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参考答案
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】； ，．
17.【答案】解：；
在扇形统计图中，，，组的圆心角为；
故答案为：；
组共有人，人，，组人数：人；
如图所示：

；
笔试阶段，组人，组人，组人，组人，组人，组人，
中位数看第和第位，在组，
组排序为，，，，，，，，，
中位数；
乙同学能获得“环保之星”称号，
理由如下：甲： ，
乙：，
乙将获得“环保之星”称号．
18.【答案】．
19.【答案】解：如图所示．
设的半径为，与相切于点，连接，则，
在中，，
与、都相切
，
，
在中，
，
，
解得：．
答：的半径为．

20.【答案】解：设今年型车每辆售价元，则去年售价每辆为元．
由题意，得
解得：，
经检验，是原方程的根；
答：今年型车每辆售价元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，
由题意，得，
，
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
，
，
随的增大而减小．
时，最大元．
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大．

21.【答案】；
球能越过球网，也不会出界，理由见解析；
球的落点与点的水平距离为．
22.【答案】解：；；；
将反比例函数与直线：联立得，
，
，
，，
方程组的解为或，
另一个交点坐标为，
为，为，
，．
故答案为：；；；
不能围出面积为 的矩形；理由如下：
将反比例函数与直线：联立得，
，
，
，
无解，
故两个函数图象无交点；
的图象，如图中所示：
与函数图象没有交点，
不能围出面积为 的矩形．
如图中直线：所示，
直线与反比例函数的图象有唯一交点，
有唯一解，即：方程只有一个解，
，
解得：，舍去．
23.【答案】 或 2025 年河南省郑州市普通高中招生考试定心卷（二）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 2025 的绝对值是( )
A. 2025 B. 1 C. 2025 D. 12025 2025
2.下列几何体中，其主视图与左视图不相同的是( )
A. B. C. D.
3.随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的
22 (即 0.000000022 )工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中 0.000000022 用科学
记数法表示为( )
A. 0.22 × 10 7 B. 2.2 × 10 8 C. 22 × 10 9 D. 2.2 × 10 7
4.已知点 ( , )在第四象限，则一元二次方程 2 + + = 0 的根的情况为( )
A.有两个相等实根 B.有两个不等实根 C.没有实数根 D.无法判定
5.如图，在⊙ 中， ， 为半径，点 为⊙ 上一点，若∠ = 100 ，则∠ 的度数是( )
A. 100 B. 80 C. 50 D. 40
第 5 题图 第 6 题图
6.如图 1，当光从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1 与折射角∠2 的度数比为 4: 3。如图 2，在
同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面的夹角分别为 ， ，水中两条折射光线
的夹角为 ，则 ， ， 三者之间的数量关系为( )
A. 34 ( + ) = B.
3
4 ( + ) = 135

C. + = D. + + = 180
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7.甲、乙两位同学在一次实验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的
实验可能是( )
A.掷一枚正六面体的骰子，出现 6 点的概率
B.掷一枚硬币，出现正面朝上的概率
C.任意写出一个整数，能被 2 整除的概率
D.一个袋子中装着只有颜色不同，其他都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图
8.关于 的一次函数 = (2 + 1) + 2，若 随 的增大而增大，且图象与 轴的交点在原点下方，则实数
的取值范围是( )
A. < 1 B. > 1 C. 12 2 2 < < 2 D. > 2
9.如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， = ，连接 、 与对角线 交于点 ，且
= ，∠ = 2∠ ， = 3，则 的长为( )
A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 6
10.等腰直角 中，∠ = 90°， = = 4， 为线段 上一动点，连接 ，过点 作 ⊥ 于 ，
连接 ，则 的最小值为( )
A. 2 2 B. 2 5 2 C. 4 D. 2 2 2
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11 = 2.写出一个解为 = 3的二元一次方程： ．
12.2025 年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，
这些卡片除了字不同外完全相同.将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一
张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为______．
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13.如图，在□ 中， = 2， = 3，以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；
分别以 1， 为圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧在∠ 内交于点 ；作射线 ，交 于点 ，交

延长线于点 ，则 =________．
14.如图，在 5 × 5 正方形网格中，一条圆弧经过 ， ， 三点，已知点 的坐标是( 2,3)，点 的坐标是(1,2)，
那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是______．
第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图
15.如图，在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 2， 的垂直平分线 交 于 ，交 于点 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 (0° < < 180°)，点 的对应点为点 ，连接 ， .当△ 为直角三角形时，
的长为______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)(1)计算：|1 3| + 2 30° 12 + ( 3)0；
2(2) 6 +9先化简： 2 ÷ ( + 2
5
2 )，再从 3， 1，2，3 中选取一个合适的数代入求值．
17.(本小题 9 分)为增强同学们的环保意识，某校九年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演
两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组(满分 100 分，实际得分
用 表示)：
：70 ≤ < 75， ：75 ≤ < 80， ：80 ≤ < 85， ：85 ≤ < 90， ：90 ≤ < 95， ：95 ≤ < 100
随机抽取 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中， 组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
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(1)在扇形统计图中，“ 组”所对应的扇形的圆心角是_____°；
(2) =_____，并补全图 2 中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中， 名学生成绩的中位数是_______分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照 2：3 的权重计入总成绩，总成绩在 91 分以上的将获得“环保之
星”称号，图 3 为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号的是_______同学．
18.(本小题 9 分)银杏是我国特有的树种，它被科学家誉为植物王国的“活化石”“植物界的大熊猫”，是
世界上现存最古老的树种之一.实验中学操场边有一棵银杏树，九年级的张宇想利用所学知识测量这棵银杏
树的高度.一天，他在阳光下竖直放了一根高 1.8 的竹竿 ，利用测角仪从竹竿的影子边缘点 处测得竹竿
的顶端点 处的仰角∠ = 37°，用卷尺测得银杏树的影长 为 12 ，其中点 ， ， ， 在同一条直线
3 4
上， ⊥ ， ⊥ .求这棵银杏树 的高度. (参考数据： 37° ≈ 5， 37° ≈ 5， 37° ≈
3
4 )
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19.(本小题 9 分)如图，在 △ 中，∠ = 90°，
(1)求作⊙ ，使圆心 在 上，且⊙ 与 、 都相切；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若 = 4， = 3.求⊙ 的半径．
20.(本小题 9 分)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 型车去年
销售总额为 50000 元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%．
， 两种型号车的进货和销售价格如表：
型车 型车
进货价格(元) 1100 1400
销售价格(元)今年的销售价格 2000
(1)今年 型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批 型车和新款 型车共 80 辆，且 型车的进货数量不超过 型车数量的两倍，应如何
进货才能使这批车获利最多？
21.(本小题 9 分)乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在 2024 年
巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部 5 块金牌.运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所
示， 点在球台中轴线上，发球机的出球口 在 点正上方 0.3 处，以球台的中轴线为 轴， 所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从 点射出，其运行的高度 ( )与运行的水平距离 ( )满足函
数关系式 = ( 1)2 + 0.6.已知球网与 点的水平距离为 1.2 ，高度为 0.15 ，球台边界距 点的水平距
离为 2.6 ．
(1)求 与 的函数关系式．
(2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(3)保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低 0.1 后(抛物线形状不变)，球从 点射出，球越过球网
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且没有出界，求此时球的落点与 点的水平距离．
22.(本小题 10 分)如图 1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 8 2的矩形地块 种植农作物，地块一边靠
墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若 = 10，能否围出矩形地块？
【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设 为 ， 为 .由矩形地块面积为 8 2，
得到 = 8，满足条件的 , 8可看成是反比例函数 = 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 10 ，
得到 2 + = 10，满足条件的 , 可看成一次函数 = 2 + 10 的图象在第一象限内点的坐标，同时满
足这两个条件的 , 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
(1) 8根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图 2，反比例函数 = > 0 的图象与直线 1： = 2 + 10
的交点坐标为 1,8 和____________，因此，木栏总长为 10 时，能围出矩形地块，分别为： = 1 ， = 8 ；
或 =______ ， =______ ．
【类比探究】
(2)若 = 6，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图 2 中画出一次函数图象并说明理由．
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【问题延伸】
(3) 8当木栏总长为 时，小颖建立了一次函数 = 2 + .当直线 = 2 + 与反比例函数 = > 0
的图象恰好有唯一交点时，求 的值．
23.(本小题 10 分)在△ 中， = ，∠ = ，点 是线段 上一点，点 是射线 上一动点，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ，得到线段 ，连接 ， // 交 于点 ．
(1)如图 1，当 = 60°时，点 为线段 的中点，
①试写出线段 与 的数量关系，并说明理由．
②∠ = ______°.
(2)如图 2，当 = 90°时，点 为线段 的中点， = 4，则 的最小值为______．
(3)如图 3，当 = 120°时，若 = 8， = 2， = 4 3，请直接写出 的长度______．
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