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2025年高考数学高频易错考前冲刺：椭圆
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
2．（2024 兴国县一模）椭圆ax2+by2＝1与直线y＝1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（1994 全国）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
4．（2024 湖北期末）若动点M（x，y）满足方程10，则动点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 全国）已知椭圆1过点（﹣4，）和（3，），则椭圆离心率e＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 南开区模拟）已知椭圆1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
7．（2024 大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024 定远县期末）P是椭圆x2+4y2＝16上一点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 西湖区校级期中）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，T（﹣3，2），椭圆上（异于顶点）的点P满足∠TF2F1＝∠TF2P，则下列选项正确的有（　　）
A．直线PT必定与椭圆相切
B．三角形TPF1与三角形TPF2面积之和为定值6
C．三角形TF1F2与三角形PF1F2面积之和为定值6
D．点F1、F2到直线PT的距离相等
（多选）10．（2024秋 邢台期末）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（　　）
A．a1+c1＝a2+c2 B．a1﹣c1＝a2﹣c2
C．c1a2＞a1c2 D．
（多选）11．（2024 大连二模）已知椭圆C：1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝4
B．存在点P满足∠F1PF2＝90°
C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为
D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为±
（多选）12．（2024 密山市期末）已知P是椭圆上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（　　）
A．P点纵坐标为3
B．
C．△F1PF2的周长为
D．△F1PF2的内切圆半径为
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）椭圆1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　 　．
14．（2024 江西）设椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于 　 　．
15．（2024 重庆）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为 　 　．
16．（2024 常州期末）点P为椭圆上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1上的动点，则|PM|+|PN|的取值范围是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（ⅰ）求证：点M在定直线上；
（ⅱ）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
18．（2024 天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．
19．（2024 天津）设椭圆1（a）的右焦点为F，右顶点为A．已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
20．（2024 新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 天津）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【考点】椭圆的几何特征；双曲线的标准方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e，ca，
则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，
双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k，
则1，c＝4，则a＝b＝2，
∴双曲线的标准方程：；
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．
2．（2024 兴国县一模）椭圆ax2+by2＝1与直线y＝1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】综合题；数学建模；运算求解．
【答案】A
【分析】联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2＝1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k．
【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2＝1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，
A（x1，y1），B（x2，y2），
，y1+y2＝1﹣x1+1﹣x2＝2，
AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k．
故选：A．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
3．（1994 全国）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．
【解答】解：∵方程x2+ky2＝2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选：D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
4．（2024 湖北期末）若动点M（x，y）满足方程10，则动点M的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的定义．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义即可得出．
【解答】解：方程10表示动点M（x，y）到两个定点（±2，0）的距离之和为定值10＝2a，
且10＞2+2，由题意的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且b2＝a2﹣c2＝52﹣22＝21．
可得椭圆的方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义，属于基础题．
5．（2024 全国）已知椭圆1过点（﹣4，）和（3，），则椭圆离心率e＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模；运算求解．
【答案】A
【分析】将点代入可得方程组，解得a＝5，b＝1，根据离心率公式即可求出．
【解答】解：椭圆1过点（﹣4，）和（3，），
则，解得a＝5，b＝1，
∴c2＝a2﹣b2＝24，
∴c＝2，
∴e，
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质，以及离心率公式，属于基础题．
6．（2024 南开区模拟）已知椭圆1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】根据椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2＝4，即可求出m的值．
【解答】解：∵椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，
∴10﹣m﹣m+2＝4，解得m＝4，满足题意．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，是基础题．
7．（2024 大纲版）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2＝4，b2＝3，从而得到椭圆C的方程．
【解答】解：设椭圆的方程为，
可得c1，所以a2﹣b2＝1…①
∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|＝3
∴可得A（1，），B（1，），代入椭圆方程得，…②
联解①②，可得a2＝4，b2＝3
∴椭圆C的方程为
故选：C．
【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．
8．（2024 定远县期末）P是椭圆x2+4y2＝16上一点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
【考点】椭圆的定义．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义即可求出．
【解答】解：由椭圆的方程为x2+4y2＝16，可化为，∴a＝4．
∵P是椭圆x2+4y2＝16上一点，
∴根据椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2×4，
∴|PF2|＝8﹣7＝1．
故选：A．
【点评】熟练掌握椭圆的定义是解题的关键．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 西湖区校级期中）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，T（﹣3，2），椭圆上（异于顶点）的点P满足∠TF2F1＝∠TF2P，则下列选项正确的有（　　）
A．直线PT必定与椭圆相切
B．三角形TPF1与三角形TPF2面积之和为定值6
C．三角形TF1F2与三角形PF1F2面积之和为定值6
D．点F1、F2到直线PT的距离相等
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】证明题；综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据题意，结合过椭圆上一点的切线的性质和结论，以及三角形面积公式，逐一判断即可．
【解答】解：为方便解题，现补充以下两个结论：
结论1：F1、F2是椭圆的两个焦点，若点P是椭圆上异于顶点的任一点，则点P处的切线平分∠F1PF2的外角．
证明：如图，
设椭圆（a＞b＞0），
则过椭圆上一点P（acosθ，bsinθ）的切线为，
因此切线的斜率k，因此tan∠PMF2＝﹣k，
因为tan∠PF1M，tan∠PF2M，
所以tan∠MPF2＝﹣tan（∠PMF2+∠PF2M），
同理tan∠MPN＝tan（∠PMF2+∠PF1M），
因此∠MPF2＝∠MPN，即点P处的切线平分∠F1PF2的外角．
结论2：PA、PB为椭圆的两条切线，切点为A、B，则PF2平分∠AF2B．
证明：如图，
作F1关于AP的对称点F1′，F2关于PB的对称点F2′，
由结论1易知F1、B、F2′三点共线，F1′、A、F2三点共线．
因为PF1′＝PF1，PF2′＝PF2，
且F1F2′＝BF1+BF2′＝BF1+BF2＝2a，F1′F2＝AF1′+AF2＝AF1+AF2＝2a，
所以△PF2F1′与△PF2′F1全等，
因此∠PF2′B＝∠PF2A，
又因为△PBF2′与△PBF2全等，
因此∠PF2′B＝∠PF2B，
所以∠PF2A＝∠PF2B，
因此PF2平分∠AF2B．
对于本题，结合题意，作出如下图形，
其中A为椭圆的左顶点，F1关于AT的对称点F1′，F2关于TB的对称点F2′，
因为∠TF2F1＝∠TF2P，且TA与椭圆相切，所以结合以上两个结论，易知直线PT必定与椭圆相切，
又因为点P异于椭圆的定点，所以F2F1与TP不平行，
因此点F1、F2到直线PT的距离不相等，故A正确，D错误；
结合结论2的证明过程，
易知△TF1F2′与△TF1′F2全等，△TPF2′与△TPF2全等，
因此|F1′F2| |TA|6，
故三角形TPF1与三角形TPF2面积之和为定值6，故B正确；
对于C，假设b2＝4，c2＝5，
设P（x0，y0），
则椭圆过点P的切线为：，
因切线过点T（﹣3，2），
所以1，
即x0y0﹣3，
联立，得y02﹣2y0＝0，
则y0＝2或y0＝0（舍），
故|F1F2| |TA||F1F2| |y0|46，
即三角形TF1F2与三角形PF1F2面积之和不为定值6，故C错误；
故选：AB．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合，两个结论证明是解题的关键，考查数形结合思想，属于难题．
（多选）10．（2024秋 邢台期末）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（　　）
A．a1+c1＝a2+c2 B．a1﹣c1＝a2﹣c2
C．c1a2＞a1c2 D．
【考点】由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数．
【答案】BC
【分析】根据图象可知a1＞a2，c1＞c2，进而根据基本不等式的性质可知a1+c1＞a2+c2；进而判断AD不正确；根据a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|可知a1﹣c1＝a2﹣c2，可判断BC正确；
【解答】解：如图可知：a1＞a2，c1＞c2，
∴a1+c1＞a2+c2，
∴A不正确；
∵a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|，
∴a1﹣c1＝a2﹣c2，
∴B正确；
a1+c2＝a2+c1，
可得（a1+c2）2＝（a2+c1）2，
2a1c22a2c1，
即2a1c22a2c1，
∵b1＞b2，∴c1a2＞a1c2，
∴C正确；
可得，D不正确；
故选：BC．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
（多选）11．（2024 大连二模）已知椭圆C：1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．|PF1|+|PF2|＝4
B．存在点P满足∠F1PF2＝90°
C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为
D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为±
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】CD
【分析】先由椭圆方程求出椭圆的左右焦点坐标以及左右顶点的坐标，利用椭圆的定义即可判断选项A；
根据∠F1PF2＝90°，可得点P满足的轨迹方程，再与椭圆方程联立整理求解，即可判断选项B；
设出点P的坐标，代入椭圆方程，再利用斜率公式即可判断选项C；
求出三角形PF1F2的面积，即可求出点P的纵坐标，从而求出点P的横坐标，即可判断选项D．
【解答】解：由椭圆方程可得：
a＝4，c，F1（，0），F2（，0），A1（﹣4，0），A2（4，0），
对于A，由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故A错误；
对于B，若∠F1PF2＝90°，则点P在圆：x2+y2＝7上，
联立椭圆方程可得方程组无解，故B错误；
对于C，设点P的坐标为（m，n），则，
直线PA1与直线PA2的斜率之积为，故C正确；
对于D，三角形PF1F2的面积为S2，解得yP＝±h＝±2，
代入椭圆方程可得x＝±，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，涉及到向量的坐标运算以及三角形的面积的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024 密山市期末）已知P是椭圆上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（　　）
A．P点纵坐标为3
B．
C．△F1PF2的周长为
D．△F1PF2的内切圆半径为
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】CD
【分析】由椭圆方程求得a，b，c的值，设出P点坐标，由三角形面积求得p的纵坐标判断A；进一步求得P的坐标，可得P到两焦点的距离，由余弦定理判断B；求出三角形的周长判断C；由等面积法求得三角形内切圆半径判断D．
【解答】解：∵椭圆，
∴a＝2，b＝2，c＝2，又∵P为椭圆上一点，不妨设P（m，n），m＞0，n＞0，
则，解得n，故A错误；
则，解得m，∴P（，），
∴，，
∴0，
∴cos0，∴∠F1PF2，故B错误；
由椭圆定义，可得△F1PF2的周长为，故C正确；
设△F1PF2的内切圆半径为r，由，解得r，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆中焦点三角形的解法，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）椭圆1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b与c之间的关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（﹣c，0），如图连接QF1，QF，
设QF与直线yx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，
∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，
在Rt△MOF中，tan∠MOF，|OF|＝c，
可得|OM|，|MF|，
故|QF|＝2|MF|，|QF1|＝2|OM|，
由椭圆定义得|QF|+|QF1|2a，得b＝c，
∴ac，
故e．
【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
14．（2024 江西）设椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于 　　．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点，
又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|．
∴|AF1|＝2|AF2|．
设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|n，
∴e．
【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．
15．（2024 重庆）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为 　　．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．
【解答】解：在△PF1F2中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：a|PF1|＝c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0
则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）
解得：
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
16．（2024 常州期末）点P为椭圆上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1上的动点，则|PM|+|PN|的取值范围是 　[7，13]　．
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题设知椭圆 的左右焦点分别是两圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1的圆心，由此能求出|PM|+|PN|的最小值、最大值．
【解答】解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1的圆心，
所以（|PM|+|PN|）max＝2×5+3＝13，
（|PM|+|PN|）min＝2×5﹣3＝7，
则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]
故答案为：[7，13]．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（ⅰ）求证：点M在定直线上；
（ⅱ）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x＝x0，可得y．进而得到定直线；
（ii）由直线l的方程为y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1|FG| |x0|x0 （y0），S2|PM| |x0|，化简整理，再1+2t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．
【解答】解：（I）由题意可得e，抛物线E：x2＝2y的焦点F为（0，），
即有b，a2﹣c2，
解得a＝1，c，
可得椭圆的方程为x2+4y2＝1；
（Ⅱ）（i）证法一：设P（x0，y0），可得2y0，
由yx2的导数为y′＝x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），
可化为y＝x0x﹣y0，代入椭圆方程，
可得（1+4）x2﹣8x0y0x+41＝0，
Δ＝644（1+4）（41）＞0，可得1+44．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2，即有中点D（，），
直线OD的方程为yx，可令x＝x0，可得y．
即有点M在定直线y上；
证法二、如图：
设P（2t，2t2），切线l的方程为y＝2tx﹣2t2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则41，41，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
可得kAB 2t，
则kOM，即直线OM：yx，
再令x＝2t，可得M（2t，），
所以点M在定直线y上；
法三：设l的斜率为k，yx2，y′＝x，
P（k，k2），l：yk2＝k（x﹣k），即y＝kxk2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，∴x2（1+4k2）﹣4k3x+k4﹣1＝0，∴x1+x2，x1x2，
则D（，），kODk，
∴直线OD的方程为y x，M（k，y′）在直线OD上，∴y′ k（定直线），
（ii）法一：直线l的方程为y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），
则S1|FG| |x0|x0 （y0）x0（1）；
S2|PM| |x0|（y0） x0 ，
则，
令1+2t（t≥1），则
2（）2，
则当t＝2，即x0时，取得最大值，
此时点P的坐标为（，）．
法二：F（0，），P（x0，），G（0，k2）
S1|FG| |x0|（k2） x0k（k2），
D（，），M（k，），
S2（） （k），
则2+2 2+2 ，
当最大时，4+4k2取最小值，又4+4k2≥4+2 2k＝4+4＝8，
当2k，即k时取等号，此时最大，∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．
18．（2024 天津）设椭圆1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（Ⅰ）e；
（Ⅱ）1．
【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；
（Ⅱ）求得a＝2c，bc，可得椭圆方程为1，设直线FP的方程为y（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，
可得e；
（Ⅱ）ba，ca，
即a＝2c，bc，
可得椭圆方程为1，
设直线FP的方程为y（x+c），
代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，
解得x＝c或x，
代入直线PF方程可得y或y（舍去），
可得P（c，），
圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），
可得，解得t＝2，
即有C（4，2），可得圆的半径为2，
由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，
可得2，解得c＝2，
可得a＝4，b＝2，
可得椭圆方程为1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：d＝r，考查化简运算能力，属于中档题．
19．（2024 天津）设椭圆1（a）的右焦点为F，右顶点为A．已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．
【解答】解：（1）由，得，
即，
∴a[a2﹣（a2﹣3）]＝3a（a2﹣3），解得a＝2．
∴椭圆方程为；
（2）由已知设直线l的方程为y＝k（x﹣2），（k≠0），
设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x0≥1，
再设H（0，yH），
联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．
Δ＝（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）＝144＞0．
由根与系数的关系得，
∴，，
MH所在直线方程为，
令x＝0，得，
∵BF⊥HF，
∴，
即1﹣x1+y1yH，
整理得：，即8k2≥3．
∴或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（2024 新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m
将A，B代入椭圆C：1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，
∴k
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．①
（2）或．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，k
又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2＝2
由，可得x3﹣1＝0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|＝a﹣ex1＝2x1，|FB|＝2x2，|FP|＝2x3．即可证明|FA|+|FB|＝2|FP|，求得A，B坐标再求公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2＝2，y1+y2＝2m
将A，B代入椭圆C：1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）＝0，
∴k
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．①
（2）由题意得F（1，0），设P（x3，y3），则
x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1＝0，y1+y2+y3＝0，
由（1）及题设得x3＝3﹣（x1+x2）＝1，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣2m＜0．
又点P在C上，所以m，从而P（1，），．
于是2．
同理2．
所以||+||＝4，
故||+||＝2||，即||，||，||成等差数列．
设该数列的公差为d，则2|d||x1﹣x2|②
将m代入①得k＝﹣1．
所以l的方程为y＝﹣x，代入C的方程，并整理得70．
故x1+x2＝2，x1x2，代入②解得|d|．
所以该数列的公差为或．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
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