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湖南省沅江市第三中学中2024 2025学年高三下学期3月质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是（ ）
A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
5．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（ ）
A．安 B．5安 C．安 D．安
6．若直线与曲线有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，，，D是AC中点，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的最小值为2
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于直线对称
10．已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是
11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率 .
13．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 .
14．已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某公司在年终总结大会上开展了一次趣味抽奖活动.活动规则为：先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注金额不同外，其余均相同），其中标注金额为10元、20元、50元的球分别有3个、2个、1个.若员工甲每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的抽奖奖金总金额.
(1)若，设员工甲获得的金额，求的分布列和数学期望；
(2)若，采用有放回方式摸球，设事件“员工甲获得的总金额不低于40元”，求.
16．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
17．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
18．一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）．得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)依据小概率的独立性检验，分析患病是否与当地居民卫生习惯有关联．
(2)从该地的人群中人选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，
，
所以.
故选A.
2．【答案】B
【详解】因为，所以z的虚部为．
故选B．
3．【答案】B
【详解】由题设，易知是方程的两个根，
又为递增的等比数列，所以，故公比.
故选B.
4．【答案】C
【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B；
依据的独立性检验，，
所以不能得到：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05；
故C正确，D错误.
故选C.
5．【答案】D
【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得.
由周期得，
再将点代入，得，
所以.
因为，所以时， ，所以.
将代入得，.
故选D.
6．【答案】C.
【详解】由得，
因此曲线是圆的左半部分（直线左侧），
当直线过点时，，
当直线与圆相切时，，，
由图知当直线与曲线相切时，，所以的范围是.
故选C．
7．【答案】A
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
当且仅当时，等号成立，
∵，∴.
所以的最大值为.
故选A.
8．【答案】B
【详解】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
综上，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故选B.
9．【答案】BD
【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，如，错误.
B选项，，
所以为奇函数，则的图象关于原点对称，正确.
C选项，，
，则，
所以的图象关于不关于直线对称，错误.
D选项，，
，则，
所以的图象关于直线对称，正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】选项A：当时，得，即，
因，故，故或，
因，故点在曲线外部，故A错误；
选项B：将换成，将换成，方程不变，
故曲线关于原点对称，故B正确；
选项C：将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，
设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为，
当时，方程，即，
其圆心坐标为，半径为，如图，
当时，得或，故弦长，
由，知，
则，故，故C正确；
选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误.
故选BC.
11．【答案】AC
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选AC.
12．【答案】/0.7
【详解】根据题意，从3名男生和2名女生中选出2名学生，有种选法，
若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女两种情况，
共有种选法，则选出的2人中至少有1名女生的概率为.
故答案为．
13．【答案】4
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到，
函数，
因为是偶函数，所以，即，
因为，所以，则，
因为，所以，
因为在上恰有4个零点，
所以，即，
所以当时，.
14．【答案】
【详解】设该四棱锥底面为四边形，四边形所在小圆半径为，
设四边形对角线夹角为，
则，
（当且仅当四边形为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点到底面所在小圆距离一定时，底面面积最大值为，
又设四棱锥的高为，则，
，
当且仅当即时等号成立．
15．【答案】(1)分布列见解析，20；
(2).
【详解】（1）的可能取值为10、20、50，其中，，.
故的分布列如下：
10 20 50
P
则数学期望为.
（2）采用有放回方式摸球，
每次摸到10元的概率为，
每次摸到20元的概率为，
每次摸到50元的概率为.
事件X包含4种情况：
两次均摸到20元；
一次摸到10元，一次摸到50元；
一次摸到20元，一次摸到50元；
两次均摸到50元.
故.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面

（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.

17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
18．【答案】(1)与当地居民卫生习惯有关联
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），6
【详解】（1）零假设为：患病与当地居民卫生习惯无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到：，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，即认为患病与当地居民卫生习惯有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）（ⅰ）因为，
所以，
所以，
（ⅱ）由已知，
又，
所以.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为，所以.因为，所以.
所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数；
若，由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增.
（2）当时，.设，则.
假设存在，使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，
即，
因为，所以.
设，则（当且仅当时取”）.
但，所以在恒成立.所以在上单调递增，
又.所以在上恒成立.即方程在上无解.
即满足条件的点不存在.

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