资源简介

13．2.2　空间两条直线的位置关系(1)
1. 借助长方体，通过直观感知，了解空间两条直线的位置关系．
2. 掌握基本事实4及其应用．
3. 掌握等角定理，并能解决相关问题．
活动一 背景引入
平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种．
思考1
(1) 空间内两条直线的位置关系有哪些？
(2) 观察下面两张图片，你能找出每张图中既不平行又不相交的两条直线吗？
　　　
活动二　空间两条直线的位置关系　
例1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1) 与AB平行的直线有哪些？
(2) 与AB相交的直线有哪些？
(3) 直线AA1和C1D1平行吗？相交吗？
定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数
注：如无特殊说明，“两条直线”指不重合的两条直线，“两个平面”指不重合的两个平面．
活动三　基本事实4及其应用　
在同一平面内，若a∥b，b∥c，则 a∥c.
思考2
那这个性质在空间中成立吗？你能在空间中找到三条平行直线吗？
基本事实4　平行于同一条直线的两条直线平行．
符号表示：
思考3
经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？
例2　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC 的中点．求证：EF∥A1C1.
　　
在空间中，直线的平行性具有传递性，同时说明了要证明两直线平行，应该把这两条直线放在同一平面内．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出平面D1CE与平面ABB1A1的交线，并说明理由．
活动四　等角定理及其应用　
在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等，这个结论在空间成立吗？
观察下图中的∠BEF和∠B1A1C1.这两个角的两边分别平行，且有∠BEF＝∠B1A1C1(因为∠BEF＝∠BAC＝∠B1A1C1).
定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
已知：
求证：
证明：
思考4
如果∠BAC 和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，且 AB，A1B1 方向相同，而AC，A1C1方向相反，那么∠BAC 和∠B1A1C1之间有何关系？为什么？
例3　如图，已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠C1E1B1＝∠CEB.　
要说明空间中的两角相等，不仅要看它们的对应边是否平行，还要看它们的对应边的方向是否一致．若都同向或都反向，则这两个角相等；若一组同向一组反向，则这两个角互补．
如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1) 求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2) 求的值．
1. (教材改编)如果两条直线a和b没有公共点，那么这两条直线的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 平行或异面
C. 异面 D. 共面
2. (教材改编)若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB与∠A1O1B1的关系为(　　)
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 无法确定
3. (多选)(2024攀枝花月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. E，F，G，H四点共面 B. EF∥GH
C. EG，FH，AA1三线共点 D. ∠EGB1＝∠FHC1
4. (2023安徽师范大学附属中学月考)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为________．
5. 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1) 四边形MNA1C1是梯形；
(2) ∠DNM＝∠D1A1C1.
13．2.2　空间两条直线的位置关系(2)
1. 理解两条异面直线所成角的定义及两条异面直线互相垂直的概念．
2. 掌握异面直线的判定方法．
3. 掌握异面直线所成角的计算方法．
活动一　巩固空间两条直线的位置关系　
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数
思考1
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
练习　在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1) 平行直线；(2) 相交直线；(3) 异面直线．
活动二　异面直线的定义及判定　
问题：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C和AD有什么位置关系？
思考2
如何判定两条直线是否异面？
异面直线的判定定理：
已知：
求证：
证明：
判断异面直线的方法：
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
定理法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线
练习　在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有________对.
例1　如图，在三棱锥A-BCD中，E，F是棱AD上异于点A，D的两点，G，H是棱BC上异于点B，C的两点，给出下列说法：
①AB与CD互为异面直线；
②FH分别与DC，DB互为异面直线；
③EG与FH互为异面直线；
④EG与AB互为异面直线．
其中正确的是____________．(填序号)
要判断两直线是异面直线，利用它的定义无法说明时，可以用它的定理，让其中的一条直线放一个平面内，另一条直线和这个平面相交，但交点不在第一条直线上即可．
若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是____________
_____________________________．
活动三　了解异面直线所成角的概念　
异面直线所成的角：
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°< θ ≤90°
特殊情况 当θ＝90°时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b
例2　如图，已知多面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体．
(1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？
(2) 求异面直线AA1与BC所成的角；
(3) 求异面直线BC1与AC所成的角．
1. 直线a与b所成角的大小只由a，b的位置关系来确定，与点O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上．
2. 两条异面直线所成的角θ∈.
3. 当两条异面直线a，b所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
4. 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．
5. 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．
1. (教材改编)以P为顶点，圆O为底面的圆锥，轴截面三角形PAB为等边三角形，M为底面圆O上一点，∠AOM＝60°，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
2. (2023惠州期末)若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A. 一定平行 B. 一定垂直
C. 一定是异面直线 D. 一定相交
3. (多选)(2024泉州期中)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是(　　)
A. AM∥BN B. △CEM是等边三角形
C. DB∥AE D. AM与DF是异面直线
(第3题) 　(第4题)
4. (2023深圳罗湖高级中学期中)如图，在三棱锥D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则直线EF与AC所成的角等于________．
5. (教材改编)如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BC上的点，＝＝.
(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；
(2) 若AB＝CD＝3，EF＝，求直线AB与CD所成角的大小．
13．2.2　空间两条直线的位置关系(1)
【活动方案】
思考1：(1) 平行、相交、既不平行又不相交
(2) 略
例1　(1) A1B1，CD，C1D1　(2) AD，AA1，BB1，BC
(3) 既不平行又不相交
填表略
思考2：略
符号表示： a∥c.
思考3：1条
例2　连接AC.
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC.
又因为AA1∥BB1，BB1∥CC1，
且AA1＝BB1，BB1＝CC1，
所以AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1，所以EF∥A1C1.
跟踪训练　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
因为E是AA1的中点，
所以EF∥A1B.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以EF∥CD1，
所以E，F，C，D1四点共面．
因为E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
所以平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，
所以平面D1CE与平面ABB1A1的交线为EF.
已知：∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同．
求证：∠BAC＝∠B1A1C1.
证明：如图，分别在∠BAC和∠B1A1C1的两边上截取AD＝A1D1，AE＝A1E1，连接AA1，DD1，EE1，DE，D1E1.
因为AB∥A1B1，AD＝A1D1，
所以四边形AA1D1D是平行四边形，
所以AA1∥DD1，且AA1＝DD1.
同理AA1∥EE1，且AA1＝EE1，
所以DD1∥EE1，且DD1＝EE1，
所以四边形DD1E1E是平行四边形，
所以DE＝D1E1.
在△ADE和△A1D1E1中，
所以△ADE≌△A1D1E1，
所以∠BAC＝∠B1A1C1.
思考4：互补，理由略．
例3　连接EE1.
因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，
所以A1E1∥AE，A1E1＝AE，
所以四边形A1E1EA是平行四边形，
所以A1A∥E1E，A1A＝E1E.
又因为A1A∥B1B，A1A＝B1B，
所以E1E∥B1B，E1E＝B1B，
所以四边形EE1B1B是平行四边形，
所以E1B1∥EB，同理可得E1C1∥EC.
又因为∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同，
所以∠C1E1B1＝∠CEB.
跟踪训练　(1) 因为AA′∩BB′＝O，且＝＝，∠AOB＝∠A′OB′，
所以△AOB∽△A′OB′，
所以∠ABO＝∠A′B′O，
所以AB∥A′B′，
同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2) 因为A′B′∥AB，A′C′∥AC，且AB和A′B′，AC和A′C′方向均相反，
所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理可得∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′.
又＝＝，
所以＝＝.
【检测反馈】
1. B　如果两条直线a和b没有公共点，那么这两条直线是同一平面内的平行直线或是异面直线．
2. C
3. ABC　对于A，B，如图，连接EF，GH.因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形，所以EF∥B1C1，可得EF∥GH，则E，F，G，H四点共面，故A，B正确；对于C，如图，延长EG，FH相交于点P.因为P∈EG，EG 平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1.因为P∈FH，FH 平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1.因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，故C正确；对于D，因为EB1＝FC1，当GB1≠HC1时，tan ∠EGB1≠tan ∠FHC1，所以∠EGB1≠∠FHC1，故D错误．故选ABC.
4. 异面　如图是正方体的直观图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为异面．
5. (1) 连接AC.
在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形．
(2) 因为NM∥A1C1，ND∥A1D1，
且∠DNM与∠D1A1C1两边的方向相同，
所以∠DNM＝∠D1A1C1.
13．2.2　空间两条直线的位置关系(2)
【活动方案】
活动一
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 在同一平面内 有且只有1个
平行 在同一平面内 0个
异面 不同在任何一个平面内 0个
思考1：不一定，可能平行也可能相交．
练习：略
问题：A1C与AD是异面直线．
思考2：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
已知：l α，A α，B∈α，B l.
求证：直线AB与l是异面直线．
证明：假设AB与l是共面直线，因为l α且 B∈α，所以 AB α与A α相矛盾，
所以直线AB与l是异面直线．
练习：3　在三棱锥A-BCD中，AB与CD异面，AD与BC异面，AC与BD异面，所以有3对异面直线．
例1　①②③④　因为直线DC 平面BCD，直线AB 平面BCD，点B 直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理可得，②③④正确．
跟踪训练　相交、平行或异面　异面直线不具有传递性，可以以长方体为例加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示，此时a和c异面．当c在c1处时，a和c相交；当c在c2处时，a和c平行．
例2　(1) 与直线BC1是异面直线的有AA1，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.
(2) 因为DA∥BC，所以∠A1AD即为异面直线AA1与BC所成的角，
所以异面直线AA1与BC所成的角为90°.
(3) 连接A1C1，A1B.
因为AA1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1，　
所以四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1，
所以BC1与AC所成的角就是BC1与A1C1所成的角.
因为A1B＝A1C1＝BC1，
所以异面直线BC1与AC所成的角为60°.
跟踪训练　如图，连接CD1，AC.
由题意，得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角．
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
所以△ACD1是等腰直角三角形，
所以AD1＝AC.
因为底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3.
因为侧面都是矩形，
所以AA1＝＝＝.
【检测反馈】
1. D　如图，过点A作AN∥OM，交圆O于点N，连接ON，PN，则∠PAN即异面直线OM与AP所成的角(或其补角).设 AO＝ON＝1，则∠OAN＝∠ONA＝60°，可得AN＝1.因为轴截面三角形PAB为等边三角形，所以PA＝PN＝2.在△APN中，由余弦定理可得cos ∠PAN＝＝＝，所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
2. B　因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
3. AB　如图，将正方体的平面展开图折起，复原为正方体．对于A，因为AB∥MN，AB＝MN，所以四边形ABNM为平行四边形，则AM∥BN，故A正确；对于B，在正方体ABCDFENM中，CE，EM，CM为面对角线，则CE＝EM＝CM，所以△CEM是等边三角形，故B正确；对于C，因为DB 平面ABCD，AE∩平面ABCD＝A，A BD，所以DB，AE为异面直线，故C错误；对于D，在正方体ABCD-FENM中，AM，DF均在平面ADMF内，且AM，DF相交，故D错误．故选AB.
4. 30°　如图，取BC的中点G，连接FG，EG.因为E，F分别是CD，AB的中点，所以FG∥AC，EG∥BD，且FG＝AC，EG＝BD，所以∠EFG为直线EF与AC所成的角(或其补角).又因为AC＝BD，所以FG＝EG.又因为AC⊥BD，所以FG⊥EG，所以∠FGE＝90°，所以△EFG为直角三角形，所以tan ∠EFG＝＝.又∠EFG为锐角，所以∠EFG＝30°，即直线EF与AC所成的角为30°.
5. (1) 如图1，取DC上靠近点D的三等分点为G，连接FG，则＝＝，可得FG∥BD，
所以F，G，B，D四点共面，显然F，B，D三点不共线，故平面FDB与平面FGDB为同一个平面，
又E 平面FDB，F∈平面FDB，所以EF∩平面FDB＝F，BD 平面FDB，F BD，
故直线EF与BD是异面直线．
(2) 如图2，分别取AC，BD上靠近点A，B的三等分点为H，I，连接EI，FI，EH，FH，则＝＝＝＝，
所以EI∥AB∥FH，FI∥DC∥HE，
故四边形IFHE为平行四边形，且直线AB与CD所成角为∠IFH或其补角．
又HE＝CD＝1，FH＝AB＝2，
所以cos ∠IFH＝cos (π－∠EHF)＝－cos ∠EHF＝－＝.
因为∠IFH∈(0，π)，所以∠IFH＝，
故直线AB与CD所成的角为.
图1 　图2
　

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