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2025年高考数学高频易错考前冲刺：一、二次函数及方程、不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2024 芝罘区学业考试）若一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024 浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝（　　）
A．2 B．4 C．3 D．6
4．（2024 历城区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C． D．
5．（2024 庐江县期末）函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）
6．（2024 白水县期末）关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（4，5] B．[3，6] C．（5，] D．[）
7．（2024 北京）若x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
8．（2024 新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（　　）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋 克东县期中）已知关于x的不等式a3x+4≤b，下列结论正确的是（　　）
A．当a＜b＜1时，不等式a3x+4≤b的解集为
B．当a＝1，b＝4时，不等式a3x+4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．不等式a3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b
D．不等式a3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝4
（多选）10．（2024 淄博模拟）设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解可以为（　　）
A． B．3 C．﹣4.5 D．﹣5
（多选）11．（2024秋 兖州区期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（　　）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1）
D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
（多选）12．（2023秋 会宁县校级期中）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值可以是（　　）
A．1 B． C． D．3
三．填空题（共4小题）
13．（2024 福建）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
14．（2024 上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是　 　．
15．（2024 新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为　 　．
16．（2024 新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣4y的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
18．（2024 全国）设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．
19．（2024 全国卷Ⅱ）设a∈R，二次函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B＝{x|1＜x＜3}，A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
20．（2024 安徽）设函数f（x）＝x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）＝x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[，]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0＝b0＝0，求z＝b满足条件D≤1时的最大值．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：一、二次函数及方程、不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 芝罘区学业考试）若一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的性质与图象；抽象函数的周期性．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y＝ax2+bx图象的位置．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，
对称轴x0，在y轴左边．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数解析式的系数与图象位置的关系．图象的所有性质都与解析式的系数有着密切关系．
2．（2024 浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【答案】B
【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
∴当直线y＝x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．
联立方程组，解得A（2，1），
联立方程组，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y＝x﹣1，y＝x+1，即x﹣y﹣1＝0，x﹣y+1＝0．
∴平行线间的距离为d，
故选：B．
【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
3．（2024 浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝（　　）
A．2 B．4 C．3 D．6
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．
【答案】C
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′＝RQ，
由得，即Q（﹣1，1）
由得，即R（2，﹣2），
则|AB|＝|QR|3，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．
4．（2024 历城区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式ax2+x﹣3＜0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C． D．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】由题意知﹣3和1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可求得a的值；
再代入不等式ax2+x﹣3＜0中求不等式的解集．
【解答】解：由题意知，x＝﹣3，x＝1是方程x2+ax﹣3＝0的两根，可得﹣3+1＝﹣a，解得a＝2；
所以不等式为2x2+x﹣3＜0，即（2x+3）（x﹣1）＜0，
解得，
所以不等式的解集为（，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
5．（2024 庐江县期末）函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，2] D．[1，+∞）
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，欲使函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，
当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，
函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1，2]．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．
6．（2024 白水县期末）关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（4，5] B．[3，6] C．（5，] D．[）
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模．
【答案】C
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的范围．
【解答】解：关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，令f（x）＝x2﹣（a﹣1）x+4，
则有，求得5＜a，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题．
7．（2024 北京）若x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】D
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值＝0+2×1＝2．
故选：D．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
8．（2024 新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（　　）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
【考点】简单线性规划．
【专题】直线与圆．
【答案】B
【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z＝x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．
【解答】解：如图所示，
当a≥1时，由，
解得，y．
∴．
当直线z＝x+ay经过A点时取得最小值为7，
∴，化为a2+2a﹣15＝0，
解得a＝3，a＝﹣5舍去．
当a＜1时，不符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋 克东县期中）已知关于x的不等式a3x+4≤b，下列结论正确的是（　　）
A．当a＜b＜1时，不等式a3x+4≤b的解集为
B．当a＝1，b＝4时，不等式a3x+4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．不等式a3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b
D．不等式a3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝4
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】A：分析函数f（x）x2﹣3x+4的最值与a，b进行比较即可；
B：结合第一问只需解不等式x2﹣3x+4≤4即可；
C：利用f（x）（x﹣2）2+1的图象与对应不等式的关系解答即可；
D：利用C结合对称性求解即可．
【解答】解：设f（x）x2﹣3x+4，x∈R，则f（x）（x﹣2）2+1；
对于A，f（x）≥1，
所以当a＜b＜1时，不等式a3x+4≤b的解集为 ，所以A正确；
对于B，当a＝1，b＝4时，不等式a3x+4≤b可化为，
解此不等式组得0≤x≤4，所以a3x+4≤b的解集为{x|0≤x≤4}，选项B正确；
作出函数f（x）（x﹣2）2+1的图象，如图所示：
由f（x）的图象知，
若不等式的解集为连续不间断区间，则a≤1，且b＞1；
若解集为[a，b]，
则f（a）＝f（b）＝b，且b≥3，
因为f（x）（x﹣2）2+1，
所以f（b）（b﹣2）2+1＝b，
解得b＝4或b，
因为b≥2，
所以b＝4，
所以a＝0，
所以b﹣a＝4，
所以C错误、D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查利用二次函数的图象解对应不等式的取值范围和最值问题，考查了数形结合思想，是中档题．
（多选）10．（2024 淄博模拟）设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解可以为（　　）
A． B．3 C．﹣4.5 D．﹣5
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】新定义；转化思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意求不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解集，得出[x]的取值范围，再判断选项是否满足条件．
【解答】解：不等式[x]2+[x]﹣12≤0可化为（[x]+4）（[x]﹣3）≤0，
解得﹣4≤[x]≤3；
又[x]表示不小于实数x的最小整数，
且[]＝4，[3]＝3，[﹣4.5]＝﹣4，[﹣5]＝﹣5；
所以满足不等式[x]2+[x]﹣12≤0的解可以为B、C．
故选：BC．
【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是基础题．
（多选）11．（2024秋 兖州区期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（　　）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1）
D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．
【解答】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．
B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．
C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得1，2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1，
关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查一元二次方程二次函数与一元二次不等式的解法之间的关系．
（多选）12．（2023秋 会宁县校级期中）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值可以是（　　）
A．1 B． C． D．3
【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件．
【专题】分类讨论；定义法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】分别求出命题p、q中a的取值范围，根据p是q的必要不充分条件，从而求出a的取值范围．
【解答】解：a＞0时，解x2﹣4ax+3a2＜0得：x∈（a，3a），
a＜0时，解x2﹣4ax+3a2＜0得：x∈（3a，a），
解不等式组，得：x∈（2，3]，
因为p是q的必要不充分条件，
所以a＞0时，3a＞3且a≤2，解得1＜a≤2，
a＜0时，3a≤2且a＞3，无解，
综上可得：1＜a≤2．
故选：BC．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 福建）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　（0，8）　．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成Δ＜0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．
【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．
∴Δ＝（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8
故答案为：（0，8）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．
14．（2024 上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是　（﹣∞，2]　．
【考点】一元二次不等式及其应用．
【专题】综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2
∵x∈（1，2）
∴k1+x
∴y＝1+x是一个增函数
∴k≤1+1＝2
∴实数k取值范围是（﹣∞，2]
故答案为：（﹣∞，2]
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用函数的单调性确定参数的范围．
15．（2024 新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为　1　．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；分析法；不等式；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由，可得A（1，0）时，目标函数z＝x+7y，可得yx，
当直线yx过点A时，在y轴上截距最大，
此时z取得最大值：1+7×0＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
16．（2024 新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣4y的最小值为 　﹣1　．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝3x﹣4y的最小值．
【解答】解：由z＝3x﹣4y，得yx，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线yx，由平移可知当直线yx，
经过点B（1，1）时，直线yx的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入z＝3x﹣4y＝3﹣4＝﹣1，
即目标函数z＝3x﹣4y的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【考点】简单线性规划．
【专题】应用题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z＝60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x+25y．
考虑z＝60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．
为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z＝60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．
18．（2024 全国）设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．
【考点】二次函数的最值；奇函数偶函数的判断．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值．
【解答】解：（1）当a＝0时，函数f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|+1＝f（x）
此时，f（x）为偶函数
当a≠0时，f（a）＝a2+1，f（﹣a）＝a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a）
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当x≤a时，
当，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）＝a2+1．
若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为，且．
②当x≥a时，函数
若，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为；
若，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）＝a2+1．
综上，当时，函数f（x）的最小值为
当时，函数f（x）的最小值为a2+1
当时，函数f（x）的最小值为．
【点评】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．
19．（2024 全国卷Ⅱ）设a∈R，二次函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2a．若f（x）＞0的解集为A，B＝{x|1＜x＜3}，A∩B≠ ，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】解：注意到Δ＝4+8a2＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．
【解答】解：由题意可知二次函数a≠0，
令f（x）＝0解得其两根为
由此可知x1＜0，x2＞0
（i）当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}，则A∩B≠ 的充要条件是x2＜3，
即解得
（ii）当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}A∩B≠ 的充要条件是x2＞1，
即
解得a＜﹣2
综上，使A∩B≠ 成立的a的取值范围为
【点评】在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握．
20．（2024 安徽）设函数f（x）＝x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）＝x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[，]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0＝b0＝0，求z＝b满足条件D≤1时的最大值．
【考点】二次函数的性质与图象．
【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）设t＝sinx，f（t）＝t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；
（Ⅱ）结合不等式的性质求得最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）结合不等式的性质求得z＝b的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设t＝sinx，在x∈（，）递增，
即有f（t）＝t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）＝2t﹣a，
①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；
当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．
即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．
②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t，f′（t）＜0，f（sinx）递减；
t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．
f（sinx）有极小值f（）＝b；
（Ⅱ）x时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|＝|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣a0|+|b﹣b0|
当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x，等号成立；
当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x，等号成立．
由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[，]上的最大值为D＝|a﹣a0|+|b﹣b0|．
（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z＝b1
取a＝0，b＝1，则|a|+|b|≤1，并且z＝b1．
由此可知，z＝b满足条件D≤1的最大值为1．
【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．
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