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广西2025届高中毕业班4月适应性测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
7．已知抛物线：的焦点为，双曲线：经过点，且双曲线与抛物线交于，两点，若为等腰直角三角形，其中为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某超市在两周内的车厘子每日促销量如下图，根据此折线图，下面结论正确的有（ ）
A．这两周的日促销量低于200盒的比例低于50%
B．这两周的日促销量的众数是214
C．这两周的日促销量的极差是195
D．这两周的日促销量的第30百分位数是155
10．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到点的距离等于1，若直线与曲线交于不同的两点，，则（ ）
A．当时， B．线段中点的轨迹长度为
C．的取值范围为 D．
11．已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 .
13．已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 .
14．设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求角；
(2)若，，求边.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围.
18．已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，.
①证明：为定值；
②求面积的取值范围.
19．我国广西某自然保护区分布着国家一级保护动物白头叶猴，为了研究空气质量与白头叶猴分布数量的相关性，将该保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中20个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某空气指标和区域内白头叶猴分布的数量，得到数组.已知，，.
(1)求样本的相关系数；
(2)假设白头叶猴的寿命为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.05，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
①求的表达式；
②推导白头叶猴寿命期望的值.
附：相关系数.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，解得，所以，
因为，所以.
故选B.
2．【答案】C
【详解】设复数，则其共轭复数，
所以，
则，解得.所以.
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选.
4．【答案】D
【详解】由，则，解得，即，
所以在上的投影向量为.
故选D.
5．【答案】B
【详解】；
所以
故选B.
6．【答案】C
【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方，
情况数为，则此时总的情况数为；
当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为，
再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为，
最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为，
所以此时总的情况数为；
综上，符合题意的情况数为.
故选C.
7．【答案】C
【详解】抛物线：的焦点为，
双曲线：经过点，即点为双曲线的上顶点，
可得，即.
双曲线与抛物线交于，两点，且为等腰直角三角形，
设点，代入抛物线方程，得.
将点代入双曲线方程，，化简得.
则，所以渐近线方程为.
故选C.
8．【答案】D
【详解】
设平面，连接，，，，
因为，，
所以三棱锥为正三棱锥，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以平面，
又平面，所以，
同理可证，又，平面，
所以平面，则为正三角形的中心，
则，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
即，，
因为，即，
因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆，
所以点的轨迹长度是.
故选.
9．【答案】BC
【详解】对于A，日促销量低于200盒的有：80,83,138,155,157,165,179共7个，
所以日促销量低于200盒的比例为50%，A不正确；
对于B，由图中数据可知众数是214，B正确；
对于C，由图中数据可知极差是,C正确；
对于D，由知，日促销量的第30百分位数是从小到大排列的第5个数据，即157，D不正确.
故选BC.
10．【答案】ABD
【详解】由题意，曲线为圆，如图：

对于选项A，圆的圆心坐标为，半径为，
若直线，圆心C到直线的距离为，
则，故A正确；
对于选项B，如图线段中点M满足，

所以M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分，
所以线段中点的轨迹长度为，故B正确；
对于选项C，，因为点A，B不重合，所以，故C错误；
对于选项D，，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，即是等差数列，A正确；
对于B，设的公差为，则，即，
，
所以，
因为，所以，解得，所以，，B不正确；
对于C，由B可知，C正确；
对于D，令，则，
即为增函数，所以，即，
所以，
又，所以，D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，
因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以，，，
则，
则这个圆锥的体积为.
13．【答案】
【详解】由，则，
由函数为偶函数，则轴为该函数图象的对称轴，
即，，化简可得，，
当时，取得最大负值为.
14．【答案】
【详解】定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，根据正弦定理，则，
由，则，
化简可得，易知，则，解得.
（2）由，化简可得，解得，
由余弦定理可得
，解得.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 BD 交 AC 于点 H，连接 HE.
因为四边形 ABCD 是正方形，根据正方形对角线性质，可知 H 是 BD 的中点.
又因为 E 为线段 PD 的中点，在△PBD 中，可得.
由于 平面 ACE，平面 ACE，所以直线 平面 ACE.
（2）因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，所以 AB⊥AD.
又因为 AB⊥PD，AD∩PD=D，且 AD、PD 平面 PAD，所以 AB⊥ 平面 PAD.
在平面 PAD 内作 Ax⊥AP，分别以 Ax，AP，AB 为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A xyz.
又底面 ABCD 为边长为 2 的正方形，，则 ，
，；
；
设平面 PAC 的一个法向量为，则，即，
令，得，
设直线 AE 与平面 PAC 所成角为 θ，，
即直线 AE 与平面 PAC 所成角正弦值为.
17．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减．
(2)
【详解】（1）解：函数定义域为，.
当时，由得，由得.
此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）由，化简为，
即.
令，
因为，则，所以函数在上单调递增，
故在上恒成立，即在上恒成立，
设，，在单调递增，
所以.
综上所述，实数的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）设，由题意，
，整理可得.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为.
联立，得，
可得.
设，则.
联立，得，，
设，则.
①证明：因为，所以
，故为定值.
②因为的面积,
,
.
设，则.
由对勾函数的性质可得，所以.
19．【答案】(1)0.75
(2)①；②20
【详解】（1）
（2）①已知对于任意的，，
，
， ①
当时，， ②
两式相减可得：，，
又，所以
②设，
，
两式相减得：
，所以，
所以白头叶猴寿命期望.

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