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2024-2025学年三年级数学下册培优精练「北师大版」
第一单元特别篇·周期问题【六大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元特别篇·周期问题
专题内容 本专题以周期问题为主，其中包括多种不同类型的周期问题。
总体评价
讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 六个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】文字类周期问题 3
【考点二】图形类周期问题 4
【考点三】数串类周期问题（数列） 5
【考点四】周期问题与星期几 7
【考点五】混周期问题 7
【考点六】隐藏周期问题 9
【第三篇】典型例题篇
【考点一】文字类周期问题。
【方法点拨】
1. 周期。
周期问题中，每一轮循环称为这个周期问题的一个周期，一个周期的长度叫做这个周期问题的周期长度。
2. 解决周期问题。
根据题目中描述的规律，找到一个周期的数量，在确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个，如果比整数个周期多几个，那么为下个周期里的第几个。
【典型例题1】直接型周期问题。
每摆两个红旗就要摆一个黄旗，第20个应摆( )旗，第30个应摆( )旗。
【对应练习1】
有同样大小的红、白、黑三种球共160个，按“四红三白一黑”的顺序排列，其中红球有( )个，白球有( )个，黑球有( )个。
【对应练习2】
按照2个红珠子、3个蓝珠子的规律穿一串珠子，第23个珠子应该是什么颜色？
【典型例题2】间接型周期问题。
节日期间，走廊上摆了44盆花。它们依次按照“红黄蓝红黄蓝红黄蓝……”的顺序排列。最后一盆花是( )花，一共有( )盆红花。
【对应练习1】
一串彩灯按照红、黄、蓝、红、黄、蓝……的顺序排列，第23盏灯是( )色的，前23盏灯里有( )盏红灯。
【对应练习2】
学校庆元旦挂了一排红、黄两种颜色的彩灯，按照红黄黄黄红的顺序排列，第53盏( )色，黄色彩灯一共有( )盏。
【对应练习3】
新年到了，马路的一边按“黄花、红花、红花、蓝花、黄花、红花、红花、蓝花……”的顺序摆盆花，第53盆是( )花；前53盆中，一共有( )红花。
【考点二】图形类周期问题。
【方法点拨】
图形类周期问题，关键在于确定第n个图。
1.运用观察、逆推等方法找规律，找出周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个。
2.如果比整数个周期多几个，那么为下个周期里的第几个。
【典型例题1】绘制图形。
照样子接着再画两个图形。
(1)( )。
(2)( )。
【对应练习1】
按规律画出每组第24个图形。
( )……
( )……
【对应练习2】
根据图形的排列规律，回答下列问题。（画图表示）
（1）
第123个是( )。
（2）
第111个是( )。
【对应练习3】
小明按照下面的排列规律串珠，第32个珠子是什么形状的？
【典型例题2】确定图形。
在……中，第47个图形是( )，26个之间有( )个。
【对应练习1】
在△△〇□△△〇□……中，第30个图形是( )，如果一共有133个图形，那么△有( )个。
【对应练习2】
一组图形按下面的规律摆放排列，第21个图形是( )；排列到第45个图形时，一共摆放了( )个 。
【对应练习3】
○○△△△○○△△△……左起第19个图形是( )，前30个图形中有○( )个，△有( )个。
【对应练习4】
□△□△△□□△□△△□□△□△△……，第26个图形是( )，前34个图形中，□有( )个，△有( )个。
【考点三】数串类周期问题（数列）。
【方法点拨】
1.通过找规律，找到周期。
2.用总量除以周期，余几就是周期中第几个，特别地，当没有余数时就是周期中最后一个。
3.求整个数串的和：
（1）总数÷周期=组数……余数。
（2）整个数串的和=组数×每个周期的和+剩余的数之和。
【典型例题1】找数。
有一列数：1、5、6、9、1、5、6、9、1、5、6、9……根据数的排列规律，第23个数是( )。
【对应练习1】
有一列数按“654321654321654321…”的顺序排列，第38个数字是( )。
【对应练习2】
“142857”是一个非常特殊的数。
现在用这个数连成一串：142857142857142857…，这串数从左往右数、第30个数字是( )，第100个数字是( )。
【对应练习3】
有一列数：5、4、3、2、5、4、3、2…，第101个数是( )。
【典型例题2】求和。
有一列数，按照3，6，2，4，3，6，2，……依次排列，第100个数是( )，这100个数的和是( )。
【对应练习1】
有一些数按以下顺序出现：1、2、6、1、2、6、1、2、6……第25个数是( )，这25个数的和是( )。
【对应练习2】
一串数字1、3、5、7、1、3、5、7…像这样排列，第33个数字是( )；前40个数字之和是( )。
【对应练习3】
一排同学共23人，“1—4”报数，如：“1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4…”，第20个报( )，23人中报“3”的一共有( )人。
【考点四】周期问题与星期几。
【方法点拨】
寻找星期几时，一般把一周即七天看作一个周期，关键在于计算出间隔的天数，然后再根据周期问题解决方法解答。
【典型例题】
有一张挂历纸，不小心被撕破了一角，只能看见这个月的5号是星期五，那么这个月的26号是星期( )。
【对应练习1】
2017年3月24日是星期五，4月20日是星期( )。
【对应练习2】
2010年5月1日是星期六。
（1）2010年5月17日是星期几？
（2）这个月1-3日放假，那么请问：本月一共上了多少天课，休息了多少天？
【对应练习3】
2007年10月1日是星期一，那么，2008年10月1日是星期几？
【考点五】混周期问题。
【方法点拨】
1.单独分析每一行，将混合周期转化为简单周期。
2.找到整体的周期，然后再求解。
【典型例题】
我 们 是 我 们 是 我 们 是 我 们 ……
五 年 级 学 生 五 年 级 学 生 五 ……
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（我五），第二组为（们年）……，那么第305组是什么？
【对应练习1】
将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？
【对应练习2】
海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光。下图表示前14秒灯光明暗变化的情况（第1秒是亮的，第2秒是暗的，第3秒是暗的），根据下图中呈现的规律，第48秒照明灯是( )的。（填“亮”或“暗”）
【对应练习3】
同学们先从1开始报数，然后依次按如下的规则排成四列：（小提示：仔细观察站的顺序，单数行从左往右，双数行从右往左的哦！）
（1）报50的应站在第几行第几列？
（2）站在第6行第2列的那位同学报的是几？
【考点六】隐藏周期问题。
【方法点拨】
隐藏周期问题，即周期规律无法直接看出，需要通过计算拓展后，再来观察周期规律。
【典型例题】
有一列数6，3，8，4，2，…从第3个数起，每个数都是它前面两个数乘积的个位数字。这一列数的第2020个数是( )。
【对应练习1】
在1989后面写一串数字。从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。这样得到一串数字：1，9，8，9，2，8，6，8，8，4，2…那么这串数字中，前2005个数字的和是( )。
【对应练习2】
有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
【对应练习3】
1111…1÷6，一共有1111个1，当商是整数时，余数是几？
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第一单元特别篇·周期问题【六大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元特别篇·周期问题
专题内容 本专题以周期问题为主，其中包括多种不同类型的周期问题。
总体评价
讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 六个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】文字类周期问题 3
【考点二】图形类周期问题 4
【考点三】数串类周期问题（数列） 6
【考点四】周期问题与星期几 8
【考点五】混周期问题 9
【考点六】隐藏周期问题 11
【第三篇】典型例题篇
【考点一】文字类周期问题。
【方法点拨】
1. 周期。
周期问题中，每一轮循环称为这个周期问题的一个周期，一个周期的长度叫做这个周期问题的周期长度。
2. 解决周期问题。
根据题目中描述的规律，找到一个周期的数量，在确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个，如果比整数个周期多几个，那么为下个周期里的第几个。
【典型例题1】直接型周期问题。
每摆两个红旗就要摆一个黄旗，第20个应摆( )旗，第30个应摆( )旗。
解析：红；黄
【对应练习1】
有同样大小的红、白、黑三种球共160个，按“四红三白一黑”的顺序排列，其中红球有( )个，白球有( )个，黑球有( )个。
解析：80；60；20
【对应练习2】
按照2个红珠子、3个蓝珠子的规律穿一串珠子，第23个珠子应该是什么颜色？
解析：
23÷5＝4（组）……3（个）
答：第23个珠子应该是蓝色。
【典型例题2】间接型周期问题。
节日期间，走廊上摆了44盆花。它们依次按照“红黄蓝红黄蓝红黄蓝……”的顺序排列。最后一盆花是( )花，一共有( )盆红花。
解析：黄；15
【对应练习1】
一串彩灯按照红、黄、蓝、红、黄、蓝……的顺序排列，第23盏灯是( )色的，前23盏灯里有( )盏红灯。
解析：黄；8
【对应练习2】
学校庆元旦挂了一排红、黄两种颜色的彩灯，按照红黄黄黄红的顺序排列，第53盏( )色，黄色彩灯一共有( )盏。
解析：黄；32
【对应练习3】
新年到了，马路的一边按“黄花、红花、红花、蓝花、黄花、红花、红花、蓝花……”的顺序摆盆花，第53盆是( )花；前53盆中，一共有( )红花。
解析：黄；26
【考点二】图形类周期问题。
【方法点拨】
图形类周期问题，关键在于确定第n个图。
1.运用观察、逆推等方法找规律，找出周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个。
2.如果比整数个周期多几个，那么为下个周期里的第几个。
【典型例题1】绘制图形。
照样子接着再画两个图形。
(1)( )。
(2)( )。
解析：
(1)
(2)
【对应练习1】
按规律画出每组第24个图形。
( )……
( )……
解析：；
【对应练习2】
根据图形的排列规律，回答下列问题。（画图表示）
（1）
第123个是( )。
（2）
第111个是( )。
解析：；
【对应练习3】
小明按照下面的排列规律串珠，第32个珠子是什么形状的？
解析：
32÷5＝6……2，所以第32个珠子应该是黑色■。
答：第32个珠子应该是黑色■。
【典型例题2】确定图形。
在……中，第47个图形是( )，26个之间有( )个。
解析：△；12
【对应练习1】
在△△〇□△△〇□……中，第30个图形是( )，如果一共有133个图形，那么△有( )个。
解析：△ ；67
【对应练习2】
一组图形按下面的规律摆放排列，第21个图形是( )；排列到第45个图形时，一共摆放了( )个 。
解析： ；22
【对应练习3】
○○△△△○○△△△……左起第19个图形是( )，前30个图形中有○( )个，△有( )个。
解析：△；12；18
【对应练习4】
□△□△△□□△□△△□□△□△△……，第26个图形是( )，前34个图形中，□有( )个，△有( )个。
解析：△；17；17
【考点三】数串类周期问题（数列）。
【方法点拨】
1.通过找规律，找到周期。
2.用总量除以周期，余几就是周期中第几个，特别地，当没有余数时就是周期中最后一个。
3.求整个数串的和：
（1）总数÷周期=组数……余数。
（2）整个数串的和=组数×每个周期的和+剩余的数之和。
【典型例题1】找数。
有一列数：1、5、6、9、1、5、6、9、1、5、6、9……根据数的排列规律，第23个数是( )。
解析：6
【对应练习1】
有一列数按“654321654321654321…”的顺序排列，第38个数字是( )。
【答案】5
【分析】654321循环重复出现，周期为6，38除以6商6余数是2，有6个完整的周期，多的两个数是6和5，据此即可解答。
【详解】由分析知：周期为6。
38÷6＝6……2
有6个完整的周期，多两个数，最后一个数是5。
所以第38个数字是5。
【对应练习2】
“142857”是一个非常特殊的数。
现在用这个数连成一串：142857142857142857…，这串数从左往右数、第30个数字是( )，第100个数字是( )。
【答案】 7 8
【分析】根据题意，142857142857142857…这串数字的规律为每6个为一组进行循环，分别用30和100除以6，余数是几，第30、第100个数字就和每组中的第几个数字一样。例如：第7个数字，7÷6＝1……1，那么就对应“142857”数字中第1个数：1，那么第7个数字就是1。
【详解】由以上分析可知：
第30个数字，30÷6＝5，那么第30个数字对应“142857”数字中第6个数：7
第100个数字，100÷6＝16……4，那么第100个数字对应“142857”数字中第4个数：8
因此第30个数字是7，第100个数字是8。
【对应练习3】
有一列数：5、4、3、2、5、4、3、2…，第101个数是( )。
【答案】5
【分析】这列数是以“5、4、3、2”为一组不断重复排列的，周期为4，用数的位置数除以周期，余数是几，该位置的数就是一组中的第几个数，没有余数就是一组数的最后一个数，据此即可解答。
【详解】101÷4＝25（组）……1（个），所以第101个数是5。
【典型例题2】求和。
有一列数，按照3，6，2，4，3，6，2，……依次排列，第100个数是( )，这100个数的和是( )。
解析：4；375
【对应练习1】
有一些数按以下顺序出现：1、2、6、1、2、6、1、2、6……第25个数是( )，这25个数的和是( )。
解析：1；73
【对应练习2】
一串数字1、3、5、7、1、3、5、7…像这样排列，第33个数字是( )；前40个数字之和是( )。
解析：1；160
【对应练习3】
一排同学共23人，“1—4”报数，如：“1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4…”，第20个报( )，23人中报“3”的一共有( )人。
解析：4；6
【考点四】周期问题与星期几。
【方法点拨】
寻找星期几时，一般把一周即七天看作一个周期，关键在于计算出间隔的天数，然后再根据周期问题解决方法解答。
【典型例题】
有一张挂历纸，不小心被撕破了一角，只能看见这个月的5号是星期五，那么这个月的26号是星期( )。
解析：五
【对应练习1】
2017年3月24日是星期五，4月20日是星期( )。
解析：四
【对应练习2】
2010年5月1日是星期六。
（1）2010年5月17日是星期几？
（2）这个月1-3日放假，那么请问：本月一共上了多少天课，休息了多少天？
解析：
（1）17-1=16（日）
16÷7=2（周）……2（天）两周零2天，星期六的后两天是星期一；
（2）5月是31天31÷7=4（周）……5（天）到28日正好4周是星期五，星期五后5天是星期三，所以有五个星期六、星期日，另3日放假，休息天数2×5+1=11（天） 上课天数：31-11=20(天)
【对应练习3】
2007年10月1日是星期一，那么，2008年10月1日是星期几？
解析：
366÷7＝52……2，1＋2＝3。
答：2008年10月1日是星期三。
【考点五】混周期问题。
【方法点拨】
1.单独分析每一行，将混合周期转化为简单周期。
2.找到整体的周期，然后再求解。
【典型例题】
我 们 是 我 们 是 我 们 是 我 们 ……
五 年 级 学 生 五 年 级 学 生 五 ……
上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（我五），第二组为（们年）……，那么第305组是什么？
解析：
305÷3＝101……2，第305个字是“们”；
305÷6＝51，第305个字是“生”；
答：第305组是们生。
【对应练习1】
将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？
解析：
2001÷8＝250……1；
2001所在的列以B字母为代表。
【对应练习2】
海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光。下图表示前14秒灯光明暗变化的情况（第1秒是亮的，第2秒是暗的，第3秒是暗的），根据下图中呈现的规律，第48秒照明灯是( )的。（填“亮”或“暗”）
解析：暗
【对应练习3】
同学们先从1开始报数，然后依次按如下的规则排成四列：（小提示：仔细观察站的顺序，单数行从左往右，双数行从右往左的哦！）
（1）报50的应站在第几行第几列？
（2）站在第6行第2列的那位同学报的是几？
【答案】（1）第13行第2列；（2）23
【分析】（1）观察上图可知，每4个数为一行，每2行又从第一列开始排起，即为8个一循环排列，据此求50里面包含6个8余2就应站在第6×2＋1＝13行第2列；
（2）站在第6行第2列，说明整行有5行，第6行在每8个数一循环的第二行是从右数起，那么第6行第2列是第5行最后一个数多数3个数，据此解答。
【详解】（1）50÷8＝6（周期） 2（个）
6×2＋1
＝12＋1
＝13（行）
答：报50的应站在第13行第2列。
（2）5×4＋3＝20＋3＝23
答：站在第6行第2列的那位同学报的是23。
【点睛】本题考查周期问题，关键要抓住两点：①找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复；②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。
【考点六】隐藏周期问题。
【方法点拨】
隐藏周期问题，即周期规律无法直接看出，需要通过计算拓展后，再来观察周期规律。
【典型例题】
有一列数6，3，8，4，2，…从第3个数起，每个数都是它前面两个数乘积的个位数字。这一列数的第2020个数是( )。
【答案】4
【分析】根据计算可知，这列数是6，3，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8…据此可知，从第三个数字开始，数字按照8，4，2，8，6，8这六个数字为一个周期进行排列，然后用（2020－2）÷6求出前2020个数有几个完整的周期，商是几，就有几个周期，余数是几，第2020个数就是一个周期里面的第几个数字。
【详解】这列数是6，3，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8…从第三个数字开始，数字按照8，4，2，8，6，8这六个数字为一个周期进行排列，
（2020－2）÷6
＝2018÷6
＝336……2
余数是2，所以第2020个数就是周期里面第2个数字，也就是4。
【对应练习1】
在1989后面写一串数字。从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。这样得到一串数字：1，9，8，9，2，8，6，8，8，4，2…那么这串数字中，前2005个数字的和是( )。
【答案】12031
【分析】由题意知，这串数字从第5个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后面的数字将会循环出现；找出循环出现的部分，然后按照周期问题求解即可。
【详解】先确定循环出现的部分，确定周期是多少；
︱︱…
可知，从第个数字开始，按循环出现，周期的6；
前个数字和：
所以前2005个数字的和是12031。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，关键是找出周期是多少，可以先多写出几项，然后确定周期。
【对应练习2】
有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
【答案】0
【分析】按照从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和这个规律，先确定前面的几个数，然后除以3，观察余数的规律，确定周期，按照周期问题求解即可。
【详解】这列数的前面几个分别是3，10，13，23，36，59，95，
被3除后的余数依次为0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，
观察得：余数的排列规律是：0，1，1，2，0，2，2，1为周期重复出现；
，余数为0。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，确定周期是解决问题的关键。
【对应练习3】
1111…1÷6，一共有1111个1，当商是整数时，余数是几？
【答案】1
【详解】1÷6 余1
11÷6 余5
111÷6 余3
1111÷6 余1
11111÷6 余5
111111÷6 余3
可以得出一些规律，,增加一个1，每3次，余数出现重复。
1111÷3=370……1
答：当商是整数时，余数是1。
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