资源简介
2025年中考数学复习高频易错考前预测:一次函数
一.选择题(共10小题)
1.(2024 黔西南州)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是( )
A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③
2.(2024 西宁)同一平面直角坐标系中,一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示,则满足y1≥y2的x取值范围是( )
A.x≤﹣2 B.x≥﹣2 C.x<﹣2 D.x>﹣2
3.(2024 通川区校级期末)如图,两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是( )
A. B.
C. D.
4.(2024 罗平县一模)若bk<0,则直线y=kx+b一定通过( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
5.(2024 碑林区期末)一次函数y=kx+b图象经过(1,1),(2,﹣4),则k与b的值为( )
A. B. C. D.
6.(2024 白银期末)关于函数y=﹣2x+1,下列结论正确的是( )
A.图象必经过(﹣2,1)
B.y随x的增大而增大
C.图象经过第一、二、三象限
D.当x时,y<0
7.(2024 连云港)如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列结论错误的是( )
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
8.(2024 市中区一模)如图,已知点A(﹣1,0)和点B(1,2),在y轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足条件的点P共有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9.(2023秋 宣汉县期末)已知函数y=(m+1)是正比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
10.(2024 雁塔区校级四模)已知函数y=(m+1)是正比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
二.填空题(共5小题)
11.(2024 梧州)把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是 .
12.(2024 威海)如图,点A、B的坐标分别为(0,2),(3,4),点P为x轴上的一点,若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上,则点P的坐标为 .
13.(2024 青岛期末)如图,已知a,b,c分别是Rt△ABC的三条边长,∠C=90°,我们把关于x的形如y的一次函数称为“勾股一次函数”,若点P(1,)在“勾股一次函数”的图象上,且Rt△ABC的面积是5,则c的值是 .
14.(2024 北海)如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=2x﹣4上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是 .
15.(2024 黄石模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A(6,0),点B(0,2),点P是直线y=﹣x﹣1上一点,且∠ABP=45°,则点P的坐标为 .
三.解答题(共5小题)
16.(2024 聊城)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
17.(2024 聊城)甲、乙两车从A地驶向B地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象.
(1)求出图中m,a的值;
(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式,并写出相应的x的取值范围;
(3)当乙车行驶多长时间时,两车恰好相距50km.
18.(2024 惠来县期末)如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,6)的直线AB与直线OC相交于点C(2,4)动点P沿路线O→C→B运动.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当△OPB的面积是△OBC的面积的时,求出这时点P的坐标;
(3)是否存在点P,使△OBP是直角三角形?若存在,直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
19.(2024 沈河区期末)如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,4),交x轴于点B.
(1)求直线AB的表达式和点B的坐标;
(2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线l上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为n.
①用含n的代数式表示△ABP的面积;
②当S△ABP=8时,求点P的坐标;
③在②的条件下,以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC,求点C的坐标.
20.(2024 河南)某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
2025年中考数学复习高频易错考前预测:一次函数
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2024 黔西南州)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是( )
A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③
【考点】一次函数的应用.
【专题】行程问题.
【答案】A
【分析】易得乙出发时,两人相距8m,除以时间2即为甲的速度;由于出现两人距离为0的情况,那么乙的速度较快.乙100s跑完总路程500可得乙的速度,进而求得100s时两人相距的距离可得b的值,同法求得两人距离为0时,相应的时间,让两人相距的距离除以甲的速度,再加上100即为c的值.
【解答】解:甲的速度为:8÷2=4(米/秒);
乙的速度为:500÷100=5(米/秒);
b=5×100﹣4×(100+2)=92(米);
5a﹣4×(a+2)=0,
解得a=8,
c=100+92÷4=123(秒),
∴正确的有①②③.
故选:A.
【点评】考查一次函数的应用;得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点;得到相应行程的关系式是解决本题的关键.
2.(2024 西宁)同一平面直角坐标系中,一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示,则满足y1≥y2的x取值范围是( )
A.x≤﹣2 B.x≥﹣2 C.x<﹣2 D.x>﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式.
【答案】A
【分析】观察函数图象得到当x≤﹣2时,直线l1:y1=k1x+b1都在直线l2:y2=k2x的上方,即y1≥y2.
【解答】解:当x≤﹣2时,直线l1:y1=k1x+b1都在直线l2:y2=k2x的上方,即y1≥y2.
故选:A.
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了观察函数图象的能力.
3.(2024 通川区校级期末)如图,两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是( )
A. B.
C. D.
【考点】一次函数的图象.
【答案】A
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项,找k、b取值范围相同的即得答案.
【解答】解:根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得:
A、由图可得,y1=kx+b中,k<0,b>0,y2=bx+k中,b>0,k<0,符合;
B、由图可得,y1=kx+b中,k>0,b>0,y2=bx+k中,b<0,k>0,不符合;
C、由图可得,y1=kx+b中,k>0,b<0,y2=bx+k中,b<0,k<0,不符合;
D、由图可得,y1=kx+b中,k>0,b>0,y2=bx+k中,b<0,k<0,不符合;
故选:A.
【点评】此题考查一次函数的图象问题,解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.
4.(2024 罗平县一模)若bk<0,则直线y=kx+b一定通过( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【专题】常规题型.
【答案】D
【分析】根据题意讨论k和b的正负情况,然后可得出直线y=kx+b一定通过哪两个象限.
【解答】解:由bk<0,知①b>0,k<0;②b<0,k>0,
①当b>0,k<0时,直线经过第一、二、四象限,
②b<0,k>0时,直线经过第一、三、四象限.
综上可得函数一定经过一、四象限.
故选:D.
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限.k<0时,直线必经过二、四象限.b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.
5.(2024 碑林区期末)一次函数y=kx+b图象经过(1,1),(2,﹣4),则k与b的值为( )
A. B. C. D.
【考点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征.
【专题】待定系数法.
【答案】C
【分析】由于一次函数y=kx+b图象经过(1,1),(2,﹣4),应用待定系数法即可求出函数的解析式.
【解答】解:把(1,1),(2,﹣4)代入一次函数y=kx+b,
得,
解得:.
故选:C.
【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式,只需把所给的点的坐标代入即可.
6.(2024 白银期末)关于函数y=﹣2x+1,下列结论正确的是( )
A.图象必经过(﹣2,1)
B.y随x的增大而增大
C.图象经过第一、二、三象限
D.当x时,y<0
【考点】一次函数的性质.
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质,依次分析选项可得答案.
【解答】解:根据一次函数的性质,依次分析可得,
A、x=﹣2时,y=﹣2×﹣2+1=5,故图象必经过(﹣2,5),故错误,
B、k<0,则y随x的增大而减小,故错误,
C、k=﹣2<0,b=1>0,则图象经过第一、二、四象限,故错误,
D、当x时,y<0,正确;
故选:D.
【点评】本题考查一次函数的性质,注意一次函数解析式的系数与图象的联系.
7.(2024 连云港)如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列结论错误的是( )
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
【考点】一次函数的应用.
【专题】压轴题.
【答案】C
【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20,一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系为z=﹣t+25,当0≤t≤24时,设产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系为y,根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,即可进行判断.
【解答】解:A、根据图①可得第24天的销售量为200件,故正确;
B、设当0≤t≤20,一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系为z=kt+b,
把(0,25),(20,5)代入得:,
解得:,
∴z=﹣t+25,
当t=10时,y=﹣10+25=15,
故正确;
C、当0≤t≤24时,设产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系为y=k1t+b1,
把(0,100),(24,200)代入得:,
解得:,
∴y,
当t=12时,y=150,z=﹣12+25=13,
∴第12天的日销售利润为:150×13=1950(元),第30天的日销售利润为:150×5=750(元),
750≠1950,故C错误;
D、第30天的日销售利润为:150×5=750(元),故正确.
故选:C.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式.
8.(2024 市中区一模)如图,已知点A(﹣1,0)和点B(1,2),在y轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足条件的点P共有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【考点】一次函数综合题.
【专题】代数综合题.
【答案】B
【分析】当∠BPA=90°时,即点P的位置有2个;当∠ABP=90°时,点P的位置有1个;当∠BAP=90°时,在y轴上共有1个交点.
【解答】解:①以A为直角顶点,可过A作直线垂直于AB,与y轴交于一点,这一点符合点P的要求;
②以B为直角顶点,可过B作直线垂直于AB,与y轴交于一点,这一点也符合P点的要求;
③以P为直角顶点,与y轴共有2个交点.
所以满足条件的点P共有4个.
故选:B.
【点评】主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定.要把所有的情况都考虑进去,不要漏掉某种情况.
9.(2023秋 宣汉县期末)已知函数y=(m+1)是正比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
【考点】正比例函数的定义.
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义,正比例函数的性质,可得答案.
【解答】解:由题意,得
m2﹣3=1,且m+1<0,
解得m=﹣2,
故选:B.
【点评】本题考查了正比例函数,利用正比例函数的定义得出方程是解题关键,注意比例系数是负数.
10.(2024 雁塔区校级四模)已知函数y=(m+1)是正比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
【考点】正比例函数的定义;正比例函数的性质.
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义得出m2﹣3=1,m+1<0,进而得出即可.
【解答】解:∵函数y=(m+1)是正比例函数,且图象在第二、四象限内,
∴m2﹣3=1,m+1<0,
解得:m=±2,
则m的值是﹣2.
故选:B.
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义以及其性质,得出m+1的符号是解题关键.
二.填空题(共5小题)
11.(2024 梧州)把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是 m>1 .
【考点】一次函数图象与几何变换.
【专题】一次函数及其应用.
【答案】见试题解答内容
【分析】直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得:y=﹣x+3+m,求出直线y=﹣x+3+m与直线y=2x+4的交点,再由此点在第一象限可得出m的取值范围.
【解答】解:方法一:
直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得:y=﹣x+3+m,
联立两直线解析式得:,
解得:,
即交点坐标为(,),
∵交点在第一象限,
∴,
解得:m>1.
故答案为:m>1.
方法二:如图所示:
把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,
则m的取值范围是m>1.
故答案为:m>1.
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标,注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0.
12.(2024 威海)如图,点A、B的坐标分别为(0,2),(3,4),点P为x轴上的一点,若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上,则点P的坐标为 () .
【考点】一次函数综合题.
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据勾股定理AB的长,求得B′的坐标.然后用待定系数法求出直线B′B的解析式,由对称的性质得出AP⊥B′B,求出直线AP的解析式,然后求出直线AP与x轴的交点即可.
【解答】解:如图,连接AB、AB′,
∵A(0,2),B(3,4),
∴AB,
∵点B与B′关于直线AP对称,
∴AB′=AB,
在Rt△AOB′中,B′O3
∴B′点坐标为(﹣3,0)或(3,0),
∵点B(3,4)关于直线y=2的对称点B′(3,0),
点B(3,4)关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上,
∴B′点坐标为(3,0)不合题意舍去,
设直线BB′方程为y=kx+b
将B(3,4),B′(﹣3,0)代入得:,
解得k,b=2,
∴直线BB′的解析式为:yx+2,
∴直线AP的解析式为:yx+2,
当yAP=0时,x+2=0,
解得:x,
∴点P的坐标为:(),
故答案为:().
【点评】本题是一次函数综合题目,考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识;本题有一定难度,综合性强,由直线AB的解析式进一步求出直线AP的解析式是解决问题的关键.
13.(2024 青岛期末)如图,已知a,b,c分别是Rt△ABC的三条边长,∠C=90°,我们把关于x的形如y的一次函数称为“勾股一次函数”,若点P(1,)在“勾股一次函数”的图象上,且Rt△ABC的面积是5,则c的值是 5 .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【专题】一次函数及其应用.
【答案】见试题解答内容
【分析】依据题意得到三个关系式:a+b,ab=10,a2+b2=c2,运用完全平方公式即可得到c的值.
【解答】解:∵点P(1,)在“勾股一次函数”y的图象上,
∴,即a+b,
又∵a,b,c分别是Rt△ABC的三条边长,∠C=90°,Rt△ABC的面积是5,
∴ab=5,即ab=10,
又∵a2+b2=c2,
∴(a+b)2﹣2ab=c2,
即∴()2﹣2×10=c2,
解得c=5,
故答案为:5.
【点评】此类考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用,根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键.
14.(2024 北海)如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=2x﹣4上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是 (,) .
【考点】一次函数的性质;垂线段最短.
【专题】计算题;压轴题.
【答案】见试题解答内容
【分析】作AB′⊥BB′,B′即为当线段AB最短时的B点,求出AB′的解析式,与BB′的解析式组成方程组,求出其交点坐标即可.
【解答】解:设AB′解析式为y=kx+b,
∵AB′⊥BB′,BB′解析式为y=2x﹣4,k1×k2=﹣1,
∴2k=﹣1,
k,于是函数解析式为yx+b,
将A(﹣1,0)代入yx+b得,b=0,b,
则函数解析式为yx,
将两函数解析式组成方程组得,
,
解得,故B点坐标为(,).
故答案为(,).
【点评】本题考查了一次函数的性质和垂线段最短,找到B′点是解题的关键,同时要熟悉待定系数法求函数解析式.
15.(2024 黄石模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A(6,0),点B(0,2),点P是直线y=﹣x﹣1上一点,且∠ABP=45°,则点P的坐标为 (3,﹣4) .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【专题】一次函数及其应用;运算能力.
【答案】(3,﹣4).
【分析】将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,求出D的坐标,取AD的中点K,求出K的坐标,求出直线BK的解析式,直线BK与直线y=﹣x﹣1的交点即为点P.求出直线BK的解析式,利用方程组确定交点P坐标即可.
【解答】解:将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,
∵B(0,2),A(6,0),
∴D(﹣2,﹣4),
取AD的中点K(2,﹣2),
直线BK与直线y=﹣x﹣1的交点即为点P.
设直线BK的解析式为y=kx+b,
把B和K的坐标代入得:,
解得:k=﹣2,b=2,
则直线BK的解析式是y=﹣2x+2,
由,解得:,
∴点P坐标为(3,﹣4),
故答案为:(3,﹣4).
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征,等腰直角三角形的性质,待定系数法等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题.
三.解答题(共5小题)
16.(2024 聊城)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
【考点】待定系数法求一次函数解析式.
【专题】计算题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A(1,0)、点B(0,﹣2)分别代入解析式即可组成方程组,从而得到AB的解析式;
(2)设点C的坐标为(x,y),根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标,再代入直线即可求出y的值,从而得到其坐标.
【解答】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线AB过点A(1,0)、点B(0,﹣2),
∴,
解得,
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2.
(2)设点C的坐标为(x,y),
∵S△BOC=2,
∴ 2 x=2,
解得x=2,
∴y=2×2﹣2=2,
∴点C的坐标是(2,2).
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征,还要熟悉三角形的面积公式.
17.(2024 聊城)甲、乙两车从A地驶向B地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象.
(1)求出图中m,a的值;
(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式,并写出相应的x的取值范围;
(3)当乙车行驶多长时间时,两车恰好相距50km.
【考点】一次函数的应用;一元一次方程的应用.
【专题】行程问题;数形结合.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度,求出a的值和m的值;
(2)由分段函数当0≤x≤1,1<x≤1.5,1.5<x≤7由待定系数法就可以求出结论;
(3)先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式,由解析式之间的关系建立方程求出其解即可.
【解答】解:(1)由题意,得
m=1.5﹣0.5=1.
120÷(3.5﹣0.5)=40,
∴a=40.
答:a=40,m=1;
(2)当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x,由题意,得
40=k1,
∴y=40x
当1<x≤1.5时,
y=40;
当1.5<x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b,由题意,得
,
解得:,
∴y=40x﹣20.
y;
(3)设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3,由题意,得
,
解得:.
∴y=80x﹣160.
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时,
解得:x.
当40x﹣20+50=80x﹣160时,
解得:x.
,.
答:乙车行驶小时或小时,两车恰好相距50km.
【点评】本题考出了行程问题的数量关系的运用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,一次函数与一元一次方程的运用,解答时求出一次函数的解析式是关键.
18.(2024 惠来县期末)如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,6)的直线AB与直线OC相交于点C(2,4)动点P沿路线O→C→B运动.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当△OPB的面积是△OBC的面积的时,求出这时点P的坐标;
(3)是否存在点P,使△OBP是直角三角形?若存在,直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【专题】综合题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)利用待定系数法即可得出结论;
(2)先求出△OBC的面积,进而求出△OBP的面积,进而求出点P的纵坐标,再分两种情况,代入直线解析式中即可得出结论;
(3)分点P在OC和BC上两种情况,求出BP或OP,再建立方程求解,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵点A的坐标为(0,6),
∴设直线AB的解析式为y=kx+6,
∵点C(2,4)在直线AB上,
∴2k+6=4,
∴k=﹣1,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6;
(2)由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x+6,
令y=0,
∴﹣x+6=0,
∴x=6,
∴B(6,0),
∴S△OBCOB yC=12,
∵△OPB的面积是△OBC的面积的,
∴S△OPB12=3,
设P的纵坐标为m,
∴S△OPBOB m=3m=3,
∴m=1,
∵C(2,4),
∴直线OC的解析式为y=2x,
当点P在OC上时,x,
∴P(,1),
当点P在BC上时,x=6﹣1=5,
∴P(5,1),
即:点P(,1)或(5,1);
(3)∵△OBP是直角三角形,
∴∠OPB=90°,
①当点P在OC上时,如图,过点C作CH⊥x轴于H,
∵C(2,4),
∴CH=4,OC=2
∴S△OBCOB CHOC BP,
∴BP,
由(2)知,直线OC的解析式为y=2x①,
设点P的坐标为(m,2m),
∵B(6,0),
∴BP2=(m﹣6)2+4m2,
∴m
∴P(,),
②当点P在BC上时,同①的方法,
∴P(3,3),
即:点P的坐标为(,)或(3,3).
【点评】此题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,三角形的面积的计算方法,两直线的交点坐标的求法,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.
19.(2024 沈河区期末)如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,4),交x轴于点B.
(1)求直线AB的表达式和点B的坐标;
(2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线l上一动点,且在点D的上方,设点P的纵坐标为n.
①用含n的代数式表示△ABP的面积;
②当S△ABP=8时,求点P的坐标;
③在②的条件下,以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC,求点C的坐标.
【考点】一次函数综合题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)把点A的坐标代入直线解析式可求得b=4,则直线的解析式为y=﹣x+4,令y=0可求得x=4,故此可求得点B的坐标;
(2)①由题l垂直平分OB可知OE=BE=2,将x=2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标,设点P的坐标为(2,n),然后依据S△APB=S△APD+S△BPD可得到△APB的面积与n的函数关系式为S△APB=2n﹣4;
②由S△ABP=8得到关于n的方程可求得n的值,从而得到点P的坐标;
③如图1所示,过点C作CM⊥l,垂足为M,再过点B作BN⊥CM于点N.设点C的坐标为(p,q),先证明△PCM≌△CBN,得到CM=BN,PM=CN,然后由CM=BN,PM=CN列出关于p、q的方程组可求得p、q的值;如图2所示,同理可求得点C的坐标.
【解答】解:(1)∵把A(0,4)代入y=﹣x+b得b=4
∴直线AB的函数表达式为:y=﹣x+4.
令y=0得:﹣x+4=0,解得:x=4
∴点B的坐标为(4,0).
(2)①∵l垂直平分OB,
∴OE=BE=2.
∵将x=2代入y=﹣x+4得:y=﹣2+4=2.
∴点D的坐标为(2,2).
∵点P的坐标为(2,n),
∴PD=n﹣2.
∵S△APB=S△APD+S△BPD,
∴S△ABPPD OEPD BE(n﹣2)×2(n﹣2)×2=2n﹣4.
②∵S△ABP=8,
∴2n﹣4=8,解得:n=6.
∴点P的坐标为(2,6).
③如图1所示:过点C作CM⊥l,垂足为M,再过点B作BN⊥CM于点N.
设点C(p,q).
∵△PBC为等腰直角三角形,PB为斜边,
∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.
∵CM⊥l,BN⊥CM,
∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.
∴∠MPC=∠NCB.
在△PCM和△CBN中,
,
∴△PCM≌△CBN.
∴CM=BN,PM=CN.
∴,解得.
∴点C的坐标为(6,4).
如图2所示:过点C作CM⊥l,垂足为M,再过点B作BN⊥CM于点N.
设点C(p,q).
∵△PBC为等腰直角三角形,PB为斜边,
∴PC=CB,∠PCM+∠MCB=90°.
∵CM⊥l,BN⊥CM,
∴∠PMC=∠BNC=90°,∠MPC+∠PCM=90°.
∴∠MPC=∠NCB.
在△PCM和△CBN中,
,
∴△PCM≌△CBN.
∴CM=BN,PM=CN.
∴,解得.
∴点C的坐标为(0,2)(舍去).
综上所述点C的坐标为(6,4).
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式,全等三角形的性质可判断,由CM=BN,PM=CN列出关于p、q的方程组是解题的关键.
20.(2024 河南)某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
【考点】一次函数的应用.
【专题】分类讨论.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)根据银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元,以及旅游馆普通票价20元/张,设游泳x次时,分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可;
(2)利用函数交点坐标求法分别得出即可;
(3)利用(2)的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案.
【解答】解:(1)由题意可得:银卡消费:y=10x+150,普通消费:y=20x;
(2)由题意可得:当10x+150=20x,
解得:x=15,则y=300,
故B(15,300),
当y=10x+150,x=0时,y=150,故A(0,150),
当y=10x+150=600,
解得:x=45,则y=600,
故C(45,600);
(3)如图所示:由A,B,C的坐标可得:
当0<x<15时,普通消费更划算;
当x=15时,银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;
当15<x<45时,银卡消费更划算;
当x=45时,金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;
当x>45时,金卡消费更划算.
【点评】此题主要考查了一次函数的应用,根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键.
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