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2025年澄海区初中毕业生学业模拟考试数学科试题
说明：1．全卷共4页，考试时长120分钟，满分为120分；
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡信息栏填写自己的姓名、考生号和座位号，并用2B铅笔填涂考生号；
3．答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，且必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效；
4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）
1．下列各数中，比小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．十四届全国人大第三次会议于2025年3月5日在北京隆重召开．政府工作报告中指出：我国产业升级有新进展，高技术制造业、装备制造业不断增长，其中2024年新能源汽车年产量突破1300万辆，数据1300万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．为增强数学传统文化教育学老师布置同学们查阅资料了解祖冲之、刘徽、赵爽这3大成就对数学发展起到的巨大推动作用，数学课上老师让甲数学家的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．把一副含30°和45°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，则的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
7．《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．把一张半径为6cm的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，书架长102cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（ ）
A．45 B．46 C．47 D．48
10．如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．因式分解：_________．
12．已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根为_________．
13、已知，则的值是_________．
14．某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为900N和0.5m，当动力臂由15m增加到2m时，撬动这块石头可以节省_________N的力．
15．如图，已知直线，点A是上的定点，于点B，C，D分别是，上的动点，且，连接交于点E，于点F，则当最大时，的值为_________．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
17．近年来，我国在人工智能领域的发展呈现出蓬勃发展的态势，近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称DeepSeek）开发的AI大模型在全球范围内掀起了一股热潮，据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟，假设总数据量为x条（），训练时间为y分钟．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若数据总量为6000条，求训练的时间；
（3）若训练的时间为90分钟，求使用的数据总量．
18．如图，在中，等于，D是延长线上的一点，点E是的中点．
（1）实践与操作：作角的平分线，连接并延长交于点F，连接（利用尺规作图保留作图痕迹，不写作法和证明．）
（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并证明你的猜想．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．为提高广大青少年的科学素养，某市教育局准备举行“科技应用技能大赛”．光明中学在学校科技创新兴趣小组通过初赛选拔优秀选手参加市赛，并从初赛学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成四个等级：A：；B：；C：；D：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
请完成下列问题：
（1）样本容量为_________，请补全直方图；
（2）学生成绩等级中位数为_________，_________；
（3）在参赛学生中有4名学生得满分，七年级1人，八年级1人，九年级2人，从这4名学生中任意推荐两人参加市赛，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
20．为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带资进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克。枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克。第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值．
21．如图，在中，是直径，是弦，点F在弧上，且弧与弧相等，与交于点C，点D为延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．如图，在中，，（）．将线段绕点C顺时针旋转90°得到线段，过点D作，垂足为E．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点F．连接并延长与的延长线相交于点P．请判断三角形的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠．在变化过程中，当点P落在点E的位置时，若等于，求的面积．
23．如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．
2025年澄海区初中毕业生学业模拟考试
数学科试题参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．A；2．D；3．B；4．C；5．B；6．B；7．D；8．A；9．C；10．C．
二、填空题（本大共题5小题，每小题3分，共15分）
11．；12．3；13．；14．75；15．．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解：原式
．
17．解：（1）依题意得：；
（2）当时，（分钟）．
答：若数据总量为6000条，训练的时间为120分钟；
（3）当时，，
解得：．
答：若训练的时间为90分钟，使用的数据总量为5000条．
18．解：（1）如图为所求作的图形；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
∵，∴，
∴，
由作图可知：，
∴，
∵E是的中点，∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．解：（1）样本容量为，
补全直方图如图所示：
（2）中位数为B，；
（3）设七年级学生为A，八年级学生为B，九年级学生为、，
列表如下：
A B
A
B
由表可知一共有12种等可能的结果，其中两人来自同一个年级的结果有2种，
∴推荐的两人来自同一个年级的概率为．
20．解：依题意得：
，
令，则原方程可化为：
，
整理得：，
解得：，，
∴，（不合题意，舍去）．
答：m的值为12.5．
21．（1）证明：∵弧与弧相等，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接．
∵弧与弧相等，且，
∴，
∵是直径，∴，
∴，
在中，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（1）证明：如图1：
∵，，
∴，，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图2：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）解：如图3：由（1）可知，
∴，
设，，
∴，
由翻折得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
∴，
∴或，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴，
∴．
23．解：（1）解方程，
得，，
∵a、b分别是一元二次方程的两个根，且，
∴，，
∴，，
依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1：设直线的解析式为，
把、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则
∵，则，
∴，
∴当时，S取得最大值为6，
此时；
（3）由可得其对称轴为，
设Q点坐标为，
①如图2：当为直角时，设交x轴于点H，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴可设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
②如图3：当为直角时，
过点Q作直线轴交y轴于点N，过点A作直线轴交于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
③当为直角时，
同理可设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
综上所述，以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，则不为直角三角形，
∴点Q纵坐标n的取值范围为：或．
（3）另解：
由可得其对称轴为，
由（1）得，，
∴，
下面以 为直角进行分类讨论：
设Q点坐标为，
①当时，，
∴
整理得：，
解得：，
∴Q的坐标或
②当时，，
∴，
解得：，
∴Q的坐标为，
③当时，，
∴，
解得：，
∴的坐标为，
综上所述，以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，则不为直角三角形，
∴点Q纵坐标n的取值范围为：或．

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