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2025年中考数学复习高频易错考前预测：一元二次方程根
一．选择题（共10小题）
1．（2024 夏津县自主招生）如果方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
2．（2024 广东）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．（2024秋 碑林区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
4．（2024 绥化模拟）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．
C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0
5．（2024 新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
6．（2024 桂林）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
7．（2024 嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
8．（2024 播州区校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
9．（2024 大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
10．（2024 大庆）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
二．填空题（共5小题）
11．（2024 荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且4，则x1x2的值是　 　．
12．（2024 内江模拟）已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 　 　．
13．（2024 简阳市 模拟）设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝　 　．
14．（2024 凉山州模拟）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
15．（2024 呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 山西）解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
17．（2024 株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
18．（2024 甘肃）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19．（2024 广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
20．（2024 十堰）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
2025年中考数学复习高频易错考前预测：一元二次方程根
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 夏津县自主招生）如果方程（m﹣3）x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
【考点】一元二次方程的定义．
【答案】C
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7＝2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义可知，
解得m＝﹣3．
故选：C．
【点评】要特别注意二次项系数m﹣3≠0这一条件，当m﹣3＝0时，上面的方程就是一元一次方程了．
2．（2024 广东）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【答案】B
【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．（2024秋 碑林区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
【考点】根的判别式．
【答案】D
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
4．（2024 绥化模拟）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．xy+2＝1 B．
C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】推理填空题．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，即可判断答案．
【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2次．
5．（2024 新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】A
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．
6．（2024 桂林）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
7．（2024 嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】B
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵Δ＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2024 播州区校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【考点】根的判别式．
【答案】C
【分析】①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根，如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，进而求解．
②把x＝﹣1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c＝0．
③方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则Δ＝﹣4ac＞0，左边加上b2就是方程ax2+bx+c＝0的△，由于加上了一个非负数，所以Δ＞0．
④把b＝2a+c代入△，就能判断根的情况．
【解答】解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根．
如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，
因此①错误；
②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1）
把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2）
把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0，
即：2a+c＝0，故正确；
③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，
则它的Δ＝﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b＝2a+c则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0故正确．
②③④都正确，
故选：C．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
2、对于给定的条件要仔细分析，向所求的内容转化．
9．（2024 大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【答案】B
【分析】设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2024 大庆）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【考点】一元二次方程的解．
【答案】B
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c＝0得ax02+2x0＝﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，
则N﹣M＝（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
＝a2x02+2ax0+1﹣1+ac
＝a（ax02+2x0）+ac
＝﹣ac+ac
＝0，
∴M＝N，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且4，则x1x2的值是　4　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】方程与不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝x1 x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．
【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝2k，x1 x2＝k2﹣k，
∵4，
∴4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4，
2k2+2k﹣4＝0，
k2+k﹣2＝0，
k＝﹣2或1，
∵Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k＝1，
∴x1 x2＝k2﹣k＝0，
∴x1x24﹣0＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
12．（2024 内江模拟）已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 　8　．
【考点】根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2+k+3，k≤﹣3，再将（x1﹣1）2+（x2﹣1）2化简为（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2），代入即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2+k+3，
∵Δ＝4k2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
＝x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
＝（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
＝2k2+2k﹣4
＝2（k）2，
∵k≤﹣3，2×（﹣3）28，
∴2（k）28，
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2．同时考查了配方法的应用．
13．（2024 简阳市 模拟）设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝　﹣6056　．
【考点】根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，把x＝α与x＝β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，
∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，
则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．
故答案为：﹣6056．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
14．（2024 凉山州模拟）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【考点】一元二次方程的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|＝1，m﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
15．（2024 呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8＝0，则a+b＝　或1　．
【考点】换元法解一元二次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设a+b＝x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．
【解答】解：设a+b＝x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8＝0，
整理，得16x2﹣8x﹣8＝0，即2x2﹣x﹣1＝0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x1，x2＝1．
则a+b的值是或1．
故答案为：或1．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 山西）解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
17．（2024 株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】代数几何综合题；运算能力．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形；
（3）x1＝0，x2＝﹣1．
【分析】（1）直接将x＝﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a＝b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，进而代入方程求出即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形；
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，可整理为：
2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
18．（2024 甘肃）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
19．（2024 广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2＝3025，
解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）＝3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
20．（2024 十堰）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1 x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝16+x1 x2中，解之即可得出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k，
∴实数k的取值范围为k．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1 x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝16+x1 x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22＝16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．
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