最快的是第几棒运动员？
（2）发令后多长时间两班运动员第一次并列？
5.（2025 长春一模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度y（cm）随碗的数量x（个）变化的规律，小组成员从食堂取来A、B两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量A型碗得到的数据：
x 1 2 3 4
y 5 6.8 8.6 10.4
（1）请根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；
（2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由；
（3）如图②，把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个B型碗整齐叠放在6个A型碗上面时，直接写出这些碗的总高度．
6．（项目化数学）为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究．
材料1 材料2 材料3
如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位10cm时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位h（cm）关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过20cm时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.03度，另外每根水管工作1分钟耗电0.01度
问题解决
任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比．
任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式
任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型预测】02 坐标与函数、一次函数
题型一 平面直角坐标系
1．（2025 兴宾区一模）如图所示是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图，以大本营内的中心点O为原点建立平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则最靠近原点的冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意，先确定距离原点最近的冰壶，再确定在哪个象限即可．
【详解】解：根据题意和平面直角坐标系确定距离原点最近的是红方冰壶，它在第四象限．
故选：D．
2．（文化背景）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
【答案】B
【分析】根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标．
【详解】解：建立如下直角坐标系：
则点C的坐标为（2，﹣2）．
故选：B．
3.（2025 兴庆区校级一模）如图，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），……，按这样的规律，则点A2024的坐标为 　 　 ．
【答案】（4048，4）．
【分析】先得出点An（n为正整数）的横坐标为2n，纵坐标每6个一循环，再求解即可．
【解答】解：点An（n为正整数）的横坐标为2n，纵坐标每6个一循环，
∴点A2024的横坐标为2×2024＝4048，
∵2024÷6＝337....2，
∴点A2024的纵坐标与A2的纵坐标相同，为4，
∴点A2024的坐标为（4048，4），
故答案为：（4048，4）．
4.（创新考法）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（4，2），则在点A（1，0），B（，2），C（0，3）中，PQ的“等高点”是点 　 　 ；
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，点Q的坐标是 　 　 ．
【答案】（1）A或B；
（2）（，）或（，）．
【分析】（1）根据“等高点”的概念解答即可；
（2）先证明“等高距离”最小时△MPQ为等腰三角形，再利用勾股定理求出点Q坐标即可．
【解答】解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（ ，4）到PQ的距离为2．
∴PQ的“等高点”是A或B，
故答案为：A或B；
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，
∴PQ＝2，MN＝2．
设PN＝x，则NQ＝2﹣x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2＝22+x2＝4+x2，MQ2＝22+（2﹣x）2＝x2﹣4x+8，
∴MP2+MQ2＝2x2﹣4x+12＝2（x﹣1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x＝1，
即PN＝NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP＝MQ，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，
则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE2＝QP2﹣OE2＝22﹣y2＝4﹣y2，QE2＝QM2﹣ME2＝（）2﹣（y）2＝2y﹣y2，
∴4﹣y2＝2y﹣y2，
解得y，
QE2＝4﹣y2＝4﹣（）2，
当点Q在第一象限时x，当点Q在第二象限时x，
∴Q（，）或Q（，），
故答案为：（，）或（，）．
题型二 根据函数图象解决实际问题——单一型问题
1．（2025 广西一模）如图为艾宾浩斯遗忘曲线，反映的是德国心理学家艾宾浩斯研究人类在学习新事物时记忆的变化规律．结合图象，下列说法错误的是（　　）
A．遗忘的速度是先快后慢
B．一天后记忆保留比率约为最初的
C．学习的新事物一年后会完全忘记
D．学习新事物后20分钟内重新复习有利于回忆和再认
【答案】C
【分析】根据函数图象获得信息逐项分析即可．
【详解】解：根据函数图象获得信息逐项分析如下：
A、根据图象可知，刚开始遗忘的速度比较快，时间越长遗忘速度变慢，故说法正确，不符合题意；
B、根据图象，一天后保留率为，故说法正确，不符合题意；
C、由图象可知，曲线不会与x轴有交点，会无限接近x轴，故不能得到一年后会完全忘记，故说法错误，符合题意；
D、根据图象，20分钟内的保留率比较高，故20分钟内重新复习有利于回忆和再认，故说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．（创新情境）某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（　　）
A．第4名 B．第3名 C．第2名 D．第1名
【答案】B
【分析】根据中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名，再根据中国创新产出排名为第11名在另一排名中找到创新效率排名为第3名即可．
【详解】解：如图，
由左图得，中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名，
由右图得，中国创新产出排名为第11名，创新效率排名为第3名．
故选：B．
3.（创新考法）2025年3月30日盐城马拉松激情开跑，小明报名参加5km迷你马拉松比赛，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1kmn所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．他跑步的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是　 　 （填写序号）．
①第1km所用的时间最长；
②前2km的平均速度大于最后2km的平均速度；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④第5km的平均速度最大．
【答案】①③④．
【分析】根据“速度＝路程÷时间”解答即可．
【解答】解：由图象可知，
第1km所用的时间最长，约9.5分钟，故①说法正确；
前2km所用时间比最后2km所用时间多，故，故②前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，原说法错误；
第2km和第3km的平均速度相同，故③说法正确；
第5km的平均速度最大，故④说法正确．
故答案为：①③④．
题型三 根据函数图象解决实际问题——综合型问题
1．（2025 武汉模拟）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．
【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
2．（时事热点）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（　　）
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
【答案】D
【分析】仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可
【详解】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0%到100%的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
∴10%到90%的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D．
3.（跨学科融合）某实验基地装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为l1（m），右端离点B的距离为l2（m），记d＝|l1﹣l2|；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27s（含停顿时间），d关于t的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）轨道AB的长度为　 　 m，a的值为　 　 ，滑块从右向左匀速滑动的速度为　 　 m/s．
（2）滑块从点A到点B的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若d＝36，请直接写出t的值．
【答案】（1）91，19.5，6；
（2）d；
（3）t＝3，7，16.5，22.5．
【分析】（1）结合图2所给数据分析即可得解；
（2）设解析式，代入点坐标即可得解；
（3）先求出滑块从点B到点A的滑动过程中，d和t的关系式，再结合（2）中关系式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由图可知当t＝0时，d＝90，
∴AB＝90+1＝91m；
根据图2可知当t＝a时，是滑块右端与B重合后，再次从右向左滑动，距离l1＝l2的时候，
可知返回时间为（27﹣12）＝15s，
∴一半的时间为15÷2＝7.5s，
此时a＝12+7.5＝19.5；
滑块从右向左匀速滑动的速度为6m/s；
故答案为：91，19.5，6；
（2）当0≤t≤5时，
设d＝kt+b，将（0，90），（5，0）代入得，
，解得，
∴d＝﹣18t+90；
当5＜t≤10时，
设d＝k't+b'，将（10，90），（5，0）代入得，
，解得，
∴d＝18t﹣90；
综上，d；
（3）同（2）方法可得滑块从点B到点A的滑动过程中，
d与t的函数关系式为d，
①d＝﹣18t+90＝36，
解得t＝3；
②d＝18t﹣90＝36，
解得t＝7；
③d＝﹣12t+234＝36，
解得t＝16.5；
④d＝12t﹣234＝36，
解得t＝22.5；
综上，t＝3，7，16.5，22.5．
4.（2025 滨海新区校级模拟）李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
李磊离开家的时间（分钟） 4 6 8 10 14
李磊离开家的距离（米） 800 600 1500
（2）填空：
①李磊家到学校的路程是 　 　 m；
②李磊在文具店停留了 　 　 min；
③李磊从文具店到学校的骑行速度是 　 　 米/分钟；
（3）当6≤x≤14时，请直接写出y关于x的函数解析式．
（4）若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校．已知王淼步行速度是100m/min，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？（请直接写出答案）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接根据函数图象提供的信息填写即可；
（2）根据图象可已看出，
①李磊家到学校的距离为1500m；
②在文具店停留时，路程不变时间在变，从第8分钟到第12分钟，共计4分钟；
③从文具店到学校用了2分钟，路程是900m，利用v求出；
（3）分三段，其中当6≤x＜8，12≤x＜14时的图象是线段，可知其是一次函数，可用待定系数法求其解析式，当8≤x＜12时，其图象平行于x轴，y＝600；
（4）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）由图象可以看出，李磊离开家的时间分别是6分钟，10分钟时，距离家的距离分别是1200m，600m．
故答案为：1200，600；
（2）在图中，纵轴表示的是李磊离家的距离，横轴表示离家用的时间，
①从图中可以看出，李磊到学校时离家的距离是1500m，所以李磊家到学校的路程是1500m．
故答案为：1500．
②从图中可以看出，第8分钟时到达文具店，第12分钟时离开文具店，所以李磊在文具店停留了4分钟；
故答案为：4．
③从图中可以看出，从文具店到学校的路程为1500﹣600＝900m，所用的时间为14﹣12＝2min，所以从文具店到学校的速度为v＝450m/min；
故答案为：450．
（3）从图中可以看出，在6≤x≤14时，图象分为三段．
当6≤x≤8时，设函数解析式为y＝kx+b，
由图得，，
解得，
∴y＝﹣300x+3000，
当8＜x≤12时，
图象为平行于x轴的线段，所以y＝600．
当12＜x≤14时，设函数解析式为y＝mx+n，
由图得，，
解得，
∴y＝450x﹣4800．
综上所述，y；
（4）设王淼在途中遇到李磊时是离开家x分钟，根据题意得：
﹣300x+3000＝100x或450x﹣4800＝100x，
解得x＝7.5或x，
即她在途中遇到李磊时是离开家7.5分钟或分钟．
题型四 一次函数及其图象
1．（2025 沂源县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y＝kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC＝∠BCO，求则k的值．
【答案】．
【分析】利用直线l1：y，即可得到A（2，0）B（0，1），AB3，过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得ODAO，CDBO，进而得到C（，），代入直线l2：y＝kx，可得k．
【解答】解：直线l1：y中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，
即A（2，0）B（0，1），
∴Rt△AOB中，AB3，
如图，过C作CD⊥OA于D，
∵∠BOC＝∠BCO，
∴CB＝BO＝1，AC＝2，
∵CD∥BO，
∴ODAO，CDBO，
即C（，），
把C（，）代入直线l2：y＝kx，可得k，
即k．
2.（2025 河北模拟）如图，P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点，直线l：y＝kx+6 与x轴、y轴分别交于点A（﹣4.5，0），B．
（1）求直线l的解析式；
（2）判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由；
（3）点B先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点C．
①直接写出点C的坐标；
②当点P在△ABC的内部（不包括边界）时，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）有可能，当P的坐标是（﹣9，﹣6）时，点P落在直线l上，见解析；
（3）①点C的坐标是（6，0）；②．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝kx+6，得到关于k的一次方程，解方程求出k的值即可；
（2）把P（a，a+3）代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再根据a的值求出点P的坐标即可判断；
（3）①先根据一次函数的解析式求出点B的坐标，再根据平面直角坐标系中点平移时，左减右加，上加下减求出点C的坐标；
②根据点P的坐标可知：点P在直线y＝x+3上，用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+6，因为点P在△ABC的内部（不包括边界），所以可得不等式组，解不等式组求出a的取值范围．
【详解】解：（1）∵点A（﹣4.5，0）在直线上，
∴0＝﹣4.5k+6，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）有可能，理由如下：
由条件可得：，
解得：a＝﹣9，
∴a+3＝﹣6，
∴当P的坐标是（﹣9，﹣6）时，点P落在直线l上；
（3）①当x＝0时，可得：y＝kx+6＝6，
∴点B的坐标为（0，6），
∴把点B（0，6）向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度可得：点C的坐标是（6，0）；
②∵P（a，a+3）是平面直角坐标系中的一个动点，
∴点P在直线y＝x+3上，
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
把点B（0，6），C（6，0）代入y＝mx+n（m≠0），
可得：，
解得：，
可得：直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
∵点的坐标满足：，
当x+3＞0时解得：x＞﹣3；
当x+3＜﹣x+6时解得：，
∴在△ABC的内部（不包括边界）的点的坐标满足：，
∵点P在△ABC的内部（不包括边界），
∴．
3．（课本改编）在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图5-8中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”。
小姜发现，函数“y=2x+3”的图象与“y=－2x+3”的图象关于y轴对称，如右图所示。小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数y=kx+b与y=－kx+b的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点（0，b），我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题：
（1）已知一次函数与互为“对称新函数”，那么k= ；a= 。
（2）互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若△ABC是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式。
【答案】（1） －2
（2）与
【分析】本题为课本内容为背景的考查一次函数的图象问题的探究题。本题第（1）小题只要通过理解新的定义就能求出k和a的值，第（2）小题中，首先需要通过画图来明确大致图形，如图可知从点C到原点O的线段即为等边三角形的高，因为是等边三角形，易知∠ABC=60°，所以OA=OB=由此通过面积列式即可求出OC，再求出OA与OB即可知道点A与点B的坐标，继而求出一次函数的解析式来。
【解答】解：（1）因为一次函数与互为“对称新函数”，所以k=，a=－2；
（2）如图所示，设直线AC的函数表达式为y=kx+b，所以直线CB的函数表达式为y=－kx+b。所以OC=b，因为△ABC为等边三角形，所以OA=OB=，所以，解得b=3.所以点A的坐标为（－，0），点C坐标为（0,3），代入y=kx+b，解得一次函数表达式为，根据定义，另一个一次函数的表达式为。
4.（2025 河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于A，B两点，A点坐标为（10，0），直线l2：y＝2x与l1交于点C（a，4）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）求证：l1⊥l2；
（3）直线l3：y＝mx+2，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出所有满足条件的m的值．
【答案】（1）yx+5；
（2）见解析；
（3）m的值为或2或1．
【分析】（1）根据待定系数法列方程组求解；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（3）当l3与l1或l2平行或过C点时，三条直线不得能围成三角形．
【解答】（1）解：把C（a，4）代入y＝2x得，4＝2a，
∴a＝2，
∴C（2，4），
把A点坐标为（10，0），C（2，4）代入y＝kx+b得，，
∴，
∴直线l1的表达式为yx+5；
（2）证明：∵A点坐标为（10，0），C（2，4），
∴AO2＝100，AC2＝（10﹣2）2+42＝80，OC2＝22+42＝20，
∴OC2+AC2＝AO2，
∴∠ACO＝90°，
∴l1⊥l2；
（3）解：当l3∥l1时：m，
当l3∥l2时：m＝2，
当l3过C点时，2m+2＝4，
解得：m＝1，
综上所述，l1，l2，l3不能围成三角形，m的值为或2或1．
题型五 一次函数的实际应用
1.（2025 高新区模拟）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将26个大写英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号.
字母 A B C D E F G H 1 J K L M
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母 N 0 P Q R S T U V W X Y Z
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
按上述规定，将明码“QRE”译成密码是　 　 ．（填写由3个大写字母组成的密码）
【答案】VIP．
【分析】明码“QRE”中每一个字母所代表的数字分别为17，18，5，再根据这三个数字的奇偶性，再求得其密码．
【解答】解：根据题意得，Q对应的序号为17，则密码对应的序号是13＝22，即V；
R对应的序号为18，则密码对应的序号是9，即I；
E对应的序号为5，则密码对应的序号是13＝16，即P；
所以将明码“QRE”译成密码是VIP．
故答案为：VIP．
2．（2025 衢江区一模）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）求联合表演时长t；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？
【答案】（1）30s；
（2）直线MN的表达式为y＝4x﹣24；
（3）当两架无人机表演训练到2秒或10秒或14秒时，它们的高度差为8米．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间先甲和乙无人机的速度，进而确定M（18，48），即可写出t的值；
（2）先确M、N的坐标，再利用待定系数法求线段MN所在直线的函数解析式即可；
（3）根据路程＝速度×时间分别求出乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x的函数关系式、当0≤x≤6时和12＜x≤18时，甲和乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x的函数关系式；由两函数值的差为8列方程并求解即可．
【详解】解：（1）观察图象可知甲无人机的速度为24÷6＝4（m/s），
从点N到点M甲无人机需用时（48﹣24）÷4＝6（s），
乙无人机的速度为12÷6＝2（m/s），
乙从楼顶到M用时（48﹣12）÷2＝18（s），
∵18﹣6＝12，
故点M（18，48），N（12，24）．
联合表演时长t＝48﹣18＝30（s）．
（2）设直线MN的表达式为y＝kx+b，代入M（18，48），N（12，24），
得，解得，
∴直线MN的表达式为y＝4x﹣24；
（3）∵P（6，24），M（18，48），
设直线PM的表达式为y＝kx+b，代入P（6，24），M（18，48），
得，解得，
直线PM的表达式为y＝2x+12，直线OP的表达式为y＝4x，
在0＜x≤6时，令2x+12＝4x+8，解得x＝2；
在6＜x≤12时，令2x+12﹣24＝8，解得：x＝10；
在12＜x≤18时，令2x+12＝4x﹣24+8，解得x＝14，
综上，当两架无人机表演训练到2秒或10秒或14秒时，它们的高度差为8米．
3.（跨学科融合）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）当x＝4cm时，F拉力＝　 　 N；
（2）求AB所在直线的函数表达式；
（3）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力）
【答案】（1）4；（2）F拉力＝﹣0.375x+6.25；（3）0.75N．
【分析】（1）直接从图象中获取信息，即可得出答案；
（2）待定系数法求函数解析式即可；
（3）将x＝8代入（2）中的解析式，求出此时的拉力，进而可以得出答案．
【解答】解：（1）由图可知，当x＝4cm时，F拉力＝4N，
故答案为：4；
（2）设直线AB的解析式为：F拉力＝kx+b，
，
解得：，
∴F拉力＝﹣0.375x+6.25，
（3）由图象可知，
G重力＝4N，
当x＝8cm时，F拉力＝﹣0.375×8+6.25＝3.25，
∴F浮力＝G重力﹣F拉力＝4﹣3.25＝0.75N．
4.（2024 南京模拟）4×100米接力赛是学校运动会最精彩的项目之一，如图所示，图中的实线和虚线分别是初（1）班、初三（2）班代表队在比赛时运动员所跑的路程y（米）与所用时间x（秒）的函数图象（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）．请解答下列问题：
（1）直接判断：初三（2）班跑得最快的是第几棒运动员？
（2）发令后多长时间两班运动员第一次并列？
【答案】（1）初三（2）班第一棒运动员100米用时12秒，第二棒运动员100米用时13秒，第三棒、第四棒运动员100米分别用时16秒、14秒，所以第一棒的运动员跑得最快．（2）发令37秒后两班运动员第一次并列．
【分析】（1）直接根据图象上点横坐标可知道最快的是第1接力棒的运动员用了12秒跑完100米；
（2）分别利用待定系数法把图象相交的部分，一班，二班的直线解析式求出来后，联立成方程组求交点坐标即可．
【解答】解：（1）由图象可知，初三（2）班第一棒运动员100米用时12秒，第二棒运动员100米用时13秒，第三棒、第四棒运动员100米分别用时16秒、14秒，所以第一棒的运动员跑得最快．
（2）设其解析式为y1＝k1x+b1；由条件可得，
解得：，.即．
设其解析式为y2＝k2x+b2，得，
解得：，，
即．
当y1＝y2时，，
解得x＝37．
即发令37秒后两班运动员第一次并列．
5.（2025 长春一模）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度y（cm）随碗的数量x（个）变化的规律，小组成员从食堂取来A、B两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量A型碗得到的数据：
x 1 2 3 4
y 5 6.8 8.6 10.4
（1）请根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；
（2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由；
（3）如图②，把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个B型碗整齐叠放在6个A型碗上面时，直接写出这些碗的总高度．
【答案】（1）见解答；
（2）y＝1.8x+3.2；
（3）27cm．
【分析】（1）将表格中的数据对在平面直角坐标系中描点即可；
（2）将这些点连线，根据这些点的分布情况判断函数类型并利用待定系数法求出其函数关系式即可；
（3）根据（2）中求得的y与x之间的函数表达式求出6个A型碗的高度，再分别求出把1个B型碗整齐叠放在1个A型碗上面增加的高度、增加7个B型碗碗的总高度增加值，将这三个数值加起来即可．
【解答】解：（1）描点如图所示：
（2）将这些点连线，发现它们分布在同一条直线上，
∴y与x之间是一次函数关系，
设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（1，5）和（2，6.8）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为y＝1.8x+3.2．
（3）当x＝6时，y＝1.8×6+3.2＝14，
增加1个B型碗，碗的总高度增加8.4﹣6.8＝1.6（cm），
则14+（6.8﹣5）+1.6×（8﹣1）＝27（cm）．
答：这些碗的总高度是27cm．
6．（项目化数学）为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究．
材料1 材料2 材料3
如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位10cm时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位h（cm）关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过20cm时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.03度，另外每根水管工作1分钟耗电0.01度
问题解决
任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比．
任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式
任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量．
【答案】任务1：a＝30，甲乙两容器底面积之比为3：1；
任务2：h＝30t﹣210（8＜t≤10）；
任务3：0.255．
【分析】任务1：先根据函数图象求出甲水箱的注水时水面上升的速度为10cm/min，由此即可求出2分钟时甲水箱水面的高度，即a的值；设甲容器的底面积为S1，乙容器的底面积为S2，根据乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生，可得90S2+10S1＝30（S1+S2），则S1＝3S2，据此可得答案；
任务2：先求出乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为30cm/min，则当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为30cm/min，据此可得答案；
任务3：0≤t≤2时是1号管单独工作，2＜t≤8时是1号管和2号管同时工作，8＜t≤10时是2号管单独工作，据此求出两根水管工作的总时间；再分别求出当0≤t≤2时，当2＜t≤8时，当8＜t≤10时，三个时间段内加热的时间，进而求出加热的总时间，再根据加热每分钟耗电 0.03度，每根水管工作1分钟耗电0.01分钟求出总耗电量即可．
【解答】解：任务1：由函数图象可知，甲水箱的注水时水面上升的速度为10（cm），
∴甲水箱注水2分钟后甲水箱的水位高度为10+2×10＝30（cm），
∴a＝30；
设甲容器的底面积为S1，乙容器的底面积为S2，
由于乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生，
∴90S2+10S1＝30（S1+S2），
∴S1＝3S2，
∴甲乙两容器底面积之比为3：1；
任务2：由任务1可知，乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为，
∵两管的注水速度相同，
∴当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为30（cm/min），
∴8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式h＝30+30（t﹣8）＝30t﹣210（8＜t≤10）；
任务3：由函数图象可知，0≤t≤2时是1号管单独工作，2＜t≤8时是1号管和2号管同时工作，8＜t≤10时是2号管单独工作，
∴两根水管在整个过程中一共工作2+2×（8﹣2）+2＝16（分钟）；
当0≤t≤2时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则10+10t+20＝90﹣30t，
解得t＝1.5，
当0≤t≤2时，加热时间为2﹣1.5＝0.5（分钟）；
当2＜t≤8时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则10+10t＝30+20，
解得t＝4，
当2＜t≤8时，加热时间为4﹣2＝2（分钟）；
当8＜t≤10时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则30t﹣210＝90﹣20，
解得，
当8＜t≤10时，加热时间为10（分钟）；
∴加热的总时间为（分钟），
∴整个过程中所消耗的电量为0.255（度）．

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