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13．2.4　平面与平面的位置关系—两平面垂直(1)
1. 了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角．
2. 初步掌握面面垂直的定义．
活动一 了解二面角的概念
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”与“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
问题3：在生产实践中，有许多问题要涉及两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？这样的角有何特点，该如何表示呢？
思考1
观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，如何刻画门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
思考2
平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个量大一点？
1. 二面角及其平面角的概念．
(1) 二面角：
①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．
②画法：
　　　
③记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l -Q或P-AB-Q.
(2) 二面角的平面角：
①定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
②表示方法：若有O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
(3) 二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫作直二面角．
思考3
二面角反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？
活动二　掌握简单几何体中二面角的求解方法　
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：
(1) 二面角A1-AB-D的大小；
(2) 二面角D1-AB-D的大小．
根据二面角的平面角的定义，在图形中先找到此平面角，然后放在三角形中解决．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值．
活动三　理解两个平面垂直的定义　
2. 平面与平面垂直．
(1) 定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(2) 画法：
(3) 记作：α⊥β.
例2　如图，边长为2的正三角形ABC以它的高AD为折痕，折成一个二面角B′-AD-C.
(1) 指出这个二面角的面、棱、平面角；
(2) 若二面角B′-AD-C为直二面角，求B′，C两点之间的距离；
(3) 求AB′与平面B′CD所成的角；
(4) 若二面角B′-AD-C的平面角为120°，求二面角A-B′C-D的正切值.
当图形中不能直接找到二面角的平面角时，一般先找一个平面的垂线，再过垂足在另一个平面内作两个平面交线的垂线，根据连线从而证得平面角．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD.
(1) 求证：BD⊥PC；
(2) 若∠BAD＝∠BPA＝60°，求二面角P-CD-A的余弦值．
1. (2023湖北月考)已知二面角α-l-β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，点P到平面β的距离为，点Q到平面α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2. (教材改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则平面ABE与底面ABCD所成角的正切值是(　　)
A. B. C. 1 D. 2
3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)
A. 两个相交平面组成的图形叫作二面角
B. 异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C. 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角中的最小角
D. 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
4. 如图，正方形ABCD的边长为1，将△DAC沿AC折到△D′AC的位置，连接D′B.若二面角D′-AC-B为直二面角，则直线BD′与平面ABC所成角的大小为________．
5. (教材改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形， BC∥AD，AD⊥AB，且PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求二面角C-PD-A的正切值．
13．2.4　平面与平面的位置关系
——两平面垂直(2)
1. 进一步理解两个平面垂直的定义．
2. 掌握两个平面垂直的判定与性质定理及其应用．
活动一　巩固二面角的概念及两个平面垂直的定义　
1. 二面角的概念．
(1) 定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．
(2) 画法：
　　　
(3) 记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P -l-Q 或P-AB-Q.
2. 二面角的平面角．
(1) 定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
(2) 画法：
(3) 表示方法：若有O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
3. 平面与平面垂直．
(1) 定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(2) 画法：
(3) 记作：α⊥β.
活动二　探究两个平面垂直的判定定理与性质定理　
思考1
为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
思考2
为什么建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅垂的线来检查所砌的墙面和水平面是否垂直？
4. 平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
图形语言
符号语言
思考3
黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
思考4
如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？如果垂直，请说明理由；如果不垂直，应该添加什么条件可以使得直线和平面垂直？
5. 平面与平面垂直的性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
活动三 两个平面垂直的判定定理与性质定理的应用　
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA⊥平面B1D1DB.
证明面面垂直的方法：
(1) 利用两平面垂直的定义，找出两相交平面所成二面角的平面角，并证明其大小为90°；
(2) 利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面PAC.
例2　求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
面面位置关系与线面位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的基本思想．
如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
(1) BG⊥平面PAD；
(2) AD⊥PB.
1. (教材改编)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
2. (教材改编)在空间四边形ABCD中，已知AD⊥BC，BD⊥AD，则必有(　　)
A. 平面ABD⊥平面ADC
B. 平面ABD⊥平面ABC
C. 平面ADC⊥平面BCD
D. 平面ABC⊥平面BCD
3. (多选)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是(　　)
A. CD⊥平面ABD B. 平面ADC⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ABC⊥平面ADC
(第3题)　 (第4题)
4. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．
5. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
13．2.4　平面与平面的位置关系—两平面垂直(1)
【活动方案】
问题1：在平面几何中，有公共端点的两条射线组成的图形叫作角．
问题2：若a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角；当直线与平面相交且不垂直该平面时，平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角；当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角；当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与这个平面成0°角．
共同特征：均是转化为平面上直线与直线所成的角．
问题3：略
思考1：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的角度．
思考2：门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角大一点．
思考3：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
例1　(1) 90°　(2) 45°
跟踪训练　连接AC交BD于点O，连接OC1.
因为BC1＝DC1，BC＝DC，BO＝DO，
所以C1O⊥BD，CO⊥BD，
所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角．
在Rt△C1OC中，tan ∠C1OC＝＝，
所以二面角C1-BD-C的正切值为.
例2　(1) 面：平面AB′D和平面ACD；
棱：AD；平面角：∠B′DC.
(2) B′C＝　(3) 60°
(4) 由题意，得∠B′DC＝120°.
取B′C的中点E，连接AE，DE.
因为AB′＝AC，B′D＝CD，B′E＝CE，
所以DE⊥B′C，AE⊥B′C，
所以∠AED为二面角A-B′C-D的平面角．
因为∠B′CD＝30°，所以DE＝CD＝，
所以tan ∠AED＝＝＝2，
即二面角A-B′C-D的正切值为2.
跟踪训练　(1) 连接AC.
因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
又因为PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2) 如图，作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，连接PE.
因为AE⊥CD，PA⊥CD，AE∩PA＝A，AE 平面PAE，PA 平面PAE，
所以CD⊥平面PAE.
因为PE 平面PAE，
所以PE⊥CD，
所以二面角P-CD-A的平面角是∠PEA.
设PA＝1，
因为∠BAD＝∠BPA＝60°，且底面ABCD是菱形，
所以BA＝AD＝，∠DAE＝30°，
所以AE＝AD＝，PE＝＝，
所以cos ∠PEA＝＝，
所以二面角P-CD-A的余弦值为.
【检测反馈】
1. C　如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D.连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2，BP＝，所以AC＝PD＝2.又因为PQ＝＝≥2，当且仅当AP＝0，即点A 与点P重合时取最小值．
2. B　由正方体的几何特征可知AB⊥平面ADD1A1，又AD 平面ADD1A1，AE 平面ADD1A1，所以AB⊥AD，AB⊥AE，所以∠EAD为平面ABE与底面 ABCD 所成角的平面角．设正方体的棱长为2，则AD＝2，DE＝1.又AD⊥DD1，所以tan ∠EAD＝＝，即平面ABE与底面 ABCD 所成角的正切值为 .
3. BD　根据二面角的定义可知A错误；B显然正确；C从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角，故C错误；D显然正确．故选BD.
4. 45°　取AC的中点E，连接D′E，BE，则 D′E⊥AC，BE⊥AC，所以∠D′EB是二面角D′-AC-B的平面角，所以∠D′EB＝90°.又D′E＝EB＝，所以D′B＝1，∠D′BE＝45°.因为D′E⊥AC，D′E⊥EB，AC∩BE＝E，AC 平面ABC，BE 平面ABC，所以D′E⊥平面ABC，所以∠D′BE是BD′与平面ABC所成的角，所以直线BD′与平面ABC所成的角是45°.
5. 在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD⊥AB，AB＝BC＝1，AD＝2，
如图，取AD的中点O，连接CO，
则AO∥BC，AO＝BC，
可得四边形ABCO是矩形，
所以CO⊥AD.
由PA⊥平面ABCD，CO 平面ABCD，
得CO⊥PA.
又PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CO⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥CO.
如图，过点O作OE⊥PD于点E，连接CE.
因为CO∩OE＝O，CO 平面COE，OE 平面COE，
所以PD⊥平面COE.
又CE 平面COE，
所以PD⊥CE，
则∠OEC是二面角C-PD-A的平面角．
由PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
得PA⊥AD.
又PA＝1，AD＝2，
所以PD＝，sin ∠ADP＝，
所以OE＝OD sin ∠ADP＝，
tan ∠OEC＝＝，
即二面角C-PD-A的正切值是.
13．2.4　平面与平面的位置关系
——两平面垂直(2)
【活动方案】
思考1：门轴与地面垂直．
思考2：铅垂线与地面垂直．
4. 填表略
思考3：能，画法略．
思考4：不一定；与这两个平面的交线垂直．
5. 填表略
例1　因为多面体ABCDA1B1C1D1是正方体，
所以AA1⊥平面ABCD，AC⊥BD.
因为BD 平面ABCD，
所以AA1⊥BD.
因为AC∩AA1＝A，AC 平面A1C1CA，
AA1 平面A1C1CA，
所以BD⊥平面A1C1CA.
因为BD 平面B1D1DB，
所以平面A1C1CA⊥平面B1D1DB.
跟踪训练　连接OC.
因为OA＝OC，D是AC的中点，
所以AC⊥OD.
又PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以AC⊥PO.
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，
所以AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
例2　已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.
求证：a α.
证明：设α∩β＝l.
过点P在平面α内作直线b⊥l.
由平面与平面垂直的性质定理，得b⊥β.
因为经过一点有且只有一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与直线b重合，即a α.
跟踪训练　(1) 因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形．
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
所以BG⊥平面PAD.
(2) 因为△PAD是正三角形，G是AD的中点，
所以PG⊥AD.
因为BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG 平面PBG，
PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
【检测反馈】
1. C　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错误；一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，由平面与平面垂直的判定定理知B，D错误，C正确．
2. C　在空间四边形ABCD中，因为AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC 平面BCD，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD.又因为AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.
3. AD　因为AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以CD⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，所以CD⊥平面ABD，故A正确；因为AB 平面ABD，所以CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，CD 平面ADC，AD 平面ADC，所以AB⊥平面ADC.又AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故B，C错误，D正确．故选AD.
4. 13　取AB的中点E，连接PE，EC.因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以AE＝CE＝5.因为PA＝PB＝13，E是AB的中点，所以PE⊥AB，所以PE＝＝12.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE 平面PAB，所以PE⊥平面ABC.因为CE 平面ABC，所以PE⊥CE，所以在Rt△PEC中，PC＝＝13.
5. 由题意，得BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
CC1 平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
又由题意，得∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，DC 平面BDC，BC 平面BDC，
所以DC1⊥平面BDC.
又DC1 平面BDC1，
所以平面BDC1⊥平面BDC.

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