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2025年中考数学复习高频易错考前预测：因式分解
一．选择题（共10小题）
1．（2024 石家庄模拟）对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
2．（2020秋 黔江区期末）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
3．（2024 巨野县期末）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
4．（2024 常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
5．（2024 平城区校级期末）下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　）
①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1；
②x3+x＝x（x2+1）；
③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋 梅河口市期末）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
7．（2024 靖西市模拟）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
8．（2024秋 烟台期中）如果257+513能被n整除，则n的值可能是（　　）
A．20 B．30 C．35 D．40
9．（2024 碧江区 期末）多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（　　）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
10．（2024 博兴县期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m2n2，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
11．（2002 益阳）因式分解：x2﹣y2+6y﹣9＝　 　．
12．（2024 遂宁）阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）
＝x2﹣（y+1）2
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝　 　．
13．（2024 吴江区期中）已知a，b，c，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　 　．
14．（2024 广西）分解因式：a2﹣4b2＝　 　．
15．（2024 雨花区校级自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 东兴区校级期中）已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
17．（2024秋 浦东新区校级期末）因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．
18．（2024 西城区期末）已知代数式M＝x2+2y2+z2﹣2xy﹣8y+2z+17．
（1）若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值；
（2）若x，y，z满足不等式M+x2≤7，其中x，y，z都为非负整数，且x为偶数，直接写出x，y，z的值．
19．（2024 黄州区校级模拟）计算
（1）已知a﹣b，b﹣c，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．
（2）．
20．（2024 瓮安县二模）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
2025年中考数学复习高频易错考前预测：因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 石家庄模拟）对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　）
A．被8整除 B．被m整除
C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
【解答】解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32，
＝（4m+8）（4m+2），
＝8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，难度一般．
2．（2020秋 黔江区期末）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【考点】因式分解的应用．
【专题】转化思想；数据分析观念．
【答案】B
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【解答】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
3．（2024 巨野县期末）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
【考点】公因式．
【答案】C
【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故选：C．
【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
4．（2024 常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【答案】C
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
5．（2024 平城区校级期末）下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　）
①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1；
②x3+x＝x（x2+1）；
③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】因式分解的意义．
【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；
②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；
③整式的乘法，故③不是因式分解；
④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
6．（2023秋 梅河口市期末）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【考点】因式分解的应用．
【答案】C
【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a＝b，即可确定出三角形形状．
【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．（2024 靖西市模拟）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【答案】B
【分析】根据x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣3+1，常数项的积是b．
【解答】解：∵x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3），
∴a＝1﹣3＝﹣2，b＝﹣3×1＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法．x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
8．（2024秋 烟台期中）如果257+513能被n整除，则n的值可能是（　　）
A．20 B．30 C．35 D．40
【考点】因式分解的应用；幂的乘方与积的乘方．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】先把把257转化成514，再提取公因式513，最后把513化成512×5，即可求出答案．
【解答】解：257+513
＝514+513
＝513×（5+1）
＝513×6
＝512×30，
则n的值可能是30；
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把257转化成514，再提取公因式进行因式分解即可．
9．（2024 碧江区 期末）多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（　　）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
【考点】公因式．
【答案】B
【分析】根据平方差公式分解a2﹣9，再根据提公因式法分解a2﹣3a，即可找到两个多项式的公因式．
【解答】解：a2﹣9＝（a﹣3）（a+3），
a2﹣3a＝a（a﹣3），
故多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是：a﹣3，
故选：B．
【点评】主要考查了分解因式的实际运用，解此题的关键是把a2﹣9与a2﹣3a进行因式分解．
10．（2024 博兴县期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m2n2，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；模型思想；应用意识．
【答案】B
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【解答】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；
②a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1ab）（1ab），因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；
⑤mn+m2n2＝（mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．
二．填空题（共5小题）
11．（2002 益阳）因式分解：x2﹣y2+6y﹣9＝　（x﹣y+3）（x+y﹣3）　．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题后三项提取﹣1后y2﹣6y+9可运用完全平方公式，可把后三项分为一组．
【解答】解：x2﹣y2+6y﹣9，
＝x2﹣（y2﹣6y+9），
＝x2﹣（y﹣3）2，
＝（x﹣y+3）（x+y﹣3）．
【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．
12．（2024 遂宁）阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）
＝x2﹣（y+1）2
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝　（a+b）（a+b+c）　．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】压轴题；阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．
【解答】解：原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）
＝（a+b）2+c（a+b）
＝（a+b）（a+b+c）．
故答案为（a+b）（a+b+c）．
【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．
13．（2024 吴江区期中）已知a，b，c，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　6　．
【考点】因式分解的应用．
【专题】探究型；整体思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式分解因式后整体代入即可求解．
【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝1+4+1
＝6
故答案为6．
【点评】本题考查了分解因式的应用，解题关键是整体思想的运用．
14．（2024 广西）分解因式：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】符号意识；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
15．（2024 雨花区校级自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝　（x﹣2y）（x+y﹣2）　．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x2﹣xy﹣2y2三项分为一组，可用十字相乘法继续分解，﹣2x+4y分为一组，可提公因式，再进一步分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），
＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣2y）（x+y﹣2）．
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式．
三．解答题（共5小题）
16．（2024 东兴区校级期中）已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
【考点】因式分解的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由x2+3x﹣1＝0得x2+3x＝1，再进一步把x3+5x2+5x+18分解因式凑出x2+3x解决问题即可．
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
x3+5x2+5x+18
＝x（x2+3x）+2x2+5x+18
＝x+2x2+5x+18
＝2（x2+3x）+18
＝2+18
＝20．
【点评】此题考查分组分步分解因式，充分利用已知条件，凑出（x2+3x）这个因式是解决问题的关键．
17．（2024秋 浦东新区校级期末）因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式第一、二项结合，三、四项结合，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x3+x2y）﹣（xy2+y3）＝x2（x+y）﹣y2（x+y）＝（x+y）2（x﹣y）．
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．
18．（2024 西城区期末）已知代数式M＝x2+2y2+z2﹣2xy﹣8y+2z+17．
（1）若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值；
（2）若x，y，z满足不等式M+x2≤7，其中x，y，z都为非负整数，且x为偶数，直接写出x，y，z的值．
【考点】因式分解的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把多项式进行因式分解，利用因式的平方都不小于0求出x，y，z的值．
（2）把多项式进行因式分解，都是平方的形式，利用x，y，z都为非负整数，取值求解．
【解答】解：（1）∵x2+2y2+z2﹣2xy﹣8y+2z+17＝0，
∴（x﹣y）2+（y﹣4）2+（z+1）2＝0，
∵（x﹣y）2≥0，（y﹣4）2≥0，（z+1）2≥0，
∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0，（z+1）2＝0，
∴x﹣y＝0，y﹣4＝0，z+1＝0，
∴x＝y＝4，z＝﹣1，
（2）由（1）可知：满足不等式M+x2≤7，其中x，y，z都为非负整数，且x为偶数，
所以x＝2，
所以z＝0，y＝3，
x＝2，y＝3，z＝0．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的把多项式进行因式分解．
19．（2024 黄州区校级模拟）计算
（1）已知a﹣b，b﹣c，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．
（2）．
【考点】因式分解的应用．
【专题】探究型；整体思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方程组思想和分解因式的应用即可求得结果；
（2）根据分解因式的应用，把2拆分构造平方差公式计算即可求解．
【解答】解：（1）∵a﹣b①，b﹣c②，由①+②得 a﹣c
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ac）
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ca
答：ab+bc+ca的值为．
（2）原式
．
答：原式．
【点评】本题考查了分解因式的应用，解决本题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式的变形．
20．（2024 瓮安县二模）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（x﹣y+1）2　．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【考点】因式分解的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2
＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
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