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2025年高考数学高频易错考前冲刺：圆
一．选择题（共8小题）
1．（2024 福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心，且与直线x+y+1＝0垂直，则l的方程是（　　）
A．x+y﹣2＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣3＝0 D．x﹣y+3＝0
2．（2024 龙华区校级模拟）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x+1）2+（y﹣2）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2+（y+2）2＝1
3．（2024 涪城区校级模拟）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（　　）
A．[2，1] B．[2，2] C．[，] D．[0，+∞）
4．（2024 天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（　　）
A．[1，1]
B．（﹣∞，1]∪[1，+∞）
C．[2﹣2，2+2]
D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
5．（2024 全国）若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则a＝（　　）
A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣13
6．（2024 天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
7．（2024 秋 辽宁期中）若直线y＝x﹣2被圆（x﹣a）2+y2＝4所截的弦长为，则实数a的值为（　　）
A．﹣1或 B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4
8．（2024 桐乡市校级模拟）在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2﹣2x+y2＝0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a﹣8b+24＝0则的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[，]
C．[﹣3，] D．[]
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023秋 湟中区校级期中）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（4，﹣3）
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
（多选）10．（2024 临朐县模拟）实数x，y满足x2+y2+2x＝0，则下列关于的判断正确的是（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
（多选）11．（2024 朝阳三模）已知曲线C的方程为|x+2y|，M：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0），则（　　）
A．C表示一条直线
B．当r＝4时，C与圆M有3个公共点
C．当r＝2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+∞）
（多选）12．（2024 定远县校级期中）由点A（﹣3，3）发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0相切，则l的方程为（　　）
A．4x﹣3y﹣3＝0 B．4x+3y+3＝0 C．3x+4y﹣3＝0 D．3x﹣4y+3＝0
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则m＝　 　，r＝　 　．
14．（2024 重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 　 　．
15．（2024 江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　 　．
16．（2024 湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．
（1）圆C的标准方程为　 　．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 湖南模拟）已知圆心为（1，1）的圆C经过点M（1，2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x+y+m＝0与圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m．
18．（2024 全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：xy＝4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．
19．（2024 海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32＝0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
20．（2024 北京自主招生）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（Ⅰ）求圆A的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心，且与直线x+y+1＝0垂直，则l的方程是（　　）
A．x+y﹣2＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣3＝0 D．x﹣y+3＝0
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【答案】D
【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．
【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
故l的方程是 y﹣3＝x﹣0，即x﹣y+3＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．
2．（2024 龙华区校级模拟）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x+1）2+（y﹣2）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2+（y+2）2＝1
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】A
【分析】根据平面直角坐标系内点P关于直线y＝x对称的点对称点P'的坐标公式，可得圆心坐标，即可得出圆的方程．
【解答】解：∵点P（x，y）关于直线y＝x对称的点为P'（y，x），
∴（1，2）关于直线y＝x对称的点为（2，1），
∴圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查圆的方程，考查了平面直角坐标系内点关于直线对称的公式的知识，属于基础题．
3．（2024 涪城区校级模拟）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（　　）
A．[2，1] B．[2，2] C．[，] D．[0，+∞）
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】B
【分析】求出圆心（2，2）与半径3，则圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2可化为圆心到直线l：ax+by＝0的距离d；从而求直线l的斜率的取值范围．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0可化为
（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，
则圆心为（2，2），半径为3；
则由圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2可得，
圆心到直线l：ax+by＝0的距离d≤32；
即，
则a2+b2+4ab≤0，
若b＝0，则a＝0，故不成立，
故b≠0，则上式可化为
1+40，
由直线l的斜率k，
则上式可化为k2﹣4k+1≤0，
则k∈[2，2]，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆上点的距离的应用，题意中将圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2可化为圆心到直线l：ax+by＝0的距离d；是本题解答的关键，属于中档题．
4．（2024 天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（　　）
A．[1，1]
B．（﹣∞，1]∪[1，+∞）
C．[2﹣2，2+2]
D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【答案】D
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n＝x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d1，
整理得：m+n+1＝mn，
设m+n＝x，则有x+1，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
5．（2024 全国）若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则a＝（　　）
A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣13
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆．
【答案】B
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆的半径r＝5﹣3＝2，即可得2，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣6x+a＝0即（x﹣3）2+y2＝9﹣a，
其圆心为（3，0），半径r，
若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则圆的半径r＝5﹣3＝2，
则有2，
解可得：a＝5；
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆相切的性质，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
6．（2024 天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【答案】C
【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0的斜率，然后求出a的值即可．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，
所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．
7．（2024 秋 辽宁期中）若直线y＝x﹣2被圆（x﹣a）2+y2＝4所截的弦长为，则实数a的值为（　　）
A．﹣1或 B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．
【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2＝4
∴圆心为：（a，0），半径为：2
圆心到直线的距离为：
∵
解得a＝4，或a＝0
故选：D．
【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．
8．（2024 桐乡市校级模拟）在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x2﹣2x+y2＝0，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a﹣8b+24＝0则的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[，]
C．[﹣3，] D．[]
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】数形结合；数形结合法；转化法；直线与圆；数学抽象；运算求解．
【答案】B
【分析】利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可．
【解答】解：由x2﹣2x+y2＝0得（x﹣1）2+y2＝1，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆，
由a2+b2+6a﹣8b+24＝0得（a+3）2+（b﹣4）2＝1，
即Q的轨迹是以A（﹣3，4）为圆心半径为1的圆，
的几何意义为PQ的斜率，
由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线的斜率，
A，B的中点C（﹣1，2），
设PQ的斜率为k，则过C的内公切线方程为y﹣2＝k（x+1），
即kx﹣y+k+2＝0，
圆心B的直线的距离d1，
平方得4k2+8k+4＝1+k2，
即3k2+8k+3＝0，
得k，
即斜率的最大值为，最小值为，
即的取值范围是[，]，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023秋 湟中区校级期中）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（4，﹣3）
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
【考点】由圆的一般式方程求圆的几何属性；直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【答案】ABD
【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可．
【解答】解：圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，
则（x﹣4）2+（y+3）2＝25．
圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5．
显然选项C不正确．ABD均正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆的方程的应用，基本知识的考查．
（多选）10．（2024 临朐县模拟）实数x，y满足x2+y2+2x＝0，则下列关于的判断正确的是（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】CD
【分析】的值相当于曲线上的点与定点（1，0）的斜率的最值问题，当过（1，0）的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心（1，0），半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的最值．
【解答】解：由题意可得方程x2+y2+2x＝0为圆心是C（﹣1，0），半径为1的圆，由为圆上的点与定点P（1，0）的斜率的值，
设过P（1，0）点的直线为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
圆心到直线的距离d＝r，即1，整理可得3k2＝1解得k，
所以，即的最大值为：，最小值为，
故选：CD．
【点评】考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
（多选）11．（2024 朝阳三模）已知曲线C的方程为|x+2y|，M：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0），则（　　）
A．C表示一条直线
B．当r＝4时，C与圆M有3个公共点
C．当r＝2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+∞）
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】将曲线C化简，可得y＝0或4x+3y＝0，可判断A；考虑圆M与x轴、直线4x+3y＝0的交点个数，可判断B；可取圆心N（1，0），半径为2的圆，可判断C；考虑r＝4时，直线4x+3y＝0与圆M相切，可得C与圆M的公共点最多时，r的取值范围，可判断D．
【解答】解：曲线C的方程为|x+2y|，两边平方可得x2+y2＝x2+4y2+4xy，
化为y＝0或4x+3y＝0，即曲线C表示两条直线，故A错误；
当r＝4时，圆M的圆心为（5，0），半径为4，圆M与y＝0有两个交点；
又圆心M到直线4x+3y＝0的距离为d4＝r，所以C与圆M有3个公共点，故B正确；
当r＝2时，圆M的圆心为（5，0），半径r＝2，
存在圆N，圆心N（1，0），半径为2，圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点，故C正确；
当C与圆M的公共点最多时，且为4个．由r＝4或5时，C与圆M有3或2个公共点，
可得当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，5）∪（5，+∞），故D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）12．（2024 定远县校级期中）由点A（﹣3，3）发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0相切，则l的方程为（　　）
A．4x﹣3y﹣3＝0 B．4x+3y+3＝0 C．3x+4y﹣3＝0 D．3x﹣4y+3＝0
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．
【解答】解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，
它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2＝1，
设光线L所在直线的方程是y﹣3＝k（x+3）（其中斜率k待定）
由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，
即d．
整理得：12k2+25k+12＝0，
解得：k，或k．
故所求的直线方程是y﹣3（x+3），或y﹣3（x+3），
即3x+4y﹣3＝0，或4x+3y+3＝0．
故选：BC．
【点评】本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 浙江）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则m＝　﹣2　，r＝　　．
【考点】圆的切线方程．
【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m，再由两点间的距离公式求半径．
【解答】解：如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m＝﹣2．
∴圆心为（0，﹣2），则半径r．
故答案为：﹣2，．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
14．（2024 重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 　x+2y﹣5＝0　．
【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．
【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为，
故切线的方程为y﹣2（x﹣1），即 x+2y﹣5＝0，
故答案为：x+2y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
15．（2024 江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．
【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，
则d2，即3k2﹣4k≤0，
∴0≤k．
∴k的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．
16．（2024 湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．
（1）圆C的标准方程为　（x﹣1）2+（y）2＝2　．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为　﹣1　．
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；
（2）求出圆C在点B处切线方程，令y＝0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为，圆心坐标为（1，），
∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y）2＝2；
（2）由（1）知，B（0，1），
∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1）（y）＝2，
令y＝0可得x＝﹣1．
故答案为：（x﹣1）2+（y）2＝2；﹣1．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 湖南模拟）已知圆心为（1，1）的圆C经过点M（1，2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x+y+m＝0与圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m．
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；
（Ⅱ）m＝﹣1或m＝﹣3．
【分析】（Ⅰ）由已知，圆的半径r＝|CM|1，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）由题意可知，|CA|＝|CB|＝1，且∠ACB＝90°，圆心C到直线x+y+m＝0的距离为，由此能求出实数m．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，圆的半径r＝|CM|1，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．…（3分）
（Ⅱ）由题意可知，|CA|＝|CB|＝1，且∠ACB＝90°，
∴圆心C到直线x+y+m＝0的距离为，即，
解得m＝﹣1或m＝﹣3．…（8分）
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．
18．（2024 全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：xy＝4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】（1）x2+y2＝4．
（2）[﹣2，0）．
【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，
即．
得圆O的方程为x2+y2＝4．
（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2＝4即得A（﹣2，0），B（2，0）．
设P（x，y），
由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，
两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2＝（x2+y2）2，
化简整理可得，x2﹣y2＝2．
x2﹣4+y2＝2（y2﹣1）．
由于点P在圆O内，故
由此得y2＜1．则0≤2y2＜2，﹣2≤2y2﹣2＜0，
所以的取值范围为[﹣2，0）．
【点评】此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．
19．（2024 海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32＝0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
【考点】直线和圆的方程的应用；平面向量的相等与共线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
由方程①，②
又y1+y2＝k（x1+x2）+4． ③
而．
所以与共线等价于（x1+x2）＝﹣3（y1+y2），
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．
【分析】（Ⅰ）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，
（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与共线可推知（x1+x2）＝﹣3（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．
【解答】解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）2+y2＝4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y＝kx+2．
代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32＝0，
整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36＝0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于Δ＝[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）＝42（﹣8k2﹣6k）＞0，
解得，即k的取值范围为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
由方程①，②
又y1+y2＝k（x1+x2）+4． ③
而．
所以与共线等价于（x1+x2）＝﹣3（y1+y2），
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．
【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解．
20．（2024 北京自主招生）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（Ⅰ）求圆A的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程与直线的性质；圆的标准方程．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；
（Ⅱ）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；
（Ⅲ）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x+2y+7＝0相切，
∴（2分）
∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20…（4分）
（Ⅱ） ①当直线l与x轴垂直时，易知x＝﹣2符合题意…（5分）
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，
连接AQ，则AQ⊥MN
∵，∴，…（6分）
则由，得，∴直线l：3x﹣4y+6＝0．
故直线l的方程为x＝﹣2或3x﹣4y+6＝0…（9分）
（Ⅲ）∵AQ⊥BP，∴（10分）
①当l与x轴垂直时，易得，则，又，
∴（11分）
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+2），
则由，得P（，），则
∴
综上所述，是定值，且．…（14分）
【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，圆的标准方程，其中（I）的关键是求出圆的半径，（II）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离），（III）中要注意讨论斜率不存在的情况，这也是解答直线过定点类问题的易忽略点．
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