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广东省肇庆市封开县江口中学2024 2025学年高三下学期3月月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．144 B．120 C．100 D．80
4．已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为（ ）
A．17 B．16.5 C．16 D．15.5
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（ ）
A．72种 B．144种 C．216种 D．256种
7．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列叙述命题错误的是（ ）
A．若，则与的方向不一定相同
B．若，则
C．
D．若非零向量与方向相同或相反，则与，中之一向量的方向相同
10．已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
11．函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点处的切线方程为
13．已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示）
14．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求的值；
(2)若.
（i）求的值；
（ii）求的面积的值.
16．如图，在三棱柱中，平面，已知，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
17．东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天 4
参观人数
(1)建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数；
(2)东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率．
附：参考数据：，，，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
18．已知椭圆的焦距为，以椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线分别交椭圆于点，点始终在第一象限且与点关于轴对称，直线分别交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点的坐标；
(3)证明：．
19．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，，，所以,
又，所以.
故选D.
2．【答案】D
【详解】由，得.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
又，
所以，
则，
所以，
故选B.
4．【答案】A
【详解】由数据的平均数为16，可得，可得，
将这组数据从小到大排列，可得，
因为，所以这组数据的第65百分位数为.
故选A.
5．【答案】A
【详解】，即，
，即，
，即，
则．
故选A.
6．【答案】B
【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空，
在其中选2个给甲和乙，有种方法；
再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法；
最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种.选B.
7．【答案】D
【详解】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误；
若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误；
若，，则与可能平行，也可能，故C错误；
若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确；
故选D.
8．【答案】D
【详解】，设为线段中点，
，设，则，即．
则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；
故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，当与中有一个为零向量时，与方向不一定相同，故A正确；
对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，当时，与，方向不一定相同，故D错误.
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】由，则其展开式的通项为，
对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确；
对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误；
对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C错误；
对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得，
可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数，
易知展开式中第6项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确.
故选AD.
11．【答案】ABC
【详解】对于选项A：由题意可得，故，则，故A正确；
根据图像，可得，
即，解得，又，即，
所以，
对于选项B：当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C：令，则，
当时，，
而在单调递增，故C正确；
对于选项D：将函数的图象向由右平移个单位得到
，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】时，，
，当时，，
所以函数在处的切线方程是，
即.
13．【答案】
【详解】因为是第三象限角，则，
曲线的方程可化为，曲线为双曲线，且，，
所以，双曲线的离心率为.
故答案为.
14．【答案】
【详解】不等式，即，
所以．
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以．
令，则．
当时，，单调递增，则，
故满足条件；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
设，则，
则在上单调递减，
又，
所以，所以，
所以a的最大值为．
15．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，
且，，所以，所以，
因为，由正弦定理有：.
（2）（i）因为，，所以，
由余弦定理得，
整理得，，
解得或（舍），所以的值为.
（ii）所以.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）由（1）可得，，，，所以以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，所以，，
则，，，，，，
则，，设平面的法向量为，
则，即，解得，
因为轴平面，所以平面的法向量为
设所求二面角为（锐角），则.
17．【答案】(1)回归方程为，人数约为千人；
(2).
【详解】（1）由最小二乘法公式可得，
则，
所以关于的回归直线方程为，
当时，，
因此，预测第天入园参观人数约为千人；
（2）记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园，
则，
如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为，
如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为，
如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为，
如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为，
，
由条件概率公式可得.
因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线方程为，，，
由点在第一象限且与点关于轴对称，得直线关于轴对称，，
由消去得，
则，，
直线方程为，令，得
，
所以点.
（3）由（2）知，，，
由，得，
因此，
所以.
19．【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解.
【详解】（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减；
（2）由时，则函数，可得，解得或，
所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.

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