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2025年高考数学高频易错考前冲刺：统计
一．选择题（共8小题）
1．（2024 山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程x的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
2．（2024 花山区校级学业考试）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）
A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20
3．（2024 山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．18
4．（2024 湖北）根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
得到了回归方程x，则（　　）
A．0，0 B．0，0 C．0，0 D．0，0
5．（2024 宝鸡一模）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（　　）
A．13 B．17 C．19 D．21
6．（2024 新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
7．（2024 陕西）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）
A．，s2+1002 B．100，s2+1002
C．，s2 D．100，s2
8．（2024 河南模拟）某社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则
①该抽样一定不是系统抽样；
②该抽样可能是随机抽样；
③该抽样不可能是分层抽样；
④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率；
其中说法正确的为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①④
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 沈阳期末）在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（　　）
A．考生成绩在[70，80）的人数最多
B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015
C．不及格的考生人数为1000
D．考生成绩的平均分约为70.5
（多选）10．（2024 香洲区校级模拟）已知由样本数据点集合{（xi，yi）|i＝1，2，…，n}，求得的回归直线方程为1.5x+0.5，且3，现发现两个数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（　　）
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除后的回归方程为1.2x+1.4
C．去除后y的估计值增加速度变快
D．去除后相应于样本点（2，3.75）的残差为0.05
（多选）11．（2024 渝中区校级模拟）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（　　）
A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
（多选）12．（2024 扬中市校级期末）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　）
A．2000名运动员是总体
B．所抽取的20名运动员是一个样本
C．样本容量为20
D．每个运动员被抽到的机会相等
三．填空题（共4小题）
13．（2024 新课标Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　 　．
14．（2024 贵阳二模）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1﹣8，9﹣16…153﹣160）若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是　 　．
15．（2024 上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　 　（米）．
16．（2024 辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
18．（2024 新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
19．（2024 甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20．（2024 乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程x的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】概率与统计；数据分析．
【答案】B
【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】解：∵3.5，
42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42＝9.4×3.5，
∴9.1，
∴线性回归方程是y＝9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1＝65.5，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．
2．（2024 花山区校级学业考试）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）
A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20
【考点】分层随机抽样．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．
【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，
则在高一年级抽取的人数是30015人，高二年级抽取的人数是20010人，
高三年级抽取的人数是40020人，
故选：D．
【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．
3．（2024 山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．18
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】概率与统计．
【答案】C
【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．
4．（2024 湖北）根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
得到了回归方程x，则（　　）
A．0，0 B．0，0 C．0，0 D．0，0
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】计算题；概率与统计；数据分析．
【答案】A
【分析】利用公式求出，即可得出结论．
【解答】解：样本平均数5.5，0.25，
∴24.5，17.5，∴1.4，
∴0.25﹣（﹣1.4） 5.5＝7.95，
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
5．（2024 宝鸡一模）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（　　）
A．13 B．17 C．19 D．21
【考点】系统抽样方法．
【专题】概率与统计．
【答案】C
【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，
∴样本组距为56÷4＝14，
则5+14＝19，
即样本中还有一个学生的编号为19，
故选：C．
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关键．比较基础．
6．（2024 新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【考点】其他形式的统计图表．
【专题】数形结合；数学模型法；推理和证明．
【答案】D
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．
7．（2024 陕西）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）
A．，s2+1002 B．100，s2+1002
C．，s2 D．100，s2
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】概率与统计．
【答案】D
【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由题意知yi＝xi+100，
则（x1+x2+…+x10+100×10）（x1+x2+…+x10）100，
方差s2[（x1+100﹣（100）2+（x2+100﹣（100）2+…+（x10+100﹣（100）2][（x1）2+（x2）2+…+（x10）2]＝s2．
故选：D．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．
8．（2024 河南模拟）某社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则
①该抽样一定不是系统抽样；
②该抽样可能是随机抽样；
③该抽样不可能是分层抽样；
④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率；
其中说法正确的为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①④
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；概率与统计．
【答案】B
【分析】①该抽样可以是系统抽样；
②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；
③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；
④由于在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等，故可判断出真假．
【解答】解：①总体容量为50，样本容量为5，第一步对50个个体进行编号，如男生1～30，女生31～50；第二步确定分段间隔k10；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤10）；第四步将编号为l+10k（0≤k≤9）依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①不正确．
②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；
③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，
但现在某社团有男生30名，女生20名，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正确；
④由于在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等，且为，该抽样男生被抽到的概率和女生被抽到的概率相等，因此④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 沈阳期末）在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（　　）
A．考生成绩在[70，80）的人数最多
B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015
C．不及格的考生人数为1000
D．考生成绩的平均分约为70.5
【考点】频率分布直方图．
【专题】图表型；数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】AD
【分析】根据成绩频率分布直方图，分别判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；
考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；
60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；
计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（2024 香洲区校级模拟）已知由样本数据点集合{（xi，yi）|i＝1，2，…，n}，求得的回归直线方程为1.5x+0.5，且3，现发现两个数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（　　）
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除后的回归方程为1.2x+1.4
C．去除后y的估计值增加速度变快
D．去除后相应于样本点（2，3.75）的残差为0.05
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AB
【分析】斜率为1.2，故正相关，根据题意，求出新的线性回归方程，然后逐一判断即可．
【解答】解：3，代入1.5x+0.5，5，因为重新求得的回归直线l的斜率为1.2，故正相关，
设新的数据所以横坐标的平均值，则（n﹣2）n（1.2+4.8）＝3n﹣6＝3（n﹣2），故3，
纵坐标的平均数为，则（n﹣2）n（2.2+7.8）＝n10＝5n﹣10＝5（n﹣2），5，
设新的线性回归方程为y＝1.2x+b，把（3，5）代入5＝1.2×3+b，b＝1.4，
故新的线性回归方程为y＝1.2x+1.4，
故A，B正确，
因为斜率为1.2不变，所以y的增长速度变慢，C错误，
把x＝2代入，y＝3.8，3.75﹣3.8＝﹣0.05，故D错误，
故选：AB．
【点评】考查求线性回归方程，以及线性回归方程的应用，考查运算能力，中档题．
（多选）11．（2024 渝中区校级模拟）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（　　）
A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
【考点】简单随机抽样及其适用条件．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【答案】AC
【分析】根据样本数据的数字特征，对选项中的命题分析判断即可．
【解答】解：对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝ ＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了样本数据的数字特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（2024 扬中市校级期末）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　）
A．2000名运动员是总体
B．所抽取的20名运动员是一个样本
C．样本容量为20
D．每个运动员被抽到的机会相等
【考点】收集数据的方法．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【答案】CD
【分析】根据抽样方法、总体、样本和样本容量的定义，判断即可．
【解答】解：由题意知，2000名运动员的年龄是总体，所以A错误；
所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以A错误；
样本容量是20，所以C正确；
每个运动员被抽到的机会相等，所以D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了抽样方法、总体、样本和样本容量的定义与应用问题，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 新课标Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　．
【考点】分层随机抽样及其适用条件．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．
【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（2024 贵阳二模）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1﹣8，9﹣16…153﹣160）若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是　6　．
【考点】系统抽样方法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意设出在第1组中随机抽到的号码，写出在第16组中应抽出的号码，根据第16组抽出的号码为126，使得126与用x表示的代数式相等，得到x的值．
【解答】解：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，
则在第16组中应抽出的号码为120+x．
设第1组抽出的号码为x，
则第16组应抽出的号码是8×15+x＝126，
∴x＝6．
故答案为：6．
【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．
15．（2024 上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　1.76　（米）．
【考点】中位数．
【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，
位于中间的两个数值为1.75，1.77，
∴这组数据的中位数是：1.76（米）．
故答案为：1.76．
【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．
16．（2024 辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 　10　．
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】压轴题；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．
【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝7；
方差s2＝[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5＝4．
从而有x1+x2+x3+x4+x5＝35，①
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2＝20．②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：
（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；图表型；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据频率＝组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
18．（2024 新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【考点】茎叶图．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．
【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；
（2）记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，
记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，
记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，
记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
则C＝CA1CB1∪CA2CB2，
P（C）＝P（CA1CB1）+P（CA2CB2）＝P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2），
由所给的数据CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为，，，，
所以P（CA1），P（CA2），P（CB1），P（CB2），
所以P（C）0.48．
【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．
19．（2024 甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），；（2）有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据2×2列联表，求出K2，再将K2的值与6.635比较，即可得出结论；
【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据2×2列联表，可得K2
10.256＞6.635．
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【点评】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
20．（2024 乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；
（2）比较与2的大小，即可判断得到答案．
【解答】解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，
（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，
[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2
+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；
[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2
+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；
（2），，
因为，
所以2，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
【点评】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
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