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2.1两条直线的位置关系小节复习题
题型01 平面内两直线的位置关系
1.同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
2.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定
3.如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（ ）
A．a B．b C．m D．n
题型02 对顶角的定义
1.如图，与是对顶角的为（ ）
A．B．C．D．
2.下面四个图形中，与是对顶角的为（ ）
A．B．C．D．
3.下面四个图形中，与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 利用对顶角相等求角
1.如图，直线a、b相交，，则 度．
【变式训练】
2.如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ．
3.已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度．
题型04 求一个角的余角
1.已知，则的余角大小是 ．
2.已知，那么的余角度数为 ．
3.已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“>” “<”或“=”）
题型05 求一个角的补角
1.已知，那么的补角等于 ．
2.若，则的补角的余角为 ．
3.已知点在点的南偏西方向上，点在点的北偏西方向上，则的补角的度数为 ．
题型06 对顶角、余角、补角的综合
1.如图，平分，平分．若．
(1)求出的度数；
(2)判断与是否互补，并说明理由．
2.如图，直线相交于点．
(1)若，则的余角有__________．
(2)若，求和的度数．
3.如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，．
(1)若，则的度数为___________；
(2)若，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数．
题型07 与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题
1.如图，O是直线上的一点，将一直角三角尺如图摆放，过点O作射线平分．将直角三角尺绕点O顺时针旋转，回到图①的位置时停止旋转，探究在旋转过程中与之间的数量关系．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，直角边在直线的上方，若，其他条件不变，请求出的度数．
2.如图，点O为直线上一点，过点O 作射线，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 在射线上，另一边在直线的下方．
(1)求图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边在的内部，且恰好平分求的度数．
(2)将图①中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
3.定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角．
(1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角；
(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；
(3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？
题型08 与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题
1.设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”．
(1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)若，，且，是一对“分补角”，求的值；
(3)如图，．若和是一对“分补角”，直接写出的所有可能值．
2.已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”．
例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”．
(1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”；
(2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________；
(3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数．
3.如图1，已知射线．
(1)若，且，求的度数．
(2)若是的平分线，是的平分线，求的度数．
(3)若分别是和
的平分线，，求的度数．
(4)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．
①若平分，且为的“分余线”，则　 　；
②如图2，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数．
参考答案
题型01 平面内两直线的位置关系
1.C
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；
故选C．
2.A
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论．
【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，
故选：A．
3.B
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断，
本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义．
【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线，
其中只有b的延长线不与l相交，
∴．
故选：B．
题型02 对顶角的定义
1.C
【知识点】对顶角的定义
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可．
本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是．
故选C．
2.C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可．
【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；
D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
3.C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可．
【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角，
故选：C．
题型03 利用对顶角相等求角
1.140
【知识点】对顶角相等
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键．
先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可．
【详解】解：∵，（对顶角相等），
，
．
故答案为：140．
2. 37 53
【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等
【分析】由邻补角定义即可得出结果；由对顶角相等得出，由角平分线定义即可得出结果；求出，即可得出的度数．本题考查了对顶角相等的性质以及角平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
【详解】解：，平分，
；
∵
，
．
故答案为：37，53
3.或
【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键．
根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答．
【详解】解：分为两种情况：
如图：
，
，
又，
，
；
如图：
，
，
，
，
又直线和相交于点，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
题型04 求一个角的余角
1.
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了互为余角的概念，根据互为余角的两个角的和为作答即可，熟记和为的两个角互为余角是解题的关键．
【详解】解：根据余角定义可得：，
故答案为：．
2.
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的换算．根据余角的定义可知的余角为，计算时应首先从中取出化为，然后让分和分相减、度和度相减即可．
【详解】解：的余角为：．
故答案为： ．
3.
【知识点】角的比较、求一个角的余角
【分析】本题考查网格特征、余角的定义、角的和差关系及大小比较等知识点，熟练掌握网格特征是解题关键．如图，取格点格点、，连接、、、，根据网格特征可得四边形是正方形，，，根据余角得定义得出，根据角的和差关系即可比较、的大小，可得答案．
【详解】解：如图，取格点格点、，连接、、、，
由网格特征可知：，，四边形是正方形，
∴，，
∵的余角为，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
题型05 求一个角的补角
1.
【知识点】求一个角的补角
【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可直接求解，熟练掌握补角的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴的补角等于，
故答案为：．
2.
【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】本题考查求补角和余角，由互补定义“互补的两个角和为”即可求出的补角，再由互余定义“互余的两个角和为”即可求出的补角的余角．熟记互余、互补定义是解决问题的关键．
【详解】解：，
的补角为，
则的补角的余角为，
故答案为：．
3.
【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的补角
【分析】本题考查了方向角，补角的定义，正确画出图形是解题的关键．根据方向角的定义，画出图形得到即可求解．
【详解】如图所示，
所以，
所以的补角为．
故答案为：.
题型06 对顶角、余角、补角的综合
1.（1）解：∵平分．，
∴，
∵，
∴；
（2）解：与互补．理由：
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
故与互补．
2.（1）解：，，
，即，
∵，
的余角有：，；
故答案为：，；
（2）解：，
，
，，
∴，
，
∴．
3.（1）平分，
．
，
同理，，
，
．
（2）由题可知，，
．
，
，
由题可知为平角，
，
即，
，
的度数为．
（3）当在内部时，如图①，
则．
；
当在外部时，如图②，
则，
．
综上所述，的度数为或．
题型07 与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题
1.（1）解：因为，
所以．
因为平分，所以．
因为，
所以；
（2）解：因为，
所以．
因为平分，
所以，
因为，
所以．
2.（1）解：∵平分， ，
，
；
（2）解：，理由如下，
∵ ，
∴,
,，
，
,
即与的数量关系为：．
3.（1）解：∵，
∴，
∴和互为垂角；
（2）解：设这个锐角的度数为，则，它的垂角是，
，
解得，
∴这个角的度数是；
（3）解：分四种情况：
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得（舍去）；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得，
综上，当t的值为2或14或26时，和互为垂角．
题型08 与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题
1.（1）解：如图，∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，不是一对“分补角”，
故答案为：，不是；
（2）解：∵，、是一对“分补角”，
∴不可能在内部，
如图，∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，是一对“分补角”，
∴，
即，
解得；
（3）解：当在内部时，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
当时，，
∴；
当时，；
当在外部时，
①当为钝角时，如图，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当为锐角时，如图，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴；
综上，的可能值为或或或．
2.（1）解：∵，射线在的内部，且，
∴
∴
∴射线是的“角余分线”；
故答案为：是．
（2）解：∵射线平分，设
∴
又∵射线是的“角余分线”，
∴
∴
∴
故答案为：．
（3）解：∵射线是的角平分线，
∴，
设，
则
∵射线是的“角余分线”，
∴或
∴，即①；或即②；
∵射线是的角余分线，
∴或
∴③或，即④
当，时（即①③成立），如图所示
∴
解得：
∴；
当，时（即①④成立），如图所示，
∴
解得：
∴；
当，时（即②③成立），如图所示
∴
解得：
∴；
当，时（即②④成立），如图所示
∴
解得：
∴；
∵，
∴，则在的外部，不是的角余分线，不合题意，舍去
综上所述，或或
3．（1）
解： ，，
，
，
∴∠COD=20 ，
；
（2）是的平分线，
，
是的平分线，
∴，
，
，
；
（3）
如图：
，
∴设，
分别是和的平分线，
，，
，
，
即：，
解得：，
；
（4）①平分，且为的“分余线”，
，且，
，
，
，
故答案为：；
②如图2，
为的平分线，
，
为的“分余线”，
或，
若时，
令，
则，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
若时，
令则，
，
，
，
解得：，
综上所述，为或．

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