资源简介

2025年中考数学高频易错考前冲刺：锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024 博兴县一模）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
3．（2024 昭通）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 陆川县模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
6．（2024 广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC，则BC的长是（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
8．（2024 德清县自主招生）如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
9．（2023 杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2024 绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共5小题）
11．（2024 上海）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 　 　．
12．（2024 枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝　 　．
13．（2024 信丰县自主招生）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 　 　．
14．（2024 曲靖模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 　 　．
15．（2024 宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是　 　m（结果保留根号）
三．解答题（共5小题）
16．（2024 蜀山区校级一模）计算：（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．
17．（2024 遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
18．（2024 黔南州）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732）
19．（2024 陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
20．（2024 深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
2025年中考数学高频易错考前冲刺：锐角三角函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B D D D A C D
一．选择题（共10小题）
1．（2024 博兴县一模）如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题；几何直观．
【答案】B
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CDa，
因而sinA．
故选：B．
【点评】求三角函数值的问题一般要转化为直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．
2．（2024 凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
【考点】解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】A
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD2，BD，
∴tanA，
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
3．（2024 昭通）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．
在Rt△BCD中，tanB，
∴tanB′＝tanB．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
4．（2024 南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB，AC3，
∵S△ABCAC BD3 BD1×3，
∴BD，
∴sin∠BAC．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
5．（2024 陆川县模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】首先证明△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A＝45°，AC＝AB，过C作CD⊥AB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面积．
【解答】解：如图，∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∵∠ECB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD＝1．
∵sin∠A，
∴AB，
∴S△ABCAB×CD，
∴折叠后重叠部分的面积为cm2．
故选：D．
【点评】此题考查了正弦的概念和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中．
6．（2024 广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【答案】D
【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由勾股定理得OA5，
所以cosα．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
7．（2024 湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC，则BC的长是（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】D
【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC．
【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（2024 德清县自主招生）如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】A
【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．
【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，
∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．
∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，
∴△NAB≌△EAB．
设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，
∴xa．
∴tan∠AEB＝tan∠BNM3．
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．
9．（2023 杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．
【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα，tanβ，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解题的关键．
10．（2024 绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】解直角三角形；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】设DE交AC于T，过点E作EH⊥CD于H．首先证明EA＝ED＝EC，再证明∠B＝∠ECD，可得结论．
【解答】解：设DE交AC于T，过点E作EH⊥CD于H．
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝DB＝DC，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠B＝∠ADE，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∴∠DTC＝∠BAC＝90°，
∵DT∥AB，BD＝DC，
∴AT＝TC，
∴EA＝EC＝ED，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵EH⊥CD，
∴CH＝DH，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠ECD＝∠B，
∴cos∠ECH＝cosB，
∴，
∴2，
方法二：证△AED∽△ADB，从而得AE：AD＝AD：AB＝2：1，再证ED为AC的垂直平分线，得EC＝ED＝AE，等量代换得CE：AD＝2：1．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明EA＝EC＝ED，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 上海）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 　44　．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB（180°﹣∠BAC）＝75°，再根据旋转的性质得AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E＝45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CHAC＝4，AHCH＝4，所以DH＝AD﹣AH＝8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E＝45°得到EH＝CH＝4，于是可得DE＝EH﹣DH＝44．
【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB＝AC＝8，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣30°）＝75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠E，
∴∠E＝75°﹣30°＝45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，
∴CHAC＝4，AHCH＝4，
∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，
在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝4，
∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝44．
故答案为44．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．
12．（2024 枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝　2　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD＝tanA可得答案．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC4，
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．
13．（2024 信丰县自主招生）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 　2　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
14．（2024 曲靖模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 　　．
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，
tanα
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．（2024 宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是　（39）　m（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD，求出BD的值，最后根据AB＝AD+BD，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD，
∴tan30°，
∴，
∴AD＝3m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝9m，
∴AB＝AD+BD＝（39）m，
故答案为：39．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 蜀山区校级一模）计算：（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．
【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】存在型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及零指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝22﹣41，
＝22﹣21，
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．
17．（2024 遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB sin∠BAD＝2010（海里），
在Rt△BCD中，BC20（海里）．
答：此时船C与船B的距离是20海里．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
18．（2024 黔南州）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．
【解答】解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i：3，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD10米，
∴AD＝BD﹣AB＝（1010）米≈7.32米，
∵3+7.32＝10.32＞10，
∴需要拆除．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
19．（2024 陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴即，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
20．（2024 深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝8×4＝32（米），
∴AD＝CD＝16（米），BD＝AB cos30°＝16（米），
∴BC＝CD+BD＝（1616）米，
则BH＝BC sin30°＝（88）米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑