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河南省许昌市名校2025届高三下学期模拟测试（二）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题，，命题，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．在长方体 中， 分别是 的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的部分图象如图所示，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．65
8．已知，函数的值等于除以6得到的余数，．设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是（ ）
A．729 B．189 C．378 D．540
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值是
C．的最小值是8 D．的最小值是
10．已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．图象的对称中心为
C．当时，在区间内单调递减
D．当时，有两个极值点
11．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别是,,点在双曲线的右支上,则下列说法正确的是（ ）
A．若直线的斜率为,则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有2个
C．点到两条渐近线的距离的乘积为
D．已知点,则的最小值为5
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则 .
13．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ．
14．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，．
(1)求的面积；
(2)求AB边上的高的最大值.
16．为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 35 35 70
不喜欢跳绳 10 20 30
合计 45 55 100
(1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
若，则，.
17．如图，在正四棱台中，，，，棱上的点满足取得最小值.
(1)证明：平面；
(2)在空间取一点为，使得，设平面与平面的夹角为，求的值.
18．设，.
(1)求函数的单调区间;
(2)求证:；
(3)设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为"A关联函数".求证：若与为"关联函数"，则.
19．已知圆交轴于，两点，椭圆以为长轴，椭圆上有一动点，且的最小值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与分别平分直线与椭圆和圆的交线段，
①证明：存在实数使得恒成立，并求出实数的值；
②求直线，与椭圆的交点构成的四边形面积的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以，
则，
所以.
故选D.
2．【答案】D
【详解】，
由指数函数的性质可得，
所以.
故选D.
3．【答案】A
【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.
【详解】对于命题，当时，，
当时，，所以命题是真命题；
对于命题，当时，，所以命题是真命题.
故选A.
4．【答案】D
【详解】对A，令，定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
所以其图象关于原点对称，故A不满足；
对B，当时，，故B不满足；
对C，当，故C不满足；
而D均满足以上分析.
故选D.
5．【答案】A
【详解】取的中点，连接，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），
即，因为平面，，所以平面，
平面，所以，
在中，.
故异面直线与所成角的正切值为.
故选A.
6．【答案】B
【详解】由，可得，
因为，可得，所以，
过点作轴于点，可得且，
所以，可得函数的周期为，
所以.
故选B.
7．【答案】A
【详解】因为数列为公差为6，首项为1的等差数列，
所以
若数列为正项等比数列，，设公比为，
则，
所以数列前5项和为，
设，求导可得，
令，可得，
在上为增函数，又，
当时，，所以在上为增函数，
又，
所以当,，，，
所以，
当,,
所以则数列前5项和的最小值为.
故选A.
8．【答案】B
【详解】，函数与的关系如下图所示：
可以看出，由于函数的对应关系固定，
函数的个数只取决于的到的对应关系．
因为存在，使得对于任意的，都不满足，
所以的没有对应满中的所有元素．
考虑其反面，即对于任意的，总存在，使得，
即的对应满了中的所有元素．
求满足反面的的个数的问题等价于“6名工人到3间工厂应聘，
每名工人只去一间工厂，每间工厂至少有一名工人前来应聘，求应聘情况的总数”，
一共有种情况，
即满足反面的有540个，没有限制条件的有个，
因此满足题目条件的有个，故B正确．
故选B.
9．【答案】ACD
【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD.
【详解】因为，所以，解得，故A正确；
，
当且仅当时，等号成立，而此时不存在，故B错误；
由，得，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
由，得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】BD
【详解】对于A：当至少一个不为0，则为三次或者一次函数，值域均为；
当均为0时，值域为，错误；
对于B：函数满足，
可知为奇函数，其图象关于中心对称，
所以的图象为的图象向上移动两个单位后得到的，
即关于中心对称，正确；
对于C：，当时，取，
当时，在区间上单调递增，错误；
对于D：，当时，有两个不相等的实数根，
所以函数有两个极值点，正确.
故选BD.
11．【答案】AC
【解析】对于A,由题意可知,,设,,
则直线的斜率,
,
令,,则,
令,,
则在上单调递减,,则,故A正确.
对于B,当时,满足条件的点有两个;
当时,满足条件的点有两个;
易得不存在点满足,
满足为等腰三角形的点有4个,故B错误.
对于C,双曲线的渐近线方程为,即,
点到两条渐近线的距离的乘积为,故C正确.
对于D,点与在双曲线两侧，当,,三点共线，且点在线段上时,有最小值,此时,故D错误.故选.
12．【答案】
【详解】若，则.
13．【答案】
【详解】易知，直线的方程为，
由得，
设，
则，，
所以，
解得，所以的准线方程为．
14．【答案】
【详解】如图，过点作，交于点，由侧面为正三角形可知为中点，
设中点为，连接.
由题意得，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，
此圆为的内切圆，设内切圆半径为，与，分别相切于点，，
因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
而平面，则，
因为，，所以，，，
在中，，解得，
所以四棱锥的内切球的半径为1，
连接，因为平面，平面，所以，
又，，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
所以内切球表面上一点到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，
又，
所以四棱锥内切球表面上一点到直线的距离的最小值为.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由，得，解得，
由及正弦定理，得，
即，则，而，解得，
所以的面积.
（2）由余弦定理，得，即，
当且仅当时取等号，
设h为AB边上的高，则，即，
所以AB边上的高的最大值为.
16．【答案】(1)不能
(2)人
【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断；
（2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据
【详解】（1）：学生的性别和是否喜欢运动无关.
，
所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
（2）训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，
则，，，
即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，
，
由（人）
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在等腰梯形中，因为，，
所以，所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接，如图，
可得当且仅当时，取得最小值，
此时，
设与交于，再连结，因为，所以，
所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）设上底面的中心为，则，，两两垂直，
分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
在直角梯形中得，，
显然平面的法向量为，，，，，
所以，
不妨设，
设平面的一个法向量为，所以，
不妨设，所以.
18．【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且.
当时，；当时，，
所以函数的单调增区间为，单调见区间为.
（2）由（1）可知，故只需证.
由于，等价于.
令，则.
当时，；当时，；
可知函数在内单调递减，在单调递增，
则，所以.
（3）由题意知，对任意，存在，
满足，且，则，
即，即.
对于给定的，有，
当且仅当，即时，等号成立，
因此对任意都成立.
在上式中令，得.
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且，可知满足不等式的.
19．【答案】(1)
(2)①证明见解析,；②
【详解】（1）由，令得，不妨令，，
则可设椭圆的标准方程为，
设，则，，，
则，
而，则，解得，
∴椭圆的标准方程为.
（2）①显然直线与垂直，设直线，
直线与椭圆交于，，
由于直线平分直线与圆的交线段，
则有，，
于是，
由于，，则，
∴存在实数使得恒成立.
②令，解得，
则直线与椭圆交线长为，
同理可得直线与椭圆的一个交点，
则到直线的距离，
∴四边形面积，
当时，四边形不存在，
当时，，
∴四边形面积的最大值为，在时取到.

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