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2025年高考数学高频易错考前冲刺：双曲线
一．选择题（共10小题）
1．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
2．（2024 全国）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．（2024 重庆）设双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）
A．± B．± C．±1 D．±
4．（2024 湖南）若双曲线1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
6．（2024 福建）若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于（　　）
A．11 B．9 C．5 D．3
7．（2024 全国）设双曲线1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
8．（2024 新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）
A． B．3 C．m D．3m
9．（2024 甲卷）点（3，0）到双曲线1的一条渐近线的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024 安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是（　　）
A．x21 B．y2＝1 C．x2＝1 D．y21
二．多选题（共2小题）
（多选）11．（2024 湖北模拟）双曲线C：1（a，b＞0）的虚轴长为2，F1、F2为其左、右焦点，P，Q，R是双曲线上的三点，过P作C的切线交其渐近线于A，B两点．已知△PF1F2的内心I到y轴的距离为1．下列说法正确的是（　　）
A．△ABF2外心M的轨迹是一条直线
B．当a变化时，△AOB外心的轨迹方程为
C．当P变化时，存在Q，R使得△PQR的垂心在C的渐近线上
D．若X，Y，Z分别是PQ，QR，PR中点，则△XYZ的外接圆过定点
（多选）12．（2024 江门期末）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（　　）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为e1，e2，则e1e2≥2
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
三．填空题（共4小题）
13．（2024 潮州期末）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为　 　．
14．（2024 乙卷）双曲线1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为　 　．
15．（2024 北京）若双曲线x21的离心率为，则实数m＝　 　．
16．（2024 江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 南昌自主招生）设双曲线1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅲ）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且 0．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
18．（2024 台江区校级期末）求下列双曲线的标准方程．
（1）与双曲线1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线；
（2）以椭圆3x2+13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线．
19．（2024 卓尼县校级期末）如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点．
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
20．（2024 丰城市期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）与双曲线1有相同的渐近线，且经过点M（，）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF3，
EFb，
所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，
可得：，解得a．
则双曲线的方程为：1．
另解：由d1+d2＝6，即2b＝6，
解得b＝3，又e2，解得a，
则双曲线的方程为1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
2．（2024 全国）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，利用以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，可得|F1M|＝|F1F2|，从而可建立方程，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，∴|F1M|＝|F1F2|，
∴2c，
∴c2﹣a2＝2ac，
∴e2﹣2e﹣1＝0，
∴e±1，
∵e＞1，
∴e1，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．（2024 重庆）设双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）
A．± B．± C．±1 D．±
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），利用A1B⊥A2C，可得，求出a＝b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），
∵A1B⊥A2C，
∴，
∴a＝b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4．（2024 湖南）若双曲线1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数；求双曲线的离心率．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b＝4a，即9（c2﹣a2）＝16a2，
解得．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
5．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，可得2，结合c2＝a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，
令y＝0，可得x＝﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c＝5，
∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y＝2x+10，
∴2，
∵c2＝a2+b2，
∴a2＝5，b2＝20，
∴双曲线的方程为1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
6．（2024 福建）若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于（　　）
A．11 B．9 C．5 D．3
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】解：由题意，双曲线E：1中a＝3．
∵|PF1|＝3，∴P在双曲线的左支上，
∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝6，
∴|PF2|＝9．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
7．（2024 全国）设双曲线1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】A
【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵直线l的方程为，c2＝a2+b2∴原点到直线l的距离为，
∴，
∴16a2b2＝3c4，
∴16a2（c2﹣a2）＝3c4，∴16a2c2﹣16a4＝3c4，
∴3e4﹣16e2+16＝0，
解得或e＝2.0＜a＜b，∴e＝2．
故选：A．
【点评】若，则有0＜b＜a．
8．（2024 新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）
A． B．3 C．m D．3m
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
9．（2024 甲卷）点（3，0）到双曲线1的一条渐近线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点（3，0）到一条渐近线的距离即可．
【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即3x±4y＝0，
结合对称性，不妨考虑点（3，0）到直线3x﹣4y＝0 的距离，
则点（3，0）到双曲线的一条渐近线的距离．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．
10．（2024 安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是（　　）
A．x21 B．y2＝1 C．x2＝1 D．y21
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．
【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±2x，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为yx，不符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）11．（2024 湖北模拟）双曲线C：1（a，b＞0）的虚轴长为2，F1、F2为其左、右焦点，P，Q，R是双曲线上的三点，过P作C的切线交其渐近线于A，B两点．已知△PF1F2的内心I到y轴的距离为1．下列说法正确的是（　　）
A．△ABF2外心M的轨迹是一条直线
B．当a变化时，△AOB外心的轨迹方程为
C．当P变化时，存在Q，R使得△PQR的垂心在C的渐近线上
D．若X，Y，Z分别是PQ，QR，PR中点，则△XYZ的外接圆过定点
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据圆的性质，结合双曲线的渐近线方程、直线斜率的公式，通过解方程（组）、运用夹角公式逐一判断即可．
【解答】解：因为已知△PF1F2的内心I到y轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，
所以△PF1F2的内心I横坐标|x0|＝1 2a＝|PF1﹣PF2|＝|x0+c﹣（c﹣x0）|＝|2x0|＝2，a＝1，双曲线方程：x2﹣y2＝1，，渐近线y＝±x．
设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），R（x4，y4）．
当点P（x0，y0）在双曲线上时，
设直线y＝kx+m与双曲线交于两点（x1′，y1′），（x2′，y2′），
（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2（m2+b2）＝0，
，
当直线与双曲线相切时Δ＝0 b2﹣a2k2+m2＝0，此时切点Q（x0，y0）满足：
，
切线，
设直线y＝kx+m与渐近线交两点A（x3′，y3′），B′（x4′，y4′），
（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2m2＝0，
，
切点Q（x0，y0）正是线段AB的中点，
∴；线段AB中垂线是．
中垂线与y轴交于点，且|TA|＝|TB|．
可设，
一方面，；另一方面，线段AF2中点是，
，
，
考虑到，
∴，
|TA|＝|TB|＝|TF2|，点T是△ABF2之外心M，其轨迹是直线x＝0．选项A正确，
依（1）设，
线段OA、OB中点是，
线段OA中垂线是，即，
线段OB中垂线是，即，
∴，
，即△OAB外心的轨迹方程为．故选项B错，
（2）对△PQR来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是（u，u），进而，
化简得，
，
，
，
∴，
考虑到P（x0，y0）不在渐近线上得（x0﹣y0）≠0，故x3﹣y3＝x4﹣y4，
∴，这不可能!垂心不能在y＝x上，同理不能在y＝﹣x上，选项C错误；
（3）设，
，
，
，
，
tan∠ZXY+tan∠ZOY＝0 ∠ZXY+∠ZOY＝π O，Z，X，Y共圆，
△XYZ的外接圆过定点原点，选项D对．
故选：AD．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的运算能力及分析能力，属于难题．
（多选）12．（2024 江门期末）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（　　）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为e1，e2，则e1e2≥2
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】CD
【分析】根据所给定义得到两双曲线的方程，进而可得其渐近线方程，离心率，焦点坐标等，即可进行判断．
【解答】解：对A：根据所给定义可得与共轭的双曲线是（a＞0，b＞0），故A错误；
对B：由双曲线方程与（a＞0，b＞0），可得其渐近线方程均为y＝±，故B错误；
对C：由双曲线方程程与（a＞0，b＞0），可得e1 ，e2 ，
则1，即e1 +e2 ＝e1 e2 ，
因为e1，e2均大于1，
所以e1 e2 ＝e1 +e2 ≥2e1e2，则e1e2≥2，当且仅当e1＝e2时取“＝”，故C正确；
对D：的焦点坐标为（±，0），（a＞0，b＞0）的焦点坐标为（0，±），
这四个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的方程及相关性质，涉及命题真假性的判断，综合性较强，属于较难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 潮州期末）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为　18　．
【考点】双曲线的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由双曲线的方程可得 a＝4，根据双曲线的定义求出点P到右焦点的距离．
【解答】解：由双曲线的方程可得 a＝4，由双曲线的定义可得 点P到右焦点的距离等于 2a
加上点P到左焦点的距离，故点P到右焦点的距离为 8+10＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，得到点P到右焦点的距离等于 2a 加上点P到左焦点的距离，是解题的关键．
14．（2024 乙卷）双曲线1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为　　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：双曲线1的右焦点（3，0），
所以右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为d．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．
15．（2024 北京）若双曲线x21的离心率为，则实数m＝　2　．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，
可得：，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
16．（2024 江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是　y　．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．
【解答】解：∵双曲线x21（b＞0）经过点（3，4），
∴，解得b2＝2，即b．
又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y．
故答案为：y．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 南昌自主招生）设双曲线1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅲ）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且 0．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ），M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆；
（Ⅲ）不存在，理由：假设存在满足条件的直线l，
若直线l的斜率不存在，即方程为x＝1，可得P（1，），Q（1，），
即有 10；
若直线l的斜率存在，设l：y＝k（x﹣1），l与双曲线交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），
∵ 0，
∴x1x2+y1y2＝0，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴k2+3＝0，
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a＝1，进而得到双曲线方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用代入法，由中点坐标公式和两点的距离公式，即可得到中点的轨迹方程和轨迹；
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l．讨论直线l的斜率不存在和存在，设l：y＝k（x﹣1），l与双曲线交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可判断．
【解答】解：（Ⅰ）∵e＝2，
∴c2＝4a2
∵c2＝a2+3，
∴a＝1，c＝2，
∴双曲线方程为，渐近线方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），
∵2|AB|＝5|F1F2|
∴，
∴，
∵，，2x＝x1+x2，2y＝y1+y2
∴，，
∴，
∴，即，
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆．
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l．
若直线l的斜率不存在，即方程为x＝1，可得P（1，），Q（1，），
即有 10；
若直线l的斜率存在，设l：y＝k（x﹣1），l与双曲线交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），
∵ 0，
∴x1x2+y1y2＝0，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴k2+3＝0，
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，同时考查中点坐标公式和两点的距离公式以及联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，属于中档题．
18．（2024 台江区校级期末）求下列双曲线的标准方程．
（1）与双曲线1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线；
（2）以椭圆3x2+13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（1）1．
（2）1．
【分析】（1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为1（20﹣a2＞0），将点（3，2）代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设1（a＞0，b＞0），根据双曲线的渐近线为y＝±x求出a2，可得答案．
【解答】解：（1）∵双曲线1的焦点为（±2，0），
∴设所求双曲线方程为：1（20﹣a2＞0）
又点（3，2）在双曲线上，
∴1，解得a2＝12或30（舍去），
∴所求双曲线方程为1．
（2）椭圆3x2+13y2＝39可化为1，
其焦点坐标为（±，0），∴所求双曲线的焦点为（±，0），
设双曲线方程为：1（a＞0，b＞0）∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴，∴，∴a2＝8，b2＝2，
即所求的双曲线方程为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，点满足方程，考查运算能力，属于基础题．
19．（2024 卓尼县校级期末）如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点．
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据双曲线的定义解答；
（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2的值进而求得∠F1PF2．
【解答】解：（1）由题意，设M到两个焦点的距离分别为n，16，则|16﹣n|＝2×3，解得n＝10或22；
（2）根据双曲线的方程可知，a＝3，b＝4，c＝5
则|F1F2|＝2c＝10，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2×3＝6
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝36，
∴|PF1|2+|PF2|2＝100＝|F1F2|2，
∴∠F1PF2＝90°，
∴△F1PF2的面积为|PF1| |PF2|＝3216．
【点评】本题开考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到|PF1|、|PF2|的位置关系，从而求面积．
20．（2024 丰城市期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）与双曲线1有相同的渐近线，且经过点M（，）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）离心率e．其渐近线方程为y＝±x；实轴长为2，焦点到渐近线的距离．
【分析】（Ⅰ）由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程．
（Ⅱ）利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C与双曲线1有相同的渐近线，
∴设双曲线的方程为（λ≠0），
代入M（，）．得λ，
故双曲线的方程为：．
（Ⅱ）由方程得a＝1，b，c，故离心率e．
其渐近线方程为y＝±x；实轴长为2，
焦点坐标F（±，0），解得到渐近线的距离为：．
【点评】本题考查双曲线的方程及简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
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