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2025年广东省东莞市佳美实验学校、众美中学、莞美学校三校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数.如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作( )
A. 年 B. 年 C. 2025年 D. 2523年
2.抗日战争时期，我国“四万万同胞”同仇敌忾，经过十四年艰苦卓绝的抗战，终于取得了最后的胜利.数据“四万万”即400000000用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
3.若是方程的一个解，则m的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
4.在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是( )
A. B. C. D.
5.下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 正五边形
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，，点B，O，D在同一直线上．若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
8.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D.
9.如图，的半径为，以圆外一点A为圆心，画半径为4的弧，将截成弧长相等的两部分，则A，B两点的距离为( )
A.
B.
C. 3
D.
10.如图1，线段OP表示一条拉直平铺的细线细线无弹性，A，B两点在线段OP上，且OA：：6，OB：：若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2所示，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是( )
A. 1：1：2 B. 2：2：5 C. 2：3：4 D. 2：3：5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.抛物线向上平移2个单位长度，平移后的抛物线解析式为______.
12.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则______填“>”“<”或“=”
13.分式方程的解为______.
14.阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知，那么______.
15.如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题7分
计算：
17.本小题7分
如图，在中，
实践与操作：利用尺规过点C作的高CF，F为垂足；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
应用与计算：在的条件下，若，求的度数.
18.本小题7分
物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计
求绳子的总长度；
如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离.
19.本小题9分
心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等.
评委丙给2班的打分是______分；
班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分；
若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜.
20.本小题9分
随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设.据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩.已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元.
求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元；
若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩.
21.本小题9分
综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒
如图1，正方形纸片ABCD的边长为12，在正方形ABCD内部作等边三角形ABE，连接DE，
求证：
如图2，在等边三角形ABE的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线把三个矩形折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒纸盒厚度忽略不计
①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围；
②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.
22.本小题13分
如图1，是的外接圆，AC是直径，弦AP与BC交于点E，OP与BC交于点Q，
求证：PH是的切线；
若，，，求劣弧PC的长；
如图2，，于点D，交AE于点F，EF绕点E顺时针旋转得到EG，点G恰好在线段OC上，求证：
23.本小题14分
如图1，矩形ABCD的两个顶点A，B分别落在x，y轴上，顶点C，D位于第一象限，对角线AC，BD交于点G，，，若双曲线经过点C，
求k的值；
点M，N分别在射线AB、射线DA上，满足，，求的度数；
如图2，若抛物线的顶点P是线段AC上一动点，与x轴交于点K，L，过点P作轴于点H，当取得最大值时，求此时的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：公元前500年记作年，
公元前为“-”，
公元后为“+”，
公元2025年就是公元后2025年，
公元2025年应记作2025年．
故选：
根据相反意义的量进行求解即可．
本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：是方程的一个解，
，解得，
故选：
将方程的解代入方程中求解即可．
本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得：
，
故选：
根据概率的运算方式直接运算即可．
本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.正五边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6.【答案】C
【解析】解：，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意，
故选：
根据合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘逐一判断各选项，可得到结果．
本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握各运算性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：，，
，
点B，O，D在同一直线上，
，
故选：
利用，，进而求出的度数，利用平角的定义可知，即可求出的度数．
本题考查了角的概念，做题关键是要掌握平角的定义．
8.【答案】A
【解析】解：两函数图象相交于A、B两点，
当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
不等的解集为：或，
故选：
根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式的解集，此题得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，
由条件可知CD为直径，
，，
垂直平分CD，
，
，
故选：
由将截成弧长相等的两部分得CD为直径，根据题意可得，，则AB垂直平分CD，然后根据勾股定理即可求解．
本题考查了圆的有关概念，垂直平分线的定义，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设OB的长度为3a，则BP的长度为7a，OP的长度为10a，
：：6，
，，
，
如图2，再从图2的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
分成三段为，，，
这三段从小到大的长度分别是：2a、3a、5a，
此三段细线由小到大的长度比为：2a：3a：：3：5，
故选：
根据题意设OB的长度为3a，则BP的长度为7a，OP的长度为10a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
11.【答案】
【解析】解：将抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线的表达式为
故答案为：
根据平移规律即可求出新抛物线的解析式．
本题主要考查了二次图象的几何变换．掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
12.【答案】<
【解析】解：由题意得：，，
，
故答案为：
根据题意得：且，然后根据有理数的加法法则进行计算，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，有理数的加法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
故答案为：
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义，属于基础题．
根据定义即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：原式，
故答案为：
15.【答案】15
【解析】解：在矩形ABCD中，点E为边AD上一个动点，，，
设，则，
，
，
，
，
，
故答案为：
设，利用矩形和三角形的面积转化列式运算即可．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟悉掌握矩形的相关性质是解题的关键．
16.【答案】解：

【解析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值和二次根式，再进行相加减即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
17.【答案】作图见解析；

【解析】解：的高CF，如图即为所求；
在中，，，
，
，
，
根据高的尺规作图方法作图即可；
利用等腰三角形的性质列式运算即可．
本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质，熟悉掌握高的作法是解题的关键．
18.【答案】18dm；

【解析】解：物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，，
设 dm，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
绳子长度；
如图2，
若物体C升高7dm，则此时，
在中，由勾股定理得：，
，
答：滑块B向左滑动的距离为
利用勾股定理运算求解即可；
利用勾股定理运算求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．
19.【答案】10；
9，；
2班班能够获胜．
【解析】解：两个班的平均分相等．
评委丙给2班的打分是分，
故答案为：10；
由条形统计图知，1班成绩9分最多，
班成绩的众数是9分，
2班成绩的中位数分，
故答案为：9，；
由题意，甲评委老师的评分占比为，
乙评委老师的评分占比为，
丙评委老师的评分占比为，
丁评委老师的评分占比为，
班的最终得分为分，
2班的最终得分为分，
所以2班班能够获胜．
根据平均数相等即可得出答案；
由众数和中位数的定义求解即可；
根据加权平均数的定义列式计算，从而得出答案．
本题考查了条形统计图、众数、中位数、平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元；
总成本不超过54万元，最多能安装20个甲型充电桩．
【解析】解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，
，
，
答：每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元．
设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个，
，
，
最多能安装20个甲型充电桩．
答：总成本不超过54万元，最多能安装20个甲型充电桩．
设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，根据“安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元”列出方程组求解即可；
设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个，根据“总成本不超过54万元”列出不等式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程组和不等式求解即可．
21.【答案】证明见解析；
，；②最大值为
【解析】证明：四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
，，，
，，
，
①如图所示，设高，则，，
底边长，
，
，
即
②根据题意，得无盖盒子的侧面积为：
，
，，
当时，纸盒侧面积最大，此时最大值为
依据等角对等边，证即可；
①设高，则，，进而利用即可得解；
②由题意可得侧面积为，据此求解即可．
本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22.【答案】证明见解析过程；
劣弧PC的长为；
证明见解析过程．
【解析】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
劣弧PC的长为；
证明：过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N，
由旋转的性质知，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
根据圆周角定理求得，再证明，推出，即可证明PH是的切线；
利用垂径定理求得，证明∽，求得，利用特殊角的三角函数值求得，推出是等边三角形，据此求解即可；
过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N，证明≌，得到，，根据三角函数的定义求得，推出，，据此求解即可．
本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23.【答案】14；
；

【解析】解：如图1，作轴于点E，
由题意可得：，，，，
，
轴，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，
设，则，
，
又，，
，
，
解得：，舍去，
，，
代入到得，，
的值为
解：由得，，，，
，，
矩形ABCD，
，，，
，
，
，
，D，N，M四点共圆，记圆心为Q，且CN为圆Q的直径，
又，
平分DM，
垂直平分DM，
，，
又，
≌，
，
，，
，
又，
∽，
，
在中，，
，
，D，N，M四点共圆，
，
，
的度数为
解：，，，
抛物线，
顶点，
顶点P是线段AC上一动点，
，
轴，
，
令，则，
则，，
由题意可得：，
，
当时，有最大值4，此时，
此时
作轴于点E，利用矩形的性质推出∽，得到，设，则，表示出，再代入C、G到双曲线解出a的值，即可得出k的值；
根据垂直的定义和矩形的性质得到，得出C，D，N，M四点共圆，记圆心为Q，且CN为圆Q的直径，利用垂径定理得出CN垂直平分DM，则有≌，得到，再通过证明∽得到，在中利用正弦的定义得出，求出的度数，再利用圆内接四边形的性质即可求解；
根据二次函数的性质得到顶点，，结合轴得到，则有，可知当时，取得最大值，再利用三角形的面积公式即可求出此时的面积．
本题主要考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、圆内接四边形的性质、解直角三角形、求抛物线与x轴的交点、熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生．

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