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河南省部分名校2025届高三下学期第三次考试（4月）数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．某校学生会有男生2n人，女生3n人，现从男生中选出人，从女生中选出人参加志愿活动，则不同的选法种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．192
7．已知函数是上的增函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD中，AD是异面直线AB和CD的公垂线段，r为四面体ABCD的内切球半径，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的图象的一条对称轴
B．为奇函数
C．在区间内有两个零点
D．若且，则的最小值为
11．如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（ ）
A． B．
C．离心率 D．的面积为12
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列满足，是公差为4的等差数列，若，，则的通项公式为 ．
13．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为 ．
14．已知实数a，b满足，记a的取值集合为M，则M中的整数有 个．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若D为AC边的中点，，，求b．
16．已知点A是圆上的动点，点A在x轴上的射影为B，点P满足，记动点P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：为定值．
17．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，．

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
18．已知函数，设的图象在处的切线为l：．
(1)若，证明：当时，；
(2)若有三个零点，，（）．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
19．将n个正整数构成的数列，，…，变为1，2，…，，，1，2，…，，，…，1，2，…，，的操作称为一次“扩展”．现对数列1，2，3，…，n扩展m次．
(1)若，，写出扩展后的数列；
(2)设扩展m次后得到的数列所有项之和为，证明：；
(3)从第2025次扩展后的数列中任取一项，求取到数字的概率．
参考答案
1．【答案】B
【详解】．
由，可得，即，所以．
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】已知，先将等式右边化简，．
则，
所以z的虚部是．
故选A.
3．【答案】A
【详解】因为为锐角，则且与不共线．
由得，，
则，解得．
若与共线，则，即，
解得或，所以且，即x的取值范围是．
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为是奇函数，则可化为．
又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减．
则，解得或，
即实数a的取值范围是．
故选C.
5．【答案】D
【详解】因为，
即，可得，
即，．
因为，则，
可得，
又因为，
可得．
所以．
故选D.
6．【答案】B
【详解】由题意可得，解得，又，所以．
所以该校学生会有男生8人，女生12人，
则从男生中选人，从女生中选人，
不同选法种数为．
故选B.
7．【答案】C
【详解】由，得，
因为是上的增函数，则恒成立，
即恒成立，
当时，，此时不恒成立，不满足题意；
当时，等价于对恒成立，
则，即，则，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即的最小值是.
故选C.
8．【答案】A
【详解】设四面体ABCD的体积为V，表面积为S，则根据等体积法得．
又，由于AD是异面直线AB和CD的公垂线段，
所以，
，
所以，则，
将四面体补全成直三棱柱，可得，
所以，整理得.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，由基本不等式，已知，则，
可得，当且仅当时取等号，A错误．
对于B，，
当且仅当时取等号，B正确．
对于C，，由A知，
所以，则，当目仅当时取等号，C正确．
对于D，，
根据二次函数性质，其对称轴为，当时，取得最小值为，D正确，
故选BCD．
10．【答案】AC
【详解】对于A，当时，，
所以直线是图象的一条对称轴，A正确．
对于B，，
，不是奇函数，B错误．
对于C，令，即．
在区间内，，结合在上的图象可知，
直线与的图象有两个交点，
则有两解，
所以在区间内有两个零点，C正确．
对于D，因为，所以，
若且，则，．
当时，，；
当时，，，
则，其最小值为，D错误．
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，O为中点，所以．
已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确.
对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以，
记，则，在中，由正弦定理得，
所以，从而，延长交于点H，
则，且H为线段的中点，在中，，
所以，
所以，B错误.
对于C，由B可得，，
所以，所以，所以，
所以离心率，C正确．
对于D，的面积，D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】已知，，则，解得
，解得，所以．
因为是公差为4的等差数列，根据等差数列通项公式，
可得．
13．【答案】36
【详解】由分层随机抽样样本平均数公式可得，
根据分层随机抽样样本方差公式．
14．【答案】3
【详解】设，则根据题意得，
由的几何意义知，
a为曲线上的点到原点的距离的平方，
由于曲线为圆的一部分，如图：
圆心为，半径，圆心到原点的距离为，
所以圆上一部分的点到原点的距离范围为，
此时，又当时，，
综上，当时，，
所以M中的整数有0，1，2共计3个．
15．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，
由余弦定理，得，而，
所以.
（2）由D是AC中点，得，
则，
即，解得，
由（1）得，，则，所以.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，，因为B为A在x轴上的射影，所以．
已知，则，可得，即．
又因为在圆上，将代入圆方程得，
即，所以E的方程为．
（2）设直线l的方程为，，设，．
将代入得：，化简得．
即，
由韦达定理得，．
根据两点间距离公式，，
．
所以．
把，代入得：
．
所以为定值5．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，因为底面是等腰梯形，，，，，
由余弦定理可得，
所以，则，
因为，，，所以，则，
因为，、平面，所以平面，
因此平面，所以.
（2）在中，，，
由余弦定理可得，
因为，，则，
因为四边形为等腰梯形，且，则，，
所以，，，
故为等腰三角形，且，
因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的一个法向量为，，，
所以，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
所以，取，可得，
所以，
所以.
因此，二面角的正弦值为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）当时，，．
对求导得，则．
所以切线l的方程为，即，
令．
对求导得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即，所以当时，．
（2）（i），显然有，，．
①若，则恒成立，所以在上单调递增，
所以在上只有一个零点，不符合题意；
②若，令得，记其两根分别为，
则，，所以，
由得，或，由得，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，所以，，
当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
所以在上有唯一零点，为，
又，且，
所以在上只有一个零点，从而，所以．
（ii）由（i）知，且，所以，
由（1）知，当时，，所以，
整理得，
又，所以，得证．
19．【答案】(1)第1次扩展后为1，1，2，1，2，3.第2次扩展后为1，1，1，2，1，1，2，1，2，3．
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）当，时：
第1次扩展：原数列1，2，3扩展后变为1，1，2，1，2，3．
第2次扩展：扩展得到1，1，1，2，1，1，2，1，2，3．
（2）第1次扩展：
．
利用等式以及可得.
第2次扩展：相当于对n个数列1；1,2；1,2,3；；1,2，，n分别拓展1次，
所以
.
第3次扩展：相当于对n个数列1；1,2；1,2,3；；1,2，，n分别拓展2次，
所以
.
依次类推，第m次扩展：相当于对n个数列1；1,2；1,2,3；；1,2，，n分别拓展次，
所以
.
（3）每次扩展时，将数字n扩展得到了n个数，
故扩展后数列的项数恰好等于上一次扩展后的数列所有项的和，
故第2025次扩展后数列的项数为．
每次扩展时，小于t的数不会扩展得到t，每个大于或等于t的数字都扩展得到了一个t，
所以t的频数是上一次扩展后的数列中大于或等于t的数的频数之和，
如：因为1,2，，n中大于或等于t的数有个，
所以第1次扩展后的数列中t的频数为，即，，列表如下：
数字 1 2
频数
第2次扩展后的数列中t的频数为，列表如下：
数字 1 2
频数
同理，第3次扩展后的数列中t的频数为，
依次类推，可知第2025次扩展后的数列中t的频数为，
根据古典概型的概率计算公式可得.

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