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11．3.2　余弦定理、正弦定理的应用
综合运用正、余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．
活动一 距离问题
例1　隔河可看到两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(点A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
在三角形中，知道了一边及三个角的大小，一般用正弦定理求出其他的边长．若在三角形中，知道了两边一夹角，利用余弦定理求出第三边的长度．
如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，计划沿直线AC开通穿山隧道．为求出隧道DE的长度，在山顶P处测得三点的俯角分别为α，β，γ，测得AD＝m，EB＝n，BC＝p.用以上数据(或其中的部分数据)表示隧道DE的长度．
活动二　角度问题　
例2　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在点A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10n mile的点C处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以9n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间．(角度精确到0.1°，时间精确到1min)
对于实际中的角度问题，要分清方向角、方位角、俯角、仰角等概念．
甲船在点A处发现乙船在北偏东60°的点B处，测得乙船以a n mile/h的速度向正北方向行驶，甲船以a n mile/h的速度追击，问甲船如何航行才能最快地与乙船相遇？
活动三　高度问题　
例3　测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.
解三角形在实际中的运用，需要根据题意找到对应的三角形中的关系，再利用正、余弦定理求解．
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到点A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达点B处，测得此山顶在北偏西30°方向上．
(1) 求此山CD的高度；
(2) 设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ.
活动四　综合应用　
例4　如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上的任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，首先要在理解题意的基础上，将实际问题数学化，然后利用有关定理、性质、公式解决这个数学问题．步骤如下：分析题意→画示意图→化成数学问题→运用有关知识解决(计算).
如图，有一个三角形的绿地ABC，其中AB的长为7 m，由点C看AB的张角为45°，在AC边上一点D处看AB的张角为60°，且AD＝2DC，求这块绿地的面积．
1. (教材改编)第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20 km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB＝60°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠ADB＝60°，则A，B两个基站的距离为(　　)
A. 10 km B. 30(－1)km C. 15 km D. 10 km
2. (2024湖北月考)如图，河边有一座塔OP，其高为20 m，河对面岸上有A，B两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，在塔底部O处测得A，B两点形成的视角为150°，则A，B两点之间的距离为(　　)
A. 10 m B. 10 m
C. 20 m D. 10 m
3. (多选)(教材改编)一艘轮船航行到点A处时看灯塔B在点A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在点A的北偏西30°方向上，距离为6 n mile，该轮船从点A处沿正北方向继续航行到点D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则下列结论中正确的是(　　)
A. AD＝12 n mile B. CD＝6 n mile
C. ∠CDA＝60°或∠CDA＝120° D. 灯塔C在D处的南偏西60°方向上
4. (2024泰州期中)如图，某人在点O处测量到远处有一物体在做匀速直线运动，速度为 m/min，开始时刻物体位于点P处，1 min后其位置在点Q处，且∠POQ＝90°，再过1 min，该物体位于点R处，且∠QOR＝30°，此时OR＝________m.
11．3.2　余弦定理、正弦定理的应用(2)
【活动方案】
例1　由题意，得∠CBD＝60°，∠CAD＝30°.
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
所以BC＝×sin 75°＝.
在△ACD中，∠CAD＝∠CDA＝30°，
所以AC＝CD＝.
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 75°＝3＋－2×××＝5，
所以AB＝，
故两目标A，B之间的距离为 km.
跟踪训练　在△PBC中，∠BPC＝β－γ，∠PBC＝π－β，∠PCB＝γ，
则由正弦定理，得＝，
整理，得PC＝.
在△PAC中，∠PAC＝α，∠APC＝π－α－γ，
则由正弦定理，得＝，
整理，得AC＝，
则DE＝AC－AD－EB－BC＝－m－n－p.
例2　设舰艇收到信号后xh在点B处靠拢渔轮，则AB＝21x，BC＝9x.
又AC＝10，∠ACB＝45°＋(180°－105°)＝120°.
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB，
即(21x)2＝102＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，
化简，得36x2－9x－10＝0，
解得x＝(负值舍去)， h＝40 min.
由正弦定理，得sin ∠BAC＝＝＝，　
所以∠BAC≈21.8°，
方位角为45°＋21.8°＝66.8°，
故舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过40min 就可靠拢渔轮．
跟踪训练　设两船在点C处相遇，甲船经过t h追上乙船.
因为甲船在点A处发现乙船在北偏东60°的点B处，所以B＝120°.
设甲船航行方向为北偏东θ，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin (60°－θ)＝，
所以θ＝30°，
所以甲船沿北偏东30°方向航行才能最快与乙船相遇．
例3　在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan ∠ACB＝s·tan 30°＝s，
故塔高AB为s.
跟踪训练　(1) 设此山高h km，则AC＝.
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4.
由正弦定理，得＝，
即＝，
解得h＝2(＋)(km).
(2) 由题意可知，当点C到公路距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，
所以过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE，
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，
所以tan θ＝＝.
例4　设∠AOB＝α.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB＝22＋12－2×1×2×cos α＝5－4cos α，
则S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC
＝OA·OB·sin α＋AB2
＝×2×1×sin α＋(5－4cos α)
＝sin α－cos α＋
＝2sin ＋.
因为0<α<π，所以当α－＝，即∠AOB＝α＝时，四边形OACB的面积最大．
跟踪训练　设DC＝x m，则AD＝2xm.
因为C＝45°，∠ADB＝60°，
所以∠CBD＝15°.
在△BCD中，由正弦定理，得BD＝·x＝·x＝(＋1)x.
在△ABD中，AB＝7，AD＝2x，∠BDA＝60°，
根据余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，
即49＝4x2＋(＋1)2x2－2·2x·(＋1)x·，
解得x＝，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝AD·BD·sin ∠ADB＋BD·DC·sin∠BDC＝(m2)，
故这块绿地的面积为 m2.
【检测反馈】
1. A　在△ACD中，∠CAD＝180°－105°－30°＝45°，由正弦定理，得＝，则AD＝＝＝10(＋1)(km).在△BCD中，易知∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，所以∠CBD＝45°，则BD＝CD＝20 km.在△ABD中，由余弦定理可得AB＝＝＝10(km).
2. C　因为在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，所以在Rt△PAO中，∠PAO＝45°，得OA＝OP＝20 m.在Rt△PBO中，∠PBO＝30°，得OB＝＝20m.在△AOB中，由题意，得∠AOB＝150°，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos ∠AOB＝400＋1 200－2×20×20×＝2 800，解得AB＝20 m.
3. ABD　如图，由题意，得∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∠DAC＝30°，AB＝12 n mile，AC＝6 n mile，则B＝45°.由正弦定理可得＝，则AD＝＝＝12(n mile)，故A正确；对于B，由余弦定理可得CD＝＝＝6(n mile)，故B正确；由AC2＋CD2＝AD2，得AC⊥CD，则∠CDA＝60°，所以灯塔C在点D处的南偏西60°方向上，故C错误，D正确．故选ABD.
4. 4　在△OPR中，由正弦定理，得＝，即OR＝＝＝；在△OQR中，由正弦定理，得＝，即OR＝＝＝＝2cos P，所以＝2cos P，可得tan P＝，所以在Rt△POQ中，有tan P＝＝.又OQ2＋OP2＝PQ2＝7，解得OQ＝，OP＝2，sin P＝，cos P＝，所以OR＝2cos P＝2×＝4(m).

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