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【题型预测】03 反比例函数、二次函数
题型一 反比例函数及其图象
1.(2025 双柏县一模)若双曲线经过第二、第四象限,则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k>1 C.k=1 D.k≤1
2.(2025 增城区一模)二次函数y=ax2﹣a与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
3.(2025 陇南模拟)如图,平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,点D(3,2)在对角线OB上,反比例函数y(k>0,x>0)的图象经过C,D两点.已知平行四边形OABC的面积是18,则点B的坐标为 .
4.(项目化数学)综合与实践
【项目主题】用“数”法搬家.
【项目背景】小明最近在搬家的过程中,发现途中需要经过一个弯道,弯道的宽度有限,为保证大件家具都能顺利搬入,他展开了以下研究:
【任务一:实地勘测】
如题1图所示,小明将一根长为2米的细木棍AB抵在墙上,通过测量,发现当木棍的中点C紧贴于内侧墙时,木棍恰好不能通过弯道(木棍厚度忽略不计).此时,∠OAB=45°,小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象.请求出该反比例函数的解析式.
【任务二:实物测试】
如题2图所示,小明将长方形箱子如此放置,箱子恰好不能通过弯道,其原理与木棍通过弯道类似,已知直线HG与外墙分别交于点M,N.假设长方形箱子的长为m米,宽为n米,则m和n需要满足怎样的关系时,箱子能顺利通过?
题型二 反比例函数图象的性质
1.(2025 江海区一模)在反比例函数的每一条曲线上,y都随着x的增大而减小,则k的值可以是( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
2.(2025 乐清市校级模拟)反比例函数的图象上有P(t,y1),Q(2﹣t,y2)两点,下列正确的选项是( )
A.当1<t<2时,y1>y2 B.当1<t<2时,y1<y2
C.当0<t<2时,y1>y2 D.当0<t<2时,y1<y2
3.(2025 嘉善县一模)函数的图象经过P(m,y1),Q(m+2,y2)两点,则下列选项中正确的是( )
A.当m<0时,y1<y2
B.当﹣2<m<0时,y1>y2
C.当m>﹣2时,y1<y2
D.当m<﹣2或m>0时,y1>y2
题型三 反比例函数的实际应用
1.(跨学科融合)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当用电器可变电阻R为4Ω时,其电流Ⅰ为( )
A.4.5A B.12A C.18A D.24A
2.(创新情境)“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品,但并非真正意义的无糖.现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料,它们的含糖浓度y(含糖浓度)与饮料质量x(g)之间的关系,可近似地用如图的反比例函数图象表示,其中甲、乙饮料y与x的关系满足,丙、丁饮料y与x的关系满足.根据图象,下列结论正确的是( )
A.甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多
B.丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多
C.甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多
D.丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多
3.(创新情境)如图1,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上的平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)呈反比例函数关系,其图象如图2所示.已知高速公路上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h.若一辆小型载客汽车以最大时速匀速通过该路段,则时间t= h.
4.(跨学科融合)电磁波由振荡的电场和磁场构成,我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波(电磁波的一种)与地球通信,电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.已知某段电磁波在同种介质中,波长λ与频率f的部分对应值如表:
频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30
波长λ(m) 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据,选择合适的函数模型,求出波长λ(m)关于频率f(MHz)的函数表达式.
(2)当该电磁波的频率为50MHz时,它的波长是多少m?
题型四 二次函数及其图象
1.(2025 邹城市一模)已知点P(0,m2﹣4),Q(m,0),若线段PQ与抛物线y=x2+3x﹣4恰有一个交点,则m的取值范围是 .
2.(2025 惠州一模)如图,菱形OABC的边长为2,点C在y轴的负半轴上,抛物线y=ax2过点B.若∠AOC=60°,则a为( )
A.﹣1 B.﹣2 C. D.1
3.(创新情境)定义:若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点,则称该点为这个函数图象上的“亮点”.例如:点P(3,1)是正比例函数的图象上的“亮点”.
(1)一次函数y=﹣x+5的图象上的“亮点”是 ;
(2)若点M是反比例函数图象的“亮点”,一次函数y=﹣2x+b的图象经过点M,求b的值;
(3)若二次函数y=ax2﹣3x﹣c(a≠0)的图象经过点A(2,0),试说明无论a取何值,该二次函数的图象上一定存在“亮点”.
题型五 二次函数图象的性质——最值及其讨论
1.(2025 德阳模拟)已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0).若当﹣1≤x≤4时,y的最大值为5,则a的值为 .
2.(2025 衢州一模)当n≤x≤n+1时,若二次函数y=x2﹣4x+3的最大值为2,则n的值为 .
3.(创新考法)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,b,c是常数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示.
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 1 n 1 …
(1)若m=﹣2,求二次函数的表达式.
(2)若当﹣1≤x≤4时,y有最小值,求a的值.
(3)求证:.
题型六 二次函数的实际应用
1.(2025 鄞州区校级模拟)冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品,它色泽光亮自然,水分足,果肉脆,口味甜,深受市民喜爱.上市时,王经理按市场价格6元/千克收购了2000千克苹果放入冷库中.据预测,苹果的市场价格每天每千克将上涨0.2元,但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用160元,而且苹果在冷库中最多可以保存50天,同时,每天有10千克的苹果损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批苹果一次性出售,设这批苹果的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数解析式;
(2)王经理想获得3850元的利润,需将这批苹果存放多少天后出售?(利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用)
(3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
2.(2025 江海区一模)如图,学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼长60m的后墙,其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成.左右两侧各开一个1m的出口后,不锈钢栅栏状如“山”字形.另外,在距离后墙8m外,还规划有机动车停车位.
(1)若设车棚宽度AB为x m,则车棚长度BC为 m;
(2)设自行车车棚面积为S(m2),车棚宽度AB为x(m),求S与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)学校调研教职工及学生的需求后,现决定对车棚进行扩建.在不对后墙进行改造的情况下,若希望扩建后车棚面积不小于405m,是否有必要改动机动车停车位的位置规划?但机动车停车位EF向外最多移动2m,如有必要,请给出具体方案;如无必要,请说明理由.
3.(创新考法)数学兴趣小组在设计一个表面积为12dm2,底面为正方形的长方体盒子(有底也有盖)时,发现了一个有趣的问题:盒子的体积V与底面边长x之间有某种函数关系.
他们开展了如下的探究过程,请你将其补充完整:
(1)建立模型:设长方体的高为hdm,表面积为Sdm2,根据长方体的表面积公式:S=2x2+4xh=12,
∴①
将①代入长方体的体积公式,得:V=x2 h= ②
可知,V是x的函数,自变量的取值范围是x>0.
(2)探究函数:根据函数解析式②,按照下表中自变量x的值计算(精确到0.01),得到了V与x的几组对应值:
x/dm … 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 …
V/dm3 … 0.74 1.44 2.04 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 …
在下面的平面直角坐标系中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象:
(3)解决问题:结合表中数据,并利用所画的函数图象推断:
①当底面边长为 (精确到0.01)dm时,这个盒子的体积最大;
②这个盒子的体积为2时,底面边长为 (精确到0.01)dm.
4.(2025 临安区一模)药碾子是传统的碾药工具,从东汉时期沿用至今.如图1,碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分.如图2,上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A,点O与点A到地面的距离相等,OA=8dm,以OA所在直线为x轴,过点O且垂直于OA的直线为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系,上沿抛物线的顶点为,下沿抛物线的顶点为P,上沿抛物线的顶点H比P点高.
(1)求出上沿抛物线的函数表达式.
(2)点B是支撑架与下沿抛物线的交点,过点B作BD⊥OA于点D,交上沿抛物线于点E,,求点B的坐标.
5.(项目化数学)根据以下素材,探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1:某班级组织趣味弹弹珠游戏,设计如下:(1)距离水平地面 米处有一带弹簧的装置;(2)每次将弹簧向左挤压相同距离,松手后弹珠从A点水平飞出,研究路径时弹珠直径可忽略,如图1.
素材2:某班进行试玩,发现:当弹珠从A点飞出后形成的路径是抛物线的一半,并正好从挡板1的顶部经过,此时带弹簧的装置距离水平地面的高度h=0.8米,挡板1至O点距离为0.6米,挡板1的高度为0.4米,如图2.
素材3:弹珠游戏装置变化,如图3:(1)在距离O点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2,挡板1与挡板2之间记为区域Ⅰ:(2)在距离O点1米处新增长度为0.1米的挡板3,挡板2与挡板3之间记为区域Ⅱ.
问题解决
任务1:确定弹珠路径.请在图2中以O点为原点建立直角坐标系,并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2:确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域Ⅰ内,该弹簧装置向上移动的距离d要满足什么条件?
任务3:灵活变通.根据同学们的实际游戏情况,上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内,希望作出调整.现做出如下改动,在任务1的基础上,先将装置向上移动0.3米,再通过左右移动三块挡板(区域Ⅰ和区域Ⅱ的宽度不改变),让弹珠落入得分更高的区域Ⅱ内,请计算挡板3横坐标的取值范围.中小学教育资源及组卷应用平台
【题型预测】03 反比例函数、二次函数
题型一 反比例函数及其图象
1.(2025 双柏县一模)若双曲线经过第二、第四象限,则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k>1 C.k=1 D.k≤1
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象得到k﹣1<0即可得到答案.
【解答】解:由题意得,k﹣1<0,
∴k<1,
故选A.
2.(2025 增城区一模)二次函数y=ax2﹣a与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先根据二次函数y=ax2﹣a的图象的开口方向和y轴的交点(0,﹣a),判断a的正负号,再看反比例函数y(a≠0)的图象是否一致即可.
【解答】解:A、由抛物线开口方向可知a<0,这与抛物线与y轴的交点(0,﹣a)相矛盾,故本选项不符合题意;
B、由抛物线开口方向可知a>0,这与抛物线与y轴的交点(0,﹣a)相矛盾,故本选项不符合题意;
C、由抛物线开口方向可知a<0,这与抛物线与y轴的交点(0,﹣a)相矛盾,故本选项不符合题意;
D、由抛物线开口方向可知a<0,反比例函数y图象在第二、四象限,故本选项符合题意.
故选:D.
3.(2025 陇南模拟)如图,平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,点D(3,2)在对角线OB上,反比例函数y(k>0,x>0)的图象经过C,D两点.已知平行四边形OABC的面积是18,则点B的坐标为 .
【答案】(6,4)
【分析】根据题意先求出反比例函数的解析式为y和直线OB的解析式为yx,设C(a,),且a>0再利用反比例函数k值的几何意义列出方程S平行四边形OABC=2S△OBC=2()=18,继而得到a值求出点B的坐标即可.
【详解】解:∵反比例函数y(k>0,x>0)的图象经过点D(3,2)
∴k=3×2=6,
∴反比例函数的解析式为y,
∵OB经过原点O,
∴设直线OB的解析式为y=mx(m≠0),
∵OB经过点D(3,2),
∴2=3m,
∴m,
∵直线OB的解析式为yx,
∵反比例函数y经过点C,
∴设C(a,),且a>0,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴BC∥OA,S OABC=2S△OBC,
∴点B的纵坐标为,
∵OB的解析式为y,
∴,
∴x
∴B(,),
∴BC,
∴S△OBC(),
∵平行四边形OABC的面积是18,
∴S平行四边形OABC=2S△OBC=2()=18,
解得:a或a(舍去),
∴点B的坐标是(6,4),
故答案为:(6,4).
4.(项目化数学)综合与实践
【项目主题】用“数”法搬家.
【项目背景】小明最近在搬家的过程中,发现途中需要经过一个弯道,弯道的宽度有限,为保证大件家具都能顺利搬入,他展开了以下研究:
【任务一:实地勘测】
如题1图所示,小明将一根长为2米的细木棍AB抵在墙上,通过测量,发现当木棍的中点C紧贴于内侧墙时,木棍恰好不能通过弯道(木棍厚度忽略不计).此时,∠OAB=45°,小明将内侧墙形状近似看成以外侧墙为平面直角坐标系的反比例函数图象.请求出该反比例函数的解析式.
【任务二:实物测试】
如题2图所示,小明将长方形箱子如此放置,箱子恰好不能通过弯道,其原理与木棍通过弯道类似,已知直线HG与外墙分别交于点M,N.假设长方形箱子的长为m米,宽为n米,则m和n需要满足怎样的关系时,箱子能顺利通过?
【答案】任务一:;
任务二:m+2n<2.
【分析】(1)过点C作CP⊥AO于点P,CQ⊥BO于点Q,可知△APC为等腰直角三角形,设PC=AP=x m,根据勾股定理可得x2+x2=1,解得,同理可得:,则点C的坐标为,设该反比例函数的解析式为,把点C的坐标代入求出k的值即可;
(2)由任务一知:当直线HG与外墙OM的夹角为45°且MN<2米时,箱子能顺利通过,因为∠GNF=45°,所以△FGN是等腰直角三角形,所以可得GN=FG=nm,同理可得MH=EH=nm,因为MN=MH+HG+GN=(m+2n)m,所以可得m+2n<2.
【解答】任务一、解:如图所示,过点C作CP⊥AO于点P,CQ⊥BO于点Q,
由条件可知△APC为等腰直角三角形,
设PC=AP=x m,
∵AB=2米,点C为AB的中点,
∴AC=BC=1米,
在Rt△APC中,x2+x2=1,
解得:,(舍去),
∴,
同理可得:,
∴点,
设该反比例函数的解析式为,
将点C代入,得:,
∴该反比例函数的解析式为;
任务二、由任务一知:当直线HG与外墙OM的夹角为45°且MN<2米时,箱子能顺利通过,
在长方形EFGH中,∠FGH=90°,FG=nm,
∵∠GNF=45°,
∴△FGN为等腰直角三角形,
∴GN=FG=nm,
同理得:MH=EH=nm,
∴MN=MH+HG+GN=(m+2n)m<2m,
∴m+2n<2.
题型二 反比例函数图象的性质
1.(2025 江海区一模)在反比例函数的每一条曲线上,y都随着x的增大而减小,则k的值可以是( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【分析】利用反比例函数的增减性,y随x的增大而减小,则求解不等式1﹣k>0即可.
【解答】解:∵反比例函数图象的每一条曲线上,y随x的增大而减小,
∴1﹣k>0,
解得k<1.
故选:A.
2.(2025 乐清市校级模拟)反比例函数的图象上有P(t,y1),Q(2﹣t,y2)两点,下列正确的选项是( )
A.当1<t<2时,y1>y2 B.当1<t<2时,y1<y2
C.当0<t<2时,y1>y2 D.当0<t<2时,y1<y2
【答案】B
【分析】由于反比例函数,可知函数位于第一、三象限,分情况讨论,根据反比例函数的增减性判断出y1与y2的大小.
【详解】解:由条件可知:函数位于第一、三象限,y随x的增大而减小,
∴①0<t<2﹣t时,y1>y2,
解得:0<t<1,
即当0<t<1,y1>y2;
①0<2﹣t<t时,y1<y2,
解得:1<t<2,
即当1<t<2,y1<y2,
所以结合选项可知:B符合题意,
故选:B.
3.(2025 嘉善县一模)函数的图象经过P(m,y1),Q(m+2,y2)两点,则下列选项中正确的是( )
A.当m<0时,y1<y2
B.当﹣2<m<0时,y1>y2
C.当m>﹣2时,y1<y2
D.当m<﹣2或m>0时,y1>y2
【答案】B
【分析】由于反比例函数y,可知函数位于第二、四象限,分情况讨论,根据反比例函数的增减性判断出y1与y2的大小.
【解答】解:由条件可知:函数位于第二、四象限,y随x的增大而增大,
当0<m<m+2时,即m>0时,y1<y2,
当m<m+2<0时,即m<﹣2时,y1<y2,
当m<0<m+2,即﹣2<m<0,y1>y2,
所以结合选项可知:B符合题意,
故选:B.
题型三 反比例函数的实际应用
1.(跨学科融合)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当用电器可变电阻R为4Ω时,其电流Ⅰ为( )
A.4.5A B.12A C.18A D.24A
【答案】A
【分析】先用待定系数法求出反比例函数的解析式,再代入数据即可.
【解答】解:设反比例函数的解析式为I,
k=I R=3×6=18,
∴I,
∴当用电器可变电阻R为4Ω时,
I4.5.
故选:A.
2.(创新情境)“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品,但并非真正意义的无糖.现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料,它们的含糖浓度y(含糖浓度)与饮料质量x(g)之间的关系,可近似地用如图的反比例函数图象表示,其中甲、乙饮料y与x的关系满足,丙、丁饮料y与x的关系满足.根据图象,下列结论正确的是( )
A.甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多
B.丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多
C.甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多
D.丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多
【答案】D
【分析】根据反比例函数的几何意义判断即可.
【解答】解:∵含糖浓度,
∴甜味剂质量=含糖量浓度×饮料质量,
∴xy=k1或xy=k2,
∴甲、乙饮料含甜味剂质量相同,丙、丁饮料含甜味剂质量相同,
根据图形可知,k1<k2,
∴丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多,
故选:D.
3.(创新情境)如图1,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上的平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)呈反比例函数关系,其图象如图2所示.已知高速公路上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h.若一辆小型载客汽车以最大时速匀速通过该路段,则时间t= h.
【答案】0.3
【分析】求得反比例函数的解析式,将v=120代入即可解答.
【详解】解:设平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)的关系式为,
根据图象把(0.4,90)代入可得,
解得k=36,
∴平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)的关系式为,
把v=120代入解析式可得,
解得t=0.3,
经检验t=0.3是原方程的解,
故一辆车以最大时速匀速通过该路段,则时间t=0.3,
故答案为:0.3.
4.(跨学科融合)电磁波由振荡的电场和磁场构成,我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波(电磁波的一种)与地球通信,电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.已知某段电磁波在同种介质中,波长λ与频率f的部分对应值如表:
频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30
波长λ(m) 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据,选择合适的函数模型,求出波长λ(m)关于频率f(MHz)的函数表达式.
(2)当该电磁波的频率为50MHz时,它的波长是多少m?
【答案】(1)λ;
(2)6.
【分析】(1)根据变量的变化规律解答即可;
(2)将f=50代入(1)中求得的函数表达式,求出对应λ的值即可.
【解答】解:(1)由表格可知,fλ=300,
∴λ与f的函数表达式为λ.
(2)当f=50时,λ6,
答:当该电磁波的频率为50MHz时,它的波长是6m.
题型四 二次函数及其图象
1.(2025 邹城市一模)已知点P(0,m2﹣4),Q(m,0),若线段PQ与抛物线y=x2+3x﹣4恰有一个交点,则m的取值范围是 .
【答案】m=0或m≥1或m≤﹣4.
【分析】首先明确点P和Q的位置,点P在y轴,点Q在x轴.然后分析线段PQ与抛物线的交点情况,分相切和相交两种情况.对于相切情况,考虑特殊点m=0.对于相交情况,通过求抛物线与x轴的交点,确定m的取值范围.
【解答】解:已知点P(0,m2﹣4),Q(m,0),
点P在y轴上,其纵坐标为m2﹣4,
点Q在x轴上,其横坐标为m,
线段PQ与抛物线y=x2+3x﹣4恰有一个交点,我们需要分情况讨论,
情况1:当线段PQ与抛物线相切时:
当m=0,点P(0,﹣4),点Q(0,0),线段PQ在y轴上,此时线段PQ与抛物线y=x2+3x﹣4在y轴上的交点只有一个,满足条件,
情况2:当线段PQ与抛物线相交时:抛物线y=x2+3x﹣4与x轴的交点可以通过解方程x2+3x﹣4=0得到,
分解因式:(x+4)(x﹣1)=0,
解得x=﹣4或 x=1,
所以抛物线与x轴的交点为(﹣4,0)和(1,0),
当m≤﹣4时,线段PQ与抛物线相交,恰有一个交点,
当m≥1时,线段PQ与抛物线相交,恰有一个交点,
综上故答案为:m=0或m≥1或m≤﹣4.
2.(2025 惠州一模)如图,菱形OABC的边长为2,点C在y轴的负半轴上,抛物线y=ax2过点B.若∠AOC=60°,则a为( )
A.﹣1 B.﹣2 C. D.1
【答案】A
【分析】过点D作BD⊥y轴交y轴于点D,求出B点的坐标,代入即可求解.
【详解】解:过点D作BD⊥y轴交y轴于点D,
∵菱形OABC的边长为2,
∴OC=BC=2,
∵∠AOC=60°,
∴∠BCD=60°,
∴BD=BCsin∠BCD=2,CD=BCcos∠BCD=2cos60°=21,
∴OD=OC+CD=3,
∴B(,﹣3),
把B(,﹣3)代入y=ax2,
∴﹣3=3a
∴a=﹣1.
故选:A.
3.(创新情境)定义:若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点,则称该点为这个函数图象上的“亮点”.例如:点P(3,1)是正比例函数的图象上的“亮点”.
(1)一次函数y=﹣x+5的图象上的“亮点”是 ;
(2)若点M是反比例函数图象的“亮点”,一次函数y=﹣2x+b的图象经过点M,求b的值;
(3)若二次函数y=ax2﹣3x﹣c(a≠0)的图象经过点A(2,0),试说明无论a取何值,该二次函数的图象上一定存在“亮点”.
【答案】(1);
(2)b=7或﹣5;
(3)见解答.
【分析】(1)利用“亮点”的定义,设一次函数y=﹣x+5的图象上的“亮点”是(x,x﹣2),代入y=﹣x+5即可求解;
(2)利用“亮点”的定义求得M的坐标,然后利用待定系数法即可求得b的值;
(3)二次函数y=ax2﹣3x﹣c(a≠0)的图象经过点A(2,0),得到c=4a﹣6,则y=ax2﹣3x﹣4a+6,解析式变形为y=(x﹣2)[a(x+2)﹣3],即可求得二次函数的图象有定点(2,0),即可证得结论.
【解答】解:(1)设一次函数y=﹣x+5的图象上的“亮点”是(x,x﹣2),
∴x﹣2=﹣x+5,
解得x,
∴x﹣2,
∴一次函数y=﹣x+5的图象上的“亮点”是.
故答案为:;
(2)∵点M是反比例函数图象的“亮点”,
∴x2,
解得x=﹣1或x=3,
∴M(﹣1,﹣3)或(3,1),
∵一次函数y=﹣2x+b的图象经过点M,
∴﹣3=2+b或1=﹣6+b,
∴b=7或﹣5;
(3)∵二次函数y=ax2﹣3x﹣c(a≠0)的图象经过点A(2,0),
∴4a﹣6﹣c=0,
∴c=4a﹣6,
∴y=ax2﹣3x﹣4a+6,
∵y=ax2﹣4a﹣3x+6
=a(x+2)(x﹣2)﹣3(x﹣2)
=(x﹣2)[a(x+2)﹣3],
∴x=2时,y=0,
∴二次函数y=ax2﹣3x﹣c(a≠0)的图象上有定点(2,0),
∴无论a取何值,该二次函数的图象上一定存在“亮点”.
题型五 二次函数图象的性质——最值及其讨论
1.(2025 德阳模拟)已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0).若当﹣1≤x≤4时,y的最大值为5,则a的值为 .
【答案】1或.
【分析】先求出二次函数的对称轴,再分a>0与a<0时两种情况,根据二次函数的性质列式解答即可.
【详解】解:依题意,二次函数的对称轴为直线x=1,
∵﹣1≤x≤4,
∴当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴直线x=1右侧y随x的增大而增大,
当x=4时y有最大值5,
5=16a﹣8a﹣3a,
解得:a=1,
当a<0时,开口向下,x=1时y有最大值5,
a×12﹣2a×1﹣3a=5,
解得,
故答案为:1或.
2.(2025 衢州一模)当n≤x≤n+1时,若二次函数y=x2﹣4x+3的最大值为2,则n的值为 .
【答案】2或1.
【分析】依据题意,由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,可得抛物线开口向上,当x=2时,y取最小值为﹣1,从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大,则当x=n时或当x=n+1时,y取最大值,进而分当x=n时,y取最大值,此时2,即n和当x=n+1时,y取最大值,此时2,即n,分别进行计算可以得解.
【解答】解:由题意,∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线开口向上,当x=2时,y取最小值为﹣1.
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大.
∴当x=n时或当x=n+1时,y取最大值.
①当x=n时,y取最大值,此时2,即n.
又∵此时y最大值为n2﹣4n+3=2,
∴n=2(不合题意,舍去)或n=2.
②当x=n+1时,y取最大值,此时2,即n.
又∵此时y最大值为(n+1)2﹣4(n+1)+3=n2﹣2n=2,
∴n=2(不合题意,舍去)或n=2.
∴n=1或n=1(不合题意,舍去).
综上,n=2或1.
故答案为:2或1.
3.(创新考法)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,b,c是常数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示.
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 1 n 1 …
(1)若m=﹣2,求二次函数的表达式.
(2)若当﹣1≤x≤4时,y有最小值,求a的值.
(3)求证:.
【答案】(1)二次函数的表达式y=﹣x2+2x+1;
(2)或;
(3)证明过程见详解.
【分析】(1)根据表格信息得到对称轴直线为,即,x=﹣1时,y=﹣2,运用待定系数法即可求解;
(2)根据题意得到y=ax2﹣2ax+1,分类讨论:当a>0时,二次函数图象开口象限,对称轴直线x=1处取得最小值;当a<0时,二次函数图象开口向下,对称轴直线为x=1,离对称轴直线越远,函数值越小,当x=4时,取得最小值;代入求值即可;
(3)根据题意当x=﹣1时,y=m,当x=1时,y=n,得,根据二次函数图象的性质即可求解.
【解答】解:(1)由条件可知抛物线的对称轴直线为,即,
∴b=﹣2a,
若m=﹣2,即x=﹣1时,y=﹣2,
∴,
∴a+2a+1=﹣2,
解得,a=﹣1,b=2,c=1,
∴二次函数的表达式y=﹣x2+2x+1;
(2)根据题意,b=﹣2a,c=1,
∴y=ax2﹣2ax+1,
当a>0时,二次函数图象开口象限,对称轴直线x=1处取得最小值,
∴,
解得,;
当a<0时,二次函数图象开口向下,对称轴直线为x=1,离对称轴直线越远,函数值越小,
∴当x=4时,取得最小值,
∴,
解得,;
(3)由条件可知,
∴,
∵﹣3<0,
∴关于a的二次函数图象开口向下,函数的最大值为,
∴.
题型六 二次函数的实际应用
1.(2025 鄞州区校级模拟)冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品,它色泽光亮自然,水分足,果肉脆,口味甜,深受市民喜爱.上市时,王经理按市场价格6元/千克收购了2000千克苹果放入冷库中.据预测,苹果的市场价格每天每千克将上涨0.2元,但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用160元,而且苹果在冷库中最多可以保存50天,同时,每天有10千克的苹果损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批苹果一次性出售,设这批苹果的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数解析式;
(2)王经理想获得3850元的利润,需将这批苹果存放多少天后出售?(利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用)
(3)王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
【答案】(1)y=﹣2x2+340x+12000
(2)需将这批苹果存放35天后出售
(3)王经理将这批苹果存放45天后出售可获得最大利润,最大利润是4050元
【分析】(1)根据苹果的单价乘以苹果的数量,可得函数关系式;
(2)根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用,可得方程,根据解方程,可得答案;
(3)根据利润等于销售总金额减去收购成本、减去每天的费用,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.
【详解】解:(1)由题意y与x之间的函数关系式为:y=(6+0.2x)(2000﹣10x)=﹣2x2+340x+12000(1≤x≤50,且x为整数);
(2)由题意得:
﹣2x2+340x+12000﹣6×2000﹣160x=3850,
解方程得:x1=35,x2=55(不合题意,舍去),
王经理想获得 3850 元的利润,需将这批苹果存放35天后出售;
(3)设利润为w,由题意得:
w=﹣2x2+340x+12000﹣6×2000﹣160x=﹣2(x﹣45)2+4050,
∵﹣2<0,
∴抛物线开口方向向下,
∴x=45时,w最大=4050,
45<50,符合题意,
∴王经理将这批苹果存放45天后出售可获得最大利润,最大利润是4050元.
2.(2025 江海区一模)如图,学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼长60m的后墙,其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成.左右两侧各开一个1m的出口后,不锈钢栅栏状如“山”字形.另外,在距离后墙8m外,还规划有机动车停车位.
(1)若设车棚宽度AB为x m,则车棚长度BC为 m;
(2)设自行车车棚面积为S(m2),车棚宽度AB为x(m),求S与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(3)学校调研教职工及学生的需求后,现决定对车棚进行扩建.在不对后墙进行改造的情况下,若希望扩建后车棚面积不小于405m,是否有必要改动机动车停车位的位置规划?但机动车停车位EF向外最多移动2m,如有必要,请给出具体方案;如无必要,请说明理由.
【答案】(1)(72﹣3x);(2)S=﹣3x2+72x(4≤x≤8);(3)有必要改动机动车停车位的位置规划,机动车停车位EF向外移动1m.
【分析】(1)根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成,且左右两条宽边需要开出一个1m的出口,然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边BC的长;
(2)根据(1)结果即可列出自行车车棚面积为S(m2)关于车棚宽度AB为x(m)的一次函数,再求出自变量的取值范围即可;
(3)根据题意可得到不等式组,解不等式组,再结合实际需要进行解答即可.
【解答】解:(1)∵搭建自行车车棚为矩形,车棚宽度AB为xm,左右两侧各开一个1m的出口,
不锈钢栅栏总长70m,不锈钢栅栏状如“山”字形,
∴BC=70﹣2(x﹣1)﹣x=72﹣3x(m),
故答案为:(72﹣3x);
(2)由(1)可得,车棚面积为:S=x(72﹣3x)=﹣3x2+72x,
由题意得到,
解得4≤x≤8,
∴S=﹣3x2+72x(4≤x≤8);
(3)不能,理由如下:
由(1)可得,
x(72﹣3x)≥405,
即x(72﹣3x)≥405,
整理得到,x2﹣24x+135≤0,
∴(x﹣15)(x﹣9)≤0,
即或,
解得9≤x<15,
当x=9时,BC=72﹣3x=45,
∴机动车停车位EF向外移动1m;
答:有必要改动机动车停车位的位置规划,机动车停车位EF向外移动1m.
3.(创新考法)数学兴趣小组在设计一个表面积为12dm2,底面为正方形的长方体盒子(有底也有盖)时,发现了一个有趣的问题:盒子的体积V与底面边长x之间有某种函数关系.
他们开展了如下的探究过程,请你将其补充完整:
(1)建立模型:设长方体的高为hdm,表面积为Sdm2,根据长方体的表面积公式:S=2x2+4xh=12,
∴①
将①代入长方体的体积公式,得:V=x2 h= ②
可知,V是x的函数,自变量的取值范围是x>0.
(2)探究函数:根据函数解析式②,按照下表中自变量x的值计算(精确到0.01),得到了V与x的几组对应值:
x/dm … 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 …
V/dm3 … 0.74 1.44 2.04 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 …
在下面的平面直角坐标系中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象:
(3)解决问题:结合表中数据,并利用所画的函数图象推断:
①当底面边长为 (精确到0.01)dm时,这个盒子的体积最大;
②这个盒子的体积为2时,底面边长为 (精确到0.01)dm.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)把代入计算即可得解;
(2)用平滑的曲线连接即可得解;
(3)①根据(2)中的表格中数据与函数图象分析可得当当x=1.50dm时V=2.81dm3,此时处于最高点,即可判断求解,②由当x=0.75dm时,V=2.04dm3,当x=2.00dm时,V=2.00dm3,结合图形判断求解即可.
②根据函数图象求解即可
【解答】解:(1)∵,
∴,
故答案为:;
(2)作图如下,
(3)解:①∵当x=1.50dm时,V=2.81dm3,此时处于最高点,
∴结合图象可得,底面边长为1.50dm时,这个盒子的体积最大,
故答案为:1.50,
②∵当x=0.75dm时,V=2.04dm3,当x=2.00dm时,V=2.00dm3,
∴结合图形得这个盒子的体积为2时,底面边长为0.75dm或2.00dm.
故答案为:0.75或2.00.
4.(2025 临安区一模)药碾子是传统的碾药工具,从东汉时期沿用至今.如图1,碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分.如图2,上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A,点O与点A到地面的距离相等,OA=8dm,以OA所在直线为x轴,过点O且垂直于OA的直线为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系,上沿抛物线的顶点为,下沿抛物线的顶点为P,上沿抛物线的顶点H比P点高.
(1)求出上沿抛物线的函数表达式.
(2)点B是支撑架与下沿抛物线的交点,过点B作BD⊥OA于点D,交上沿抛物线于点E,,求点B的坐标.
【答案】(1)上沿抛物线的函数表达式为y(x﹣4)2;
(2)B(2,﹣3)或(6,﹣3).
【分析】(1)根据上沿抛物线的顶点设出抛物线解析式的顶点式,再把原点坐标代入解析式求出a即可;
(2)先求出下沿抛物线顶点P的坐标,再用待定系数法求出函数解析式,然后根据BE得出关于x的方程,解方程求出x的值,再代入下沿抛物线求出y即可得出点B坐标.
【解答】解:(1)设上沿抛物线的函数表达式为y=a(x﹣4)2,
把(0,0)代入解析式得:16a0,
解得a,
∴上沿抛物线的函数表达式为y(x﹣4)2;
(2)∵,H比P点高,
∴P(4,﹣4),
设下沿抛物线的函数表达式为y=a′(x﹣4)2﹣4,
把(0,0)代入解析式得:16a′﹣4=0,
解得a′,
∴下沿抛物线的函数表达式为y(x﹣4)2﹣4,
∵BEdm,
∴(x﹣4)2(x﹣4)2+4,
解得x=2或x=6,
把x=2或x=6代入y(x﹣4)2﹣4得:y=﹣3,
∴B(2,﹣3)或(6,﹣3).
5.(项目化数学)根据以下素材,探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1:某班级组织趣味弹弹珠游戏,设计如下:(1)距离水平地面 米处有一带弹簧的装置;(2)每次将弹簧向左挤压相同距离,松手后弹珠从A点水平飞出,研究路径时弹珠直径可忽略,如图1.
素材2:某班进行试玩,发现:当弹珠从A点飞出后形成的路径是抛物线的一半,并正好从挡板1的顶部经过,此时带弹簧的装置距离水平地面的高度h=0.8米,挡板1至O点距离为0.6米,挡板1的高度为0.4米,如图2.
素材3:弹珠游戏装置变化,如图3:(1)在距离O点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2,挡板1与挡板2之间记为区域Ⅰ:(2)在距离O点1米处新增长度为0.1米的挡板3,挡板2与挡板3之间记为区域Ⅱ.
问题解决
任务1:确定弹珠路径.请在图2中以O点为原点建立直角坐标系,并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2:确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域Ⅰ内,该弹簧装置向上移动的距离d要满足什么条件?
任务3:灵活变通.根据同学们的实际游戏情况,上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内,希望作出调整.现做出如下改动,在任务1的基础上,先将装置向上移动0.3米,再通过左右移动三块挡板(区域Ⅰ和区域Ⅱ的宽度不改变),让弹珠落入得分更高的区域Ⅱ内,请计算挡板3横坐标的取值范围.
【答案】任务1:(x≥0);任务2:;任务3:.
【分析】任务1:设此抛物线的解析式为y=a(x﹣h)2+k,由题意得顶点,对称轴为直线x=0,且经过,分别代入,即可求解;
任务2:设抛物线为,把、分别代入,即可求解;
任务3:根据题意,得知,可得,通过挡板2的高度解得其横坐标为,因区域I和区域II的宽度不改变,推出挡板1的横坐标和纵坐标,得抛物线不被挡板1挡住,将挡板3的高度代入抛物线,得横坐标,结合区域II的宽度即可求解.
【解答】解:任务1:根据题意,得:抛物线的顶点,对称轴为直线x=0,
∴设此抛物线为y=a(x﹣h)2+k,即,
∵此抛物线经过挡板1顶部,
∴即过点,代入,
解得:,
∴此抛物线的解析式为(x≥0);
任务2:∵该弹簧装置向上移动,
∴设,
∵想让弹珠飞出后落入区域I内,且挡板2,
∴把代入,
解得:,
∵把挡板1代入,
解得:c=0,
∴;
任务3:∵装置向上移动0.3米,
∴,
∴得,
∴当时,解得:(负值舍去),
∵区域I和区域II的宽度不改变,
∴此时挡板1的横坐标为,,不会被挡板1挡住,
∵当时,
解得:(负值舍去),
∵挡板2的横坐标为,
∴,
∴.
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